我们现实生活中用的最多的就是十进制,逢十进一.
但是我们的计算机为什么要采用二进制?
如果懂电路的朋友就很容易理解.用双稳态电路表示二进制数字0和1是很容易的事情。但是用上十进制将会及其复杂.
当然二进制数0和1正好与逻辑量“真”和“假”相对应，因此用二进制数表示二值逻辑显得十分自然。
进制之间可以互相转换，最常用的是 二进制 八进制 十进制 十六进制
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| 100 | 1100100 | 144 | 64 |
| 1000 | 1111101000 | 1750 | 3e8 |
以上简单枚举两个数的转换.下面来介绍下如何进制转换.
- 十进制转二进制
方法为：十进制数除2取余法，即十进制数除2，余数为权位上的数，得到的商值继续除2，依此步骤继续向下运算直到商为0为止。
下图是 十进制的100 转为二进制的演示:
从最后一个余数读到第一个的,所以十进制的100转为二进制就是: 1100100
- 二进制转为十进制
把二进制数按权展开、相加即得十进制数。
我们继续以 1100100 为例.
我们展开后：
(1 * 2^7) + (1 * 2^6) + (0 * 2^5) + (0 * 2^4) + (1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (0 * 2^1) = 100
- 二进制转换十六进制
十六进制取四合一，不足时补0
这次以 101111 为例.
我们可以把 1100100 分成两个部分 0010 和 1111. 每四个为一组.一组最大是1111，也就是十进制的15.
| 十进制 | 十六进制 |
|---|---|
| 10 | A |
| 11 | B |
| 12 | C |
| 13 | D |
| 14 | E |
| 15 | F |
所以结果就是2F.
这里就不过多介绍啦.这上面是我常用的方法.有兴趣的可以去百度来了解更多方法.
计算机中所有数据都已二进制保存,我们已经知道0010 1111 对应的是 十进制的 15, 那么 -15 将如何在计算机中表示呢? 我们将引入 原码,反码,补码 三个概念.
- 原码
第一位用来表示符号位,其余表示值.正数的符号为0,负数的符号位为1
100 的二进制原码是：0110 0100
-100 的二进制原码是: 1110 0100
但原码有个缺陷就是有两个数可以表示0, 1000 0000 和 0000 0000
- 反码
正数的反码是本事,负数的反码是符号位保持不变，其余位取反.
100 的二进制反码是：0110 0100
-100 的二进制反码是: 1001 1011
- 补码
正数的补码是其本身，负数的补码是在其反码的基础上+1
100 的二进制补码是：0110 0100
-100 的二进制补码是: 1001 1100
计算机选择补码作为数字的存储方式,是有原因的.
使用补码表示负整数，那么ALU在做整数之间的操作时，就不用区分符号了，所有位都会参与运算。
这部分比较难理解.只要了解这三个概念即可.随着深入学习会慢慢理解为什么采用补码.
同样我们也知道了一个问题就是int类型的取值范围为什么是-2147483648 — 2147483647
int 类型有四个字节, 一个字节有8位.总长度32位.
按照补码方式存储最大值是 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
最小为 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
通过更深入的学习,我们可以知道计算机是通过CPU执行命令.但是没有提供直接加减法操作的逻辑.我们只可以通过位运算来实现.
什么是位运算呢?
| 位运算符 | 说明 | 举例 |
|---|---|---|
| 按位与(&) | 相应位上的数都是1时,该位才取1,否则该为为0 | 1 & 0 = 0, 1 & 1 = 1 |
| 按位或(|) | 只要相应位上存在1,那么该位就取1,均不为1,即为0 | 1 & 0 = 1, 0 & 0 = 0 |
| 按位异或(^) | 只有当相应位上的数字不相同时,该为才取1,若相同,即为0 | 1 ^ 0 = 1, 1 ^ 1 = 0 |
| 取反(~) | 取反运算,每个位上都取相反值,1变成0,0变成1 | ~0 = 1 , ~1 =0 |
| 左移(<<) | 将一个数各二进制位全部向左移动若干位 | 2 (0010) << 2 = 8(1000) |
| 右移(>>) | 将一个数各二进制位全部向右移动若干位 | 12(1100) >> 2 = 3(0011) |
那如何实现我们的加法操作呢?
以 1 + 2为例
1 .... (0001)
2 .... (0010)
-------------
0011
这有点像我们上面的 按位异或 运算.我们再试一个 3 + 5
3 .... (0011)
5 .... (0101)
-------------
1000
这次的运算我们需要进位,不用进位那结果就是 0110 和按位异或运算结果一样.那我们如何判断是否需要进位呢. 只有当对应数为 1 的时候才考虑进位.可以使用按位与运算符来判断.直到按位与的结果为0时,就不需要进位了.
我们重新理一遍步骤.
- 0011 与 0101 进行按位异或运算得出结果 0110
- 0011 与 0101 进行按位与运算判断是否需要位移 0001,结果不为0需要位移,位移后结果为0010
- 0110 与 0010 进行按位异或运算得出结果 0100
- 0110 与 0010 进行按位与运算判断是否需要位移 0010,结果不为0需要位移,位移后结果为0100
- 0100 与 0100 进行按位异或运算得出结果 0000
- 0100 与 0100 进行按位与运算判断是否需要位移 0100,结果不为0需要位移,位移后结果为1000
- 0000 与 0100 进行按位异或运算得出结果 0100
- 0000 与 0100 进行按位与运算判断是否需要位移 0000,结果为0不需要再位移.所以结果就是 0100
总结：异或实现两数相加不进位,按位与实现进位
下面贴出一个C写的代码
#include <stdio.h>
int bitAdd(int a, int b)
{
int sum, carry;
if (b == 0){return a;} // 当按位与的结果为0 则表示已无需进位
sum = a ^ b;
carry = (a & b) << 1;
return bitAdd(sum, carry);
}
int main()
{
printf("运算结果: %d", bitAdd(3, 5));
return 0;
}
减法的实现再底层也是加法. 5 - 3 就相当于 5 + (-3). 同理乘除也是一样.
这篇的最后一个知识点—字节序.
计算机硬件有两种储存数据的方式: 大端字节序（big endian）和小端字节序（little endian）
比如1000 用大端字节序表示就是 0×03E8。
我们习惯读写大端字节序。所以，除了计算机的内部处理，其他的场合几乎都是大端字节序，比如网络传输和文件储存。不同处理器的存储方式也是不同的.
我们写个Demo看看本机是如何存储的.笔者使用的是Win10
#include <stdio.h>
int main()
{
int a = 1000;
printf("存放地址: %p", &a);
return 0;
}
通过Visual Studio提供的调试工具我们查看内存.
内存中存储的是 e803 . 这就是小端存储.
#include <stdio.h>
int main()
{
int a = 0*1234;
char* p;
p = (char*)& a;
if (p == 0*12)
{
printf("大端存储");
}
else
{
printf("小端存储");
}
return 0;
}
利用这种方法可以判断本机的存储方式.
好啦。今天的分享就到这啦.
