旋转矩阵李代数的推导

1.推出反对称矩阵

有 旋转矩阵 R：

\begin{align*} 旋转矩阵为正交矩阵→\ & RR^T=I\\ 随时间t变化,此式不变→\ & R(t)R(t)^T=I\\ 左右对时间t求导→\ & \dot{R(t)}R(t)^T+R(t)\dot{R(t)^T}=0 \\ →\ & \dot{R(t)}R(t)^T = - (\dot{R(t)}R(t)^T)^T \\ →\ & \dot{R(t)}R(t)^T \ 为一个反对称矩阵 \end{align*}

这一步的结论就是：\dot{R(t)}R(t)^T 为一个反对称矩阵。

2.推出微分方程

反对称矩阵 与 一个 三维向量 有一一对应的关系:
\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix}, A= \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0\\ \end{bmatrix}
将其关系表示为:
\vec{a}^\land=A , A^\lor = \vec{a}

反对称矩阵 \dot{R(t)}R(t)^T 可表示为：Φ(t)^\land ，Φ(t) 是一个三维向量。
\begin{align*} &\dot{R(t)}R(t)^T=Φ(t)^\land \\ 变形→\ &\dot{R(t)}=Φ(t)^\land R(t) \end{align*}
得到一个微分方程 \dot{R(t)}=Φ(t)^\land R(t)。

3.解微分方程

解此微分方程前需做如下假设：

  • t=0 时刻，R(0)=I；
  • t=0 时刻附近，Φ(t) 为常数 Φ_0；

则在 t=0 时刻附近，上式变为：
\dot{R(t)}=Φ_0^\land R(t)

微分方程知识:
\begin{align*} 当微分方程为： \ & \frac{dy}{dx} + Ay = 0 \\ 解为： \ &y=Ce^{-Ax} \end{align*}

上式微分方程结果：
\begin{align*} & R(t)=R(0)\exp{(Φ_0^\land t)} \\ 假设 R(0)=I → \ & R(t)=\exp{(Φ_0^\land t)} \end{align*}
这一步的结果是得到这样一个表达式：R(t)=\exp{(Φ_0^\land t)}

4.完成推导

现在将 t 视作一个常量：

  • R(t) 总是一个旋转矩阵，直接写作 R；
  • Φ_0^\land t 依然是一个反对称矩阵，写作Φ^\land

则有最终的形态：
R=\exp{(Φ^\land)}

其中：

  • 矩阵 R 是 特殊正交群 SO(3) 中的元素；
  • 向量 Φ 是其对应的 李代数 so(3) 中的元素；
  • R 和 Φ 通过上述公式产生了一一对应的联系；

5. 如何由 Φ 计算 R

将 R=\exp{(Φ^\land)} 展开计算，可得：
\begin{align*} R&=\exp(Φ^\land) \\ &=\exp(θ n^\land) \\ &= ... 计算过程略 \\ &=\cosθI+(1-\cosθ)nn^T+\sinθn^\land \\ \end{align*}

最后的结果又叫：罗德里格斯公式 (Rodrigues’s Formula)

其中：

  • 向量 n 是 Φ 的单位方向向量；
  • 标量 θ 是 Φ 的模长。

6. 如何由 R 计算 Φ

推导略，给结果，将 Φ 的计算分解为 θ,n 的计算：
\begin{align*} θ &= \arccos(\frac{tr(R)-1}{2}) \\ n &= R\ 的特征值为\ 1 对应的特征向量 \end{align*}

7. Φ与旋转向量

旋转矩阵 R 的李代数向量 Φ 实际上就是 R 对应的 旋转向量：

  • 旋转轴为 n
  • 旋转角度为 θ
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