数学给思维方式带来哪些改变以及其局限性，之前一直没有认真思考过，现在梳理一下。得到结论是在可能情况下需要尽量通过定量方式进行精细化操作和精准化管理，但是也绝对不能神话。在以下几个方面有些感悟。

一、面对问题定义清楚边界进行系统处理

1、研究问题思路

      遇到某一个领域问题，肯定首先都是需要用该领域具体知识来把问题罗列和分析出来。这绝对是最先工作，也是极其重要环节。

      确定好一个问题之后，要界定讨论边界和方法，避免鸡同鸭讲。这个是用到集合论中所谓论域确定。

      问题需要达到目标，是时间最短还是费用最低等，是需要最优化，一个还是多个目标都想优化吗？问题有哪些限制，如完成一件事件每一个环节需要最长时间或者这个总费用限制等。实际上是从优化方法和运筹学中规划方法来思考。

2、描述对象系统特点

        研究问题的主要因素是什么？这些要素之间的关系是什么样的？而这些关系既可以使逻辑的（与、或、非、蕴含，⋯），也可以是集合的（交、并、属于，⋯）还可以是算数（加、减、乘、除，  ⋯）的。抓主要因素，明确因素之间关系。这个过程，实际上是从代数系统（集合 + 定义在其上的函数）来考虑。其实最重要的是系统的关系，确定了系统的结构，代数研究的就是运算规律。

二、处理问题手段及认知方式

1、抽象化

      对于一些关系比较复杂，内容繁复对象，要想了解其复杂结构，一般都是都是找出其主要因素和关系，以图的方式连接因素直观易理解，表达其或并列、或顺序、或循环、或递进关系，这种方式还能反应对象演化趋势。这个是受图论和群同态启发的。

2、消除不确定性

    小时候外婆常说你早点到现场（球场、考场、机场等）就安心了。后来想，到达一个地方实际上可以把过程划分为几个时间关联环节，如在家、路上、进到目的地等，每一个过程都有不确定性，通过古典概率中加法原理可以列出算式，到目的地后，路上等环节碰到问题的概率就变成 0 了，事情变得更可控了。

3、寻找趋势中内在原因

      在描述趋势时，可以通过外推模型（如各种回归）进行说明，而且一般来说其效果时比较好的，但是一定要注意这种预测是建立在今后时期和研究时期二者内在结构都比较相近情况下才能应用其进行推断。如果二者结构变了，根本就不可能有好的预测能力。如在十多年前油价高企时利用计量模型预测油价走势一直在高位运行，但是事实却不是如此，很重要一个原因是页岩气开采技术让市场有了更多能源供给，使得原来的模式出现了变化。能白盒化最好。能描述状态演化过程就要容易一些，这是从系统动力学方法中受到的启发。

4、通过分类简化纷繁世界

      通过对对象分类，先从简单对象中选择典型对象进行研究，得到普遍结论就可以应用到其他对象中来，就能对复杂对象能有好的把握。这个过程是受到群论研究方法论影响。分类时不管对象外在差别有多大，尽量从其元素间内在相互作用一致性来进行划分，而且这个划分方法需要粗糙一些。这是通过群同构、粗糙集、几何到拓扑得到的感悟。

5、世界不是只有黑白两端

      世界不是只有对错，中间还有大量灰色地带。康托尔传统集合论让一个元素要么属于一个集合，要么不属于某个集合。但是模糊数学却打破了这种二值逻辑限制，让一个元素可以部分属于某个集合，而且通过隶属函数来描述。接受他人价值观、行为方式不同，尊重不一样。

6、接受反直观结果

      直觉具有很微妙特点，一方面我们对于简单的事情必须要以直觉为基础，作为数学基本流派之一直觉主义者尤其如此，不过形式化公理主义者却否则这个基础。但是对于现实中许多复杂对象却是反直观的。如控制论中描述反馈的通过状态演化方程（矩阵或者微分方程）和量测方程形成的描述反馈现象得出结论常常与直觉相当不一样。

7、简单化

      对一个研究对象，能简单就尽量简单。这样其适应范围（泛化能力）和稳健性（对数据容错能力）鲁棒性（对数据变化率敏感度）能更好，这是一个经验。这是从泰勒展式中得到的启发。一个复杂函数可以用一些简单函数去逼近。当然，这也是奥卡姆剃刀原则应用。

8、换位思考

      许多时候不能一条路走到黑，如果觉得这个方法解决问题实在太困难，那就需要看看是否应该另辟蹊径，找到另外的实现路径。这是很重要的一条方法。傅立叶变换中（对应的面对离散对象的 𝒵  变换）从复杂时域系统转换为正弦函数的频域分析，性质变化，也简化了分析对象。

三、数学方法有限性

1、数据描述有限性

        我们常说用数据说话。通过数据或者能很好地支持自己的观点。但是分析的样本是怎样选择的？辛普生悖论是指数据集分组呈现趋势与数据集聚合呈现趋势相反现象。样本分组会形成不同结论，但其实这不是真正悖论，它内部没有包含逻辑上矛盾，只是有些违背人们常理罢了。样本是否无偏？如果得到的信息是经过有意过滤的，那分析中哪怕使用最客观方法得到结果依然是不可靠的。

2、符合事实逻辑和常识

    分析结果可以经过严格显著性检验，但是这些内容只是在数据上面表现，对象间是否真有这样关系，还需要有事实逻辑以及常识支撑。一般来说有坚实理论基础，能进行严格逻辑推断不与常识有太大差别才能接受。当然，如果得到一个完全背离常识颠覆性结论或许是认知领域的巨大进步，当然我们普通人一般不具备这样天赋。

3、不可能完全数学化

      数学能应用到绝大部分领域，但是不可能通吃一切。也是不应该的。数学本身对于复杂现象有些无能为力。如随机过程中连续性参数空间对象的描述。我们的世界如此丰富多彩如果都成为冷冰冰数字和抽象公式，那真没有意味了。

四、对思维方式根本影响

      考虑的问题和条件都完整吗，相互之间的关系都正确吗，没有矛盾吧。结论之间自洽吧，这些都是从数学系统的一致性和完备性获得的灵感。

      其实学了数学，最后他还是在潜移默化的重塑我们的思维，或许你没有注意到，但是确实能给人很大支持和改变。有兴趣可以看看这个学科内容。