线代（五）：相似矩阵及二次型

向量的内积、长度及正交性

施瓦茨（Schwarz）不等式:

若 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}, … ,a_{r}$ 是一组两两正交的非零向量，则 $a_{1},a_{2}, … ,a_{r}$ 线性无关.

设 $n$ 维向量 $e_{1},e_{2} ,… ,e_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，如果 $e_{1},…,e_{r}$ 两两正交，且都是单位向量，则称 $e_{1}，…，e_{r}$ 是 $V$ 的一个标准正交基。

用施密特（Schmidt）正交化办法把 $a_{1},a_{2}, … ,a_{r}$ 标准正交化：

如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{T} A =E$ （即 $A^{ -1} =A ^{T}$ ），那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵. $\Rightarrow$ 方阵 $A$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $A$ 的列向量都是单位向量，且两两正交。

若 $A$ 为正交矩阵，则 $A^{-1} =A^{T}$ 也是正交矩阵， $|A|$ =1 或（-1）
若 $A$ 和 $B$ 都是正交矩阵，则 $AB$ 也是正交矩阵

若 $P$ 为正交矩阵，则线性变换 $y=Px$ 称为正交变换

正交变换线段长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这是正交变换的优
良特性.

方阵的特征值与特征向量

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $λ$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ 使关系式: $Ax=λx \Rightarrow (A-λE)x=0,$ 成立，那么，这样的数 $λ$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $λ$ 的特征向量.

设 $λ_{1} ,λ_{2}，… ,λ_{m}$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值, $p_{1},p_{ 2} ,… ,p_{m}$ 依次是与之对应的特征向量，如果 $λ_{1}, λ_{2},…,λ_{m}$ 各不相等，则 $p_{1},p_{2},…,p_{m}$ 线性无关. $\Rightarrow$ 设 $λ_{1}$ 和 $λ_{2}$ 是方阵 $A$ 的两不同特征值， $ξ_{1} ,ξ_{2} ,…,ξ_{s}$ 和 $η_{1},η_{2},…,η_{t}$ 分别是对应于 $λ_{1}$ 和 $λ_{2}$ 的线性无关的特征向量，则 $ξ_{1},ξ_{2},…,ξ_{s},η_{1},η_{2},…,η_{t}$ 线性无关

相似矩阵

设 $A、B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{ - 1} A P = B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似.对 A 进行运算 $P^{-1}AP$ 称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$ 的相似变换矩阵.

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，从而 $A$ 与 $B$ 的特征值亦相同. $\Rightarrow$ 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵: $\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}$ 相似，则 $λ_{1},λ_{2},…,λ_{n}$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似（即 $A$ 能对角化）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. $\Rightarrow$ 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角矩阵相似。

对称矩阵的对角化

对称矩阵的特征值为实数.
设 $λ_{1},λ_{2}$ 是对称矩阵 $A$ 的两个特征值, $p_{1} ,p_{2}$ 是对应的特征向量.若 $λ_{1} ≠λ_{2}$ ,则 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 正交.
设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} AP=P^{T}AP=Λ$ ，其中 $Λ$ 是以 $A$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角矩阵. $\Rightarrow$ 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵， $λ$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，则矩阵 $A -λE$ 的秩 $R(A-λE)$ = $n-k$ ,从而对应特征值 $λ$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量.

二次型及其标准形

只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）： $f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+\dots+k_{n}y_n^{2}$
如果标准形的系数 $k_{1},k_{2},…,k_{n}$ 只在1，-1，0三个数中取值,则称为二次型的规范形
当 $a_{ij}$ 为复数时， $f$ 称为复二次型；当 $a_{ij}$ 为实数时， $f$ 称为实二次型

设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $C$ ，使 $B = C^{T}A C$ ，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同.

任给二次型,总有正交变换 $x=Py$ ，使 $f$ 化为标准形: $f=λ_{1}y_{1}^{2}+λ_{2}y_{2}^{2}+\dots+λ_{n}y_{n}^{2}$ ,其中 $λ_{1},λ_{2},…,λ_{n}$ 是 $f$ 的矩阵 $A =(a_{ij})$ 的特征值 $\Rightarrow$ 任给 $n$ 元二次型 $f(x)= x^{T} Ax (A^{T} =A)$ ,总有可逆变换 $x = Cz$ ，使 $f(Cz)$ 为规范形

用配方法化二次型成标准形

正定二次型

设二次型 $f=x^{T}Ax$ 的秩为 $r$ ，且有两个可逆变换: $x = Cy$ 及 $x = Pz$ 使 $f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+\dots+k_{r}y_{r}^{2}$ 及 $f=λ_{1}y_{1}^{2}+λ_{2}y_{2}^{2}+\dots+λ_{r}y_{r}^{2}$ ,则 $k_{1},k_{2},…,k_{r}$ 中正数的个数与 $λ_{1},λ_{2},…,λ_{r}$ 中正数的个数相等

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数

设二次型　 $f(x)= x^{T} Ax$ ，如果对任何 $x≠0$ ，都有 $f(x)＞0$ 显然 $f(0)= 0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，并称对称矩阵 $A$ 是正定的；如果对任何 $x≠0$ 都有 $f(x)＜0$ ，则称 $f$ 为负定二次型,并称对称矩阵A 是负定的.

$n$ 元二次型 $f=x^{T}Ax$ 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为 1，亦即它的正惯性指数等于 $n$ $\Rightarrow$ 对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是： $A$ 的特征值全为正
对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是： $A$ 的各阶主子式都为正
对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正