第一章 数感
第一节 数感是什么
1.课标描述
课标实验稿:数感主要表现在。理解数的意义，并能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小。；能用数来表达和交流信息，能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果，并对结果的合理性作出解释。
课标2011年版:数感主要是指关于数与量，数量关系，运算结果，估计等方面的感悟，建立数感有助于学生理解现实生活中。数的意义理解或表述具体情境中的数量关系。
树干是一种主动的，自觉的。或自动的理解数和运用数的态度与意识。
数感是数的抽象意义与具体意义的统一。是一种自觉的，基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
第二节 数感.想说爱你不容易
实际上无论是整数还是分数，小数都可以带上单位，用来表示数量也可以不带单位用来表示两个数量的关系。也就是说一切实数在应用时都是有量纲无量纲两种情况并存。燕子培养数感也不只有联系量一条路径。
培养数感不易，过于依赖量，尤其是不易选择特殊的量。
第三节 数感，可以怎样培养
1 数出数感
对待新名词新口号，应当自觉警惕两种片面性，一是割裂历史，古今中外的某些食物本是相通的。被新包装迷惑，盲目摸石头过河，二是漠视发展，既发现了某些事物的圆通渊源或圆形，就故步自封，不再与时俱进，两种片面性都会误导实践。
2 读书数感
语言本是思维的外壳，但当思维的内容冲刺读数法则。读后又不去想一想读了什么，这是读书的语言，就只是法则的外壳了。
只有让学生在理解的基础上读数，知道自己读的是什么，就能读出数感。而且是脱离了“量”的抽象的数感。
3 看出数感与推出数感
万以内的数的认识，联系生活世界，欲借助几何直观都是有效的1万及以上数的认识，这主要依靠已有的数据概念与对十进制的初步认识。通过推理形成数概念，并发展相映的数感。
真正能留存记忆的关键性支撑是“1万个万是1亿”
直观作用的阶段性以及事实，抽象推理的必要性也反映在认识小数分数的教学中。
4 算出数感与估出数感
5用出数感
第二章 符号意识
“课标2011年版”修改为：
“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”
从字面看，似乎“符号感”强调对符号的感觉、直觉和对符号的敏感性，而“符号意识”则突出了学生主动理解和运用符号的心理倾向。其次，如果将符号看作名词，那么更为重要的是考量符号被赋予的内涵。
“课标2011年版”的解释似乎包含三层意思：首先，符号意识的“对象”是“数、数量关系和变化规律”；其次，符号意识的行为表现，一是能够理解并用符号表示对象，
二是知道使用符号可以进行运算和推理，得到结论；
再次，扼要表述了符号意识的作用
怎样培养学生的符号意识？
1.让学生亲近符号，接受、理解符号
也正是因为数学的象形符号与生俱来的简约记忆功能、辅助理解功能，所以小学数学符号教学的基本任务是让学生欣赏符号、感悟符号。那些不切实际、花费可观的时间让学生自创符号的做法，值得反思。给学生自创符号的机会，并鼓励他们张扬个性，是很好的。但若脱离学生的实际，且厚此薄彼，忽视已有符号的认知与领会，就难免流于形式，适得其反。
2.让学生初步感悟符号表达的优势与作用
第三章 空间观念
数量关系和空间形式是数学研究的两大基本范畴。
相关概念梳理
空间知觉
空间知觉是空间表象的基础，空间想象是空间表象的发展。
空间能力
严格地说，思维与能力是两个有区别的概念，空间能力也不仅仅是空间思维（信息加T），还包含空间问题解决（信息输出）。但无可否认的是，空间思维是空间能力最主要的构成要素，将两者视为一体并忽略其他附属因素不失为一种研究策略。
空间观念
它仅仅是一个具有中国特色的数学教育术语。它的内涵只能靠我们自己基于实践研究，借鉴相关理论来给予界定或描述。
尽管我们将小学生的空间观念主要定位在空间表象水平上，因为它切合小学生空间观念的现实水平；但不应排斥空间想象，因为它在小学生空间观念的邻近发展区内。
怎样把握空间观念
修订后的“课标2011年版”，关于空间观念的语段是：
“主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图等。”
空间观念主要表现
在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激——反应（联想）”
空间观念的描述表达：（数学语言的三种形态）
语言描述、画出图形和符号表示
怎样提升培养空间观念的教学水平
1、借鉴相关理论。
举例子
加强两种直观
视觉直观
小学生观察能力的发展与空间观念的发展基本上是同步的，主要表现为从感知强刺激成分到感知弱刺激成分。从认识单一要素到认识要素关系，从熟悉标准图形到熟悉便是图形。
引导学生观察空间形式的基本教学策略。比较、辨析图形的异同，以运动变化的眼光观察图形。在各种背景中识别基本图形。
动作直观
小学图形与几何教学中的动作直观主要有两类，既操作实验活动与画图。
最常用的操作试验，又图形的拼白折叠，划分、测量、割补以及制作模型等。
重视画图这一有效直观手段。可以丰富学生的几何认知，促进空间观念的发展。例如过零点画直线线段，可以感知两点确定一条直线，两点之间线段最短。过直线外一点画已知直线的平行线垂线，垂线段有助于体会平行公理垂直的唯一性。以及垂直线段最短等。初中数学是为公历的几何事实，绝大部分能够也应该在小学阶段通过探索性画图活动，让学生积累感性认识。继而在发展学生空间观念的时候，切实改善，强化中小学数学教学的衔接。
重视两个结合。
语言与形象结合。
语言是通过教学促进学生空间观念发展仅次于直观的重要手段。
小学生空间观念的年龄特征，决定了他们正处在由乙依据表象为主的直观辨认水平，逐步向以依据特征为主的初级概念判断水平发展。
从语言的介入来看，小学空间发观念的发展主要表现为两个特点，一是从直观辨认图形到语言描述特征，二是使用日常用语到使用几何用语。
教师必须充分应用语言工具，也通过引入几何语言，同化、矫正日常用语发挥其调节内画功能，将大大促进小学生空间观念的形成与发展。
数与形结合。
华罗庚说过数让形更入微。
第四章几何直观。
课标：
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助值几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果几何直观可以帮助学生直观的理解数学在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
在教育心理学中，直观是相对于抽象、概括而言的。一般认为：在实际教学中，就直观的对象来分，可以把直观分为实物直观、模象直观和语言直观三种。三种直观都是直观教学的常规手段，上面“坐跷跷板”的实例，属干实物直观，“讲故事”是语言直观，平时大量使用的各种直观图形则为模象直观。
几何直观三种层次
将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观，称之为“直观感知”，即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义；将高层次的几何直观，概括为“直观洞察”，即发现了直观载体的深层意义或内在本质；将介于“直观感知”与“直观洞察”之间的水平，称之为“直观理解”。
怎样培养发展校学生的几何直观？
1、夯实几何直观的基础，加强空间观念的培养。
2、体会几何直观的作用。
重视数形结合的应用，特别是形使数更直观方面的应用。
重视数学的直观理解。
重视数学的直观洞察。
一般地，两次翻折，当对称轴互相平行时，相当于一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转。
3、拓展几何直观的时空。
适当扩展几何直观的应用范围。
逐步形成构造直观的系列。
第五章 数据分析观念
“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许
多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”
——《义务教育数学课程标准（2011年版）》
这段话也包含三层意思。对照比较：首先，修改后去掉了较为空洞的“统计思考”；然后，对统计观念的两个具体内容作了较大的调整；最后，增补了“体验随机性”的学习要求。具体地说：关于“统计过程及其认识”，修改后将“决策”降低为“作出判断”，并强调“数据蕴涵信息”。这比较符合小学数学的教学实际。
关于“对统计过程、方法、结果的反思”，淡化了“质疑”，强调了方法的“多样”与合适”，也涵盖子统计的问题解决。考虑到当前社会上忽悠人的虚假数据、不实信较多，笔者以为，保留“质疑”较妥。而且实践表明，在使小学生“了解对于同样的据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法”的同时，“能对据的来源、处理、结果进行合理的质疑”，也是可行的。
关于“体验随机性”，这一增补不仅十分必要，而且相当具体地从两方面刻画了随机性的含义与体验途径，浅显地、呼之欲出地渗透了偶然与必然的关系。
概率
学生认知基础的研究
十岁左右起简单概率概念发展加速，这也是业余传授概率知识的时期。
有关可能性大小的知识，在小学的教学空间比较有限，至少在目前，教育不教差别不大的现象在所难免。
要想杜绝害赠费疑所思的误解，明知的教学抉择之一就是让孩子慢慢长大，随着年龄的增长，幼稚的想法自然会减少。
数据分析观念内涵的解读。
知识技能层面的内涵。
首先，在知识技能层面上，数据分析观念的形成有赖于统计过程的经历，主要是数据收集，数据整理描述、数据分析判断，股离了这一基础，观念就成了无本之木。
思想观点层面的内涵。
整体思想，随机思想，相对思想。
整体思想自然而然将更多的依靠归纳思维，而不是演绎思维。整体思想贯穿统计始终，因为统计的根本任务就是通过样本来描述，推断总体。
随机思想。就是认识不确定性的普遍存在，承认例外知道可以透过偶然发现必然。
相对思想。统计方法没有简单意义上的对与错，只有好与不好。统计具有时效性。
统计的三个特性，整体性，随机性，相对性。
价值观层面的内涵。
实事求是的科学精神。
实践探讨
对策分析及启示
1、好的数据内容读图，效果自然会好。
学生自己的数据，身边的数据，连续累积的数据。还需要一些有趣内涵知识的数据。
2、看图分析解释，需要教师适当干预。
引导学生根据数据做出解释，提出问题，这在小学的读图教学中常常是必要的，对于数据以外的常识难以判断的解释，引导学生课后寻找依据也是明智的对策。
3、在看图过程中，揭示有价值的知识点。
比如一格表示几
学生都以为省略一部分刻度是因为画不下的缘故，不少教室也如此解释。其实是一种误解。省略一部分刻度，主要为了留出空间放大差异一目了然，以便于比较。
统计图的选择
其一，图的特点可以灵活应用。
其二，合适的图，能让数据开口说话。
第六章 运算能力
“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”
——《义务教育数学课程标准（2011年版）》
这两句话实际上刻画了运算能力的三个主要表现，正确运算，理解算理，方法合理。
运算能力的培养主要依靠根据法则和运算律提高正确性。通过理解算理与灵活运用运算解决问题，发展能力。
运算能力具有一定的层次性，发展性，由非负数运算到有理数运算，再到实数运算，由整式运算到分式根式运算，由具体运算到抽象运算。
证明与计算是数学研究的两大主要支柱。
从小学数学课程的时机来看，整数，小数分数的计算始终是数学学习的主线，其他数学知识都必须跟随这根主线的进程穿插展开。
在数学中，运算的本质是集合之间的映射。
能说清楚不同算法的学生大多并不采用自己想到的另类算法，实际上是在迎合教师的多样化追求。并不是所有的计算都是和多样化。因为算法多样，解释多样影响，干扰了主干算法和算理的解释与记忆。
迄今为止，体现课程标准要求“寻求合理简洁的运算途径解决问题”的练习题、测试题，依然是“凤毛麟角”；运算律的应用，在小学几乎还是等价于“简便运算”：脱离现实背景的“简便运算”，照旧是小学数学的常规训练题型和常规检测项目。
运算能力培养的若干教学建议
一、传承有效的教学策略
1、重视数与运算的概念教学，将算法归结为基本概念，基本原理。
例如五个3+3个三等于8个3，数据在不断变化，多数学生形成了几个极佳，几个，几等于几个级的记忆表象。
2、重视理解基础上的掌握，循理入法，以理驭法。
3、重视口算基本功的训练，持之以恒，适当拓展。
口算时，学生要在瞬间进行多种数的分拆、重组、转化等心理操作活动，有助于提高思维的品质，如敏捷性、灵活性等；在日常生活中，各种精确计算、近似计算，由口算（心算）完成或参与的频率最高。
一般来说，基本口算由理解、掌握到熟练、内化，最终作为计算的直觉反映，构成运算能力的基础。进一步，可以推广至整百、整千，以及小数、分数与百分数。
口算速度的把握，整数的口算可参考人教版教材教师教学用书附录的有关标准，小数分数的口算以正确为主，可以不提速度要求。
4、重视运算错误的心理分析，对症下药。
小学生计算粗心的三种主要类型记混销，行错，写漏写性，干扰性并发现知觉，记忆，思维综合障碍是导致小学生计算粗心的直接原因。。
5、重视激发学生运算的兴趣，让学生感受计算好玩儿。
例如24点游戏。拖拉机凑十游戏
6、重视良好，运算习惯培养。
二、关注计算方式的选择。
确实，面临实际计算问题时，首先应当考虑需要近似答案还是精确答案：如果一个近似答案就足够了，那就估算；如果需要精确答案，那就还要依次选择能否口算、笔算，是否用计算器算。也就是说，选择计算方法，应在确定了计算方式之后进行。以往，我们总是用“口算”“估算”“笔算”“递等计算”等指导语指定计算方式，学生很少有机会思考、选择。
三、将合理选择算法，贯彻到笔算中。
合理选择算法，正确计算本是笔算的内涵。割裂笔算于简便运算，实在没有道理。
四、估算宜以解决实际问题为主，适当引导，加深认知。
估算宜以解决实际问题为主，但也不排斥用于单纯计算的检验与估计；估算教学要从学生实际出发，但也不能处处迁就学生。事实上，先笔算再取整是教学导致，并非学生与生俱来，只要引导得当，不难让学生舍去“笔算一取整”的估算方法。
五、改造简便，运算教学，发挥学习迁移的效能。
六、加强寻求合理简洁的运算途径解决问题的教学。
例一侧重运算条件，数据的联想
例二侧重运算问题，问题的转化。
第七章 推理能力
“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程
中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合
情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。”
推理是由已知判断（前提），推出位置判断（结论）的思维。
首先，依据推理形式的不同，可以将推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理。
其次，根据推理的前提和结论之间是否具有必然联系，又可以把推理分为必然推理和或然推理。前提与结论之间有必然联系的推理叫做必然性推理（也叫必真推理）；前提与结论之间没有必然联系的推理叫做或然性推理或合情推理（也叫似真推理）。
“演绎”是由一般到特殊的推理，即由一般性知识的前提推出特殊性结论，它是例1呈现了演绎推理的一般模式，由三部分组成，叫做“三段论”。大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理，对特殊情况出判断。为了简化，也可以省略大前提，如，因为2、5、5的和12是3的倍数，所以255是3的倍数。
“归纳”是由特殊到一般的推理，即由特殊（个别）性知识的前提推出一般
理又可以根据前提所考察对象的范围，分为完全归纳推理和不完全归纳推理，完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，无一例外，它也是必然性准理则仅仅考察了某类事物的部分对象，由此推出的一般性结论，可能是真，也可能是假，它是合情推理。
再进一步，还可以根据前提是否揭示了对象与其属性之间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。
打个不一定确切的比喻：简单枚举归纳推理可能是“盲人摸象”，而科学归纳推理则力求做到“一叶知秋”。
“类比”是由特殊到特殊的推理，即以两个或两类对象有部分属性相同为前提，推出它们的其他属性也相同的结论，也称类推。
不完全归纳推理和类比推理，之所以叫做或然推理似真推理，是因为他们常常看似合情合理，却可能导致错误的结论。
三角形按角分类没有错，也算得上是完全归纳推理，但这里的分类讨论却不是必需的，与其说分类讨论，不如说是分类重复，充其量只是加深印象，分类讨论，可以认为渗透了完全归纳推理，但是讨论锐角三角形也不失一般性。
小学数学递等计算的大前提是等量代换。
过分强调按部就班，部员，学生和一点简化的口述书写要求，既有悖于学生的自然思维，又容易滋生学生的反感情绪。
说明理由，特别是数学理由可以不做，一般要求单应当而且能够逐步渗透，逐步过渡。
怎样培养小学生的推理能力？
第一，重视知识的理解。任何推理问题，都是有推理形式。和推理内容两方面构成的。
第二，鼓励学生猜想。
第三，启发学生说理。启发学生说里是培养推理能力初级教学阶段最主要的手段与基本途径，诱导学生恰如其分地使用尚未学习的数学知识来说里，是小学数学教学的一种境界。在很多情况下，不点破，不挑明是明智的。学生这种无意识的学习行为，源于教师有意识的教学设计，既渗透。
第四，充分利用直观。
第五，数形事理结合。
第六，适当开展推理训练。
第七，培养良好的思维习惯。小学生有根据有条理的思考，首先表现在口头言语的数学表达上，这是最主要的，其次也表现在解题过程，特别是算式的书写上。
发展小学生的推理能力，就是提高学生用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑的能力。
培养学生数学表达的经验：提供示范，提供数学表达框架；从模仿起步，从复述入手；由最初的要求，说完整到要求说准确再到说简单，清晰，逐步提高表达要求。
第八，提升教师自身的素养。
第八章 合情推理
第九章 模型思想
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外
部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”
从字面看，这段话包含三层内容：模型思想的主要功能）数学建模的与表现形态；形成模型思想的其他作用
史宁中教授在《数学思想概论（第一辑）》一书中，对数学思想作了独到的阐）
学思想是指数学发展所依赖、所依靠的思想”“至今为止，数学发展所依赖的本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现宣得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建外部世界的联系”。最核心的抽象思想已经蕴含在多个核心词内，没有再单列。
可见，所谓“用数学的眼光去观察周围的事物，抽象出它的数学意义”，就是从实际事物中发现蕴含其中的数量关系或空间形式。这样的“数学眼光”是完成数学建模不可或缺的能力基础，需要日积月累地逐步培养
第十章，应用意识
“应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。”
可以解读为，一方面是从数学到现实具体化过程），另一方面是从现实到数学（数学化过程）。也可以理解为，一是应用数学的意识（包括用数学解释现实现象的意识，用数学解决实际问题的意识），二是理论联系实际的意识。
所谓数学应用意识，简单地说就是应用数学知识、思想方法的自觉心理倾向性。它基于对数学应用广泛性特点和应用价值的认识，表现为主动从数学角度解释现实现象、解决现实问题的尝试愿望，以及试图沟通数学知识与现实联系的主动思考。
