欧拉角

进动角

进动现象：刚体自转轴绕着铅垂轴的转动
自转轴绕 $\color{red}{z_0}$ 轴旋转的角度 $\psi$

章动角

刚体绕 $x^{\prime}$ 轴旋转的角度 $\theta$

旋转角

刚体绕 $z^{\prime}$ 轴旋转的角度 $\varphi$

欧拉角

任一瞬时，刚体相对定系的位置可由动系的三次顺序转动确定。三次转动的转角称为欧拉角
坐标系 $Ox_0y_0z_0$ →坐标系 $Oxyz$ 绕 $x_0$ 转动 $ψ$ 的变换矩阵为：
$\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right]=A_{1}(\psi)\left[\begin{array}{l}{x_{0}} \\ {y_{0}} \\ {z_{0}}\end{array}\right]$
依次类推：
$\begin{aligned} A_{1}(\psi)&=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {\cos \psi} & {\sin \psi} \\ {0} & {-\sin \psi} & {\cos \psi}\end{array}\right] \\A_{2}(\theta)&=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \theta} & {0} & {-\sin \theta} \\ {0} & {1} & {0} \\ {\sin \theta} & {0} & {\cos \theta}\end{array}\right] \\ A_{3}(\varphi)&=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \varphi} & {\sin \varphi} & {0} \\ {-\sin \varphi} & {\cos \varphi} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \end{aligned}$

欧拉角表示的坐标变换

$\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right] &=A_{3}(\varphi)\left[\begin{array}{c}{x_{2}} \\ {y_{2}} \\ {z_{2}}\end{array}\right]=A_{3}(\varphi) A_{1}(\theta)\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {y_{1}} \\ {z_{1}}\end{array}\right] \\ &=A_{3}(\varphi) A_{1}(\theta) A_{3}(\psi)\left[\begin{array}{c}{x_{0}} \\ {y_{0}} \\ {z_{0}}\end{array}\right] \end{aligned}$

总的变换矩阵为：
$A=A_{3}(\varphi) A_{1}(\theta) A_{3}(\psi)$

欧拉位移定理

定点转动刚体的任何位移都可以绕通过定点某一轴的一次转动来实现。

角速度

有限角位移不是矢量

例：将与 $yOz$ 共面的s平面进行21旋转与12旋转结果不同，不满足矢量加法交换律，所以有限角位移不是矢量
无限小角位移是矢量

证明：
1. 先绕 $l_1$ 转 $\mathrm{d}{\varphi_1}$ 再绕 $l_2$ 转 $\mathrm{d}{\varphi_2}$
  
  将 $\mathrm{d}{\varphi_1}$ 和 $\mathrm{d}{\varphi_2}$ 按右手定则看作有向线段，于是有
  $\begin{aligned}\mathrm{d} \boldsymbol{r}_{1}&=\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{1} \times \boldsymbol{r} \\ \mathrm{d} \boldsymbol{r}_{2}&=\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{2} \times\left(\boldsymbol{r}+\mathrm{d} \boldsymbol{r}_{1}\right) \\&=\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{2} \times \boldsymbol{r}+\underbrace{\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{2} \times \mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}}_{忽略的二阶小量}\\&=\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{2} \times \boldsymbol{r}\end{aligned}$
$\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\left(\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{1}+\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}_{2}\right) \times \boldsymbol{r}$
1. 先绕 $l_2$ 转 $\mathrm{d}{\varphi_2}$ 再绕 $l_1$ 转 $\mathrm{d}{\varphi_1}$
  
  同上，得到相同结果
  $\mathrm{d} \boldsymbol\varphi=\left(\mathrm{d} \boldsymbol\varphi_{1}+\mathrm{d} \boldsymbol\varphi_{2}\right)=\left(\mathrm{d} \boldsymbol\varphi_{2}+\mathrm{d} \boldsymbol\varphi_{1}\right)$
  两边同时除以 $\mathrm{d}t$ 有：
  $\boldsymbol\omega=\left(\boldsymbol\omega_{1}+\boldsymbol\omega_{2}\right)=\left(\boldsymbol\omega_{2}+\boldsymbol\omega_{1}\right)$
定点转动刚体的角速度 $\boldsymbol {\omega}$
- 大小： $|\boldsymbol\omega|=\lim_{\mathrm{d}t\to0}|\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol\varphi}{\mathrm{d}t}|=|\dot{\boldsymbol\varphi}|$
- 方向：沿瞬轴，指向由右手法则确定

$\boldsymbol\omega=\omega\boldsymbol e_\omega$

角加速度矢量

$\boldsymbol\varepsilon=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol\omega}{\mathrm{d}t}=\dot\omega\boldsymbol e_\omega+\omega\frac{\mathrm{d}\boldsymbol e_\omega}{\mathrm{d}t}$

设瞬轴单位矢量 $\boldsymbol e_\omega$ 的角速度为 $\boldsymbol\Omega$ ，由泊松公式得：
$\boldsymbol\varepsilon=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol\omega}{\mathrm{d}t}=\underbrace{\dot\omega\boldsymbol e_\omega}_{角速度大小变化}+\underbrace{\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol\omega}_{角速度方向变化,\\即瞬轴方向的变化}$

行星齿轮

求：齿轮的角速度和角加速度

已知 $z$ 轴为旋转轴的角速度 $w_1$ 为常量，齿轮绕 $z$ 轴的旋转半径为 $l$ ，齿轮半径为 $R$ ，齿轮自转轴设为 $y$ ，角速度设为 $w_2$

齿轮的绝对角速度矢量为： $\boldsymbol \omega=\boldsymbol \omega_1+\boldsymbol \omega_2$

碾子模型的齿轮为纯滚动， $\omega_1l=\omega_2R$

且齿轮与盘面接触点的角速度为0，则合成旋转轴一定过 $O$ 和接触点，设合成转轴与 $y$ 轴成 $\theta$ ，由几何关系得：
$\boldsymbol \omega_2=-\omega_1\cot\theta\boldsymbol j=-\frac{l}{R}\omega_1\boldsymbol j$
角速度矢量为：
$\begin{aligned} \boldsymbol \omega&=\boldsymbol \omega_1+\boldsymbol \omega_2\\ &=-\frac{l}{R}\omega_1\boldsymbol j+\omega_1\boldsymbol k\\&=\frac{\sqrt{l^2+R^2}}{R}\omega_1\boldsymbol e_{\omega}\\&=\csc\theta\omega_1\boldsymbol e_{\omega} \end{aligned}$
$\omega_1 \boldsymbol k$ 为常矢量

角加速度矢量为：
$\begin{aligned} \boldsymbol\varepsilon&=\frac{d(\csc\theta\omega_1)}{dt}\boldsymbol e_{\omega}+\csc\theta\omega_1\frac{d\boldsymbol e_{\omega}}{dt}\\&=\boldsymbol 0+\csc\theta\omega_1\boldsymbol\omega_1\times\boldsymbol e_\omega\\&=\csc\theta\omega_1|\boldsymbol\omega_1||\boldsymbol e_\omega|\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\boldsymbol i\\&=\cot\theta\omega_1^2 \boldsymbol i\end{aligned}$

刚体内任意一点速度与加速度

对于刚体内任一点 $M$ 绕瞬轴转 $\boldsymbol {dr}$ 角后 $M$ 的位移为：
$\boldsymbol {dr}=\boldsymbol {d\varphi}\times\boldsymbol {r}$

速度
$\boldsymbol {v}=\frac{\boldsymbol {dr}}{dt}=\frac{\boldsymbol {d\varphi}}{dt}\times\boldsymbol {r}=\boldsymbol {\omega}\times\boldsymbol {r}$
加速度
$\begin{aligned} \boldsymbol {a}=\frac{\boldsymbol {dv}}{dt}&=\frac{\boldsymbol {d\omega}}{dt}\times\boldsymbol {r}+\boldsymbol {\omega}\times\frac{\boldsymbol {dr}}{dt}\\&=\underbrace{\boldsymbol {\varepsilon}\times\boldsymbol {r}}_{转动加速度\boldsymbol a_1}+\underbrace{\boldsymbol {\omega}\times(\boldsymbol {\omega}\times\boldsymbol {r}}_{向轴加速度\boldsymbol a_2}) \end{aligned}$

遗留问题

刚体定点转动的角速度和角加速度方向是否相同？

行星齿轮反例
如果刚体定点转动的角速度大小为常数，其角加速度是否为0？

行星齿轮反例

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欧拉角

进动角

章动角

旋转角

欧拉角