矩阵归纳Ⅰ

矩阵这一块非常重要，所以例题众多，方法很多，分为几部分来列出其中一些较为典型方法。

5.2.设 $A_{3\times 2}B_{2 \times 3}=\left(\begin{array}{ccc} 3&0&3\\ 0&6&0\\ 3&0&3\end{array}\right)$
(1)求证：r(A)=r(B)=2
(2)求证： $BA=6E_2$
补充：任给一个矩阵 $C$ 列满秩矩阵 $A$ 则 $r(C)\geq r(AC)\geq r(A'AC)=r(C)$

5.3.设 $A$ 是 $m$ 阶方阵， $B$ 是 $n$ 阶方阵， $C$ 是 $m\times n$ 阶阵，证明 $AX+XB=C$ 有唯一解当且仅当 $\lambda_i+\mu_j\not =0$ ，其中 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$ 分别是 $A,B$ 的任一特征根
提示：只需证 $AX+XB=0$ 无解即可，由 $AX+XB$ 为线性变换，那么 $AX+XB=C$ 单射得到满射，则必有解。

5.12证明：(1)设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $AB=0$ 证明： $r(BA)\leq [\frac{n}{2}]$ 其中 $[\frac{n}{2}]$ 表示不超过 $\frac{n}{2}$ 的最大整数。
(2) $\forall n \in \mathbb{Z}^+$ 都存在 $n$ 阶矩阵 $A,B$ 满足 $AB=0,r(BA)=[\frac{n}{2}]$
提示： $A=\left(\begin{array}{cc} E_{[\frac{n}{2}]}&0\\ 0&0\end{array} \right)$ , $B=\left(\begin{array}{cc} 0&0\\ E_{[\frac{n}{2}]}&0\end{array}\right)$

5.15已知 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A^2=AA^T$ ，证明： $A=A^T$
提示：法一：可逆时显然，不可逆时0为 $A$ 的一个特征值，归纳从低阶到高阶
法二：利用 $tr(AA')=0\Leftarrow \Rightarrow A=0$

5.23证明：
(1)对任意矩阵 $A$ 矩阵方程 $AXA=A$ 总有解
(2)如果矩阵方程 $AY=C,ZB=C$ 都有解，则矩阵方程 $AXB=C$ 有解

5.29设 $A,B\in \mathbb{F}^{n times n},AB=BA$ 证明 $r(A+B)\leq r(A)+r(B)-r(AB)$
提示： $\left(\begin{array}{cc} A&0\\ 0&B\end{array}\right)$ $\Rightarrow$ $\left(\begin{array}{cc} A&B\\ 0&B\end{array}\right)$ $\Rightarrow$ $\left(\begin{array}{cc} A+B&B\\ B&B\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc} E&0\\ B&-(A+B)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A+B&B\\ B&B\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc} A+B&B\\ 0&-AB\end{array}\right)$

5.35设 $\mathbb{K}$ 是一个数域，方阵 $A\in M_n(\mathbb{K}),C\in M_n(\mathbb{K})$ 如果对于任意的 $B\in M_{m,n}(\mathbb{K})$ 都有 $rank\left(\begin{array}{cc} A&B\\ 0&C\end{array}\right)=rank(A)+rank(C)$ 证明： $A$ 或 $C$ 可逆
提示：反证：若均不可逆，存在可逆矩阵 $P_1,Q_1,P_2,Q_2$ 使得
$P_1AQ_1=\left(\begin{array}{cc} 0&0\\ 0&E_1\end{array}\right),P_2CQ_2=\left(\begin{array}{cc} E_2&0\\ 0&0\end{array}\right)$
于是 $\left(\begin{array}{cc} P_1&0\\ 0&P_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A&B\\ 0&C\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} Q_1&0\\ 0&Q_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} P_1AQ_1&P_1BQ_2\\ 0&P_2CQ_2\end{array}\right)$
若取 $P_1BQ_2=\left(\begin{array}{cc} 0&B_1\\ 0&0\end{array}\right)$
则 $\left(\begin{array}{cc} P_1&0\\ 0&P_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A&B\\ 0&C\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} Q_1&0\\ 0&Q_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&B_1\\ 0&E_1&0&0\\ 0&0&E_2&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$

5.37设 $A$ 为实矩阵，若 $A+A^T=E$ 证明： $A$ 可逆
提示：
法一： $A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}=\frac{E}{2}+\frac{A-A^T}{2}$
由于 $\frac{A-A^T}{2}$ 是反对称矩阵，那么其特征值只能为 $0$ 或
纯虚数，证毕
法二：反证：不妨假设不可逆，那么 $AX=0$ 必有非零解设为 $Y$ 那么带入题设有 $A^TY=Y\Rightarrow Y^TAY=Y^TY=0\Rightarrow Y=0$

5.41 $A,B\in \mathbb{F^{n \times n}},r(A+B)=r(A)+r(B),(A+B)^2=A+B$ 证明： $AB=BA=0,A^2=A,B^2=B$
提示：
$A^2=A\Leftarrow\Rightarrow r(A-E)+r(A)=n$

5.42设 $A$ 是 $n$ 阶正交阵，证明： $rank(A-E)=rank(A-E)^2$
提示：
法一：令 $V_1=\{x\in \mathbb{R^n}|(A-E)x=0\},V_2=\{x\in\mathbb{R^n}|(A-E)^2x=0\}$
法二：考虑正交矩阵的相似标准形，由于存在可逆矩阵 $P$ 使得
$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccccc} E_r&&&&\\ &-E_s&&&\\ &&\left(\begin{array}{cc}cos\alpha_1&-sin\alpha_1\\sin\alpha_1&cos\alpha_1\end{array}\right)&&\\ &&&\ldots&\\ &&&&\left(\begin{array}{cc}cos\alpha_l&-sin\alpha_l\\sin\alpha_l&cos\alpha_l\end{array}\right)\end{array}\right)$

例5.45设 $A,B$ 为 $n$ 阶实正交矩阵，证明： $|A||B|=1$ 的充要条件为 $n-r(A+B)$ 为偶数
提示：考虑 $C=AB^T$ 的特征值

最后编辑于：2018.10.09 09:00:21

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