比奥—萨法尔定律（by小毅）

直导线、导线环的磁场：比奥—萨法尔定律

知识点

电流元的磁场：比奥—萨法尔定律
直导线的磁场：
- 方向： $与 I d\vec{l} \times \vec{r}的方向一致，其中\vec{r}为电流元 I \vec{l}到真空中某点的位矢$
- 公式： $dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Id\vec{l}}{r^{2}}\sin \theta(\theta 为\vec{l} \times \vec{r}的夹角)$
圆环的磁场：
- 方向：由右手螺旋定则，
- 公式： $B=\frac{\mu_0 I}{2R}$
直导线与圆环的组合体的磁场：叠加原理

表达题

静止电荷与静止电荷之间通过( )发生相互作用，运动电荷(或电流)与运动电荷(或电流)之间通过( )发生相互作用

解答：电场，磁场

整段电流在场点 $P$ 产生的磁感应强度(简称场强)，是所有电流元在 $P$ 产生的场强 $d\vec{B}$ 的矢量积分。图示电流源 $Id\vec{l}$ 对应的 $d\vec{B}$ 的表达式为 $\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}$ 。请留意相关矢量的方向。则 $d\vec{B}$ 的方向和大小分别为( )

Fig1.png

解答：朝里（右手法则）
$dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Idl}{r^{2}}$

直导线的磁场需要重点掌握。先要熟悉磁场的方向，做法是：右手大拇指指向电流的流向，四指弯弯抓向磁感线的方向。如图， $M$ 点和 $N$ 点的磁场方向分别为( )

Fig6.png

解答：M点朝里，N点朝外

如图所示，有限长导线产生的磁场借助毕奥—萨伐尔定律计算为： $B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\cos\theta_{1}-\cos\theta_{2})$ 。则_____的导线产生的磁场为( )

Fig2.png

$B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\cos\theta_{1}-\cos\theta_{2})$
1. $\color{red}{无限长}$ $\theta_1=0,\theta_2=\pi ,B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$
2. $\color{red}{半限长}$ $\theta_1=\frac{\pi}{2},\theta_2=\pi,B= \frac{\mu_{0}I}{4\pi a}$

导线环的磁场需要重点掌握。先要熟悉磁场的方向，做法是：右手四指弯弯抓向电流的流向，大拇指指向环内磁感线的方向；环外的磁感线方向与环内相反；整条磁感应线未成一个闭合的曲线。如图， $M$ 点和 $N$ 点的磁场方向分别为( )

Fig7.png

导线环的磁场需要重点掌握。先要熟悉磁场的方向。如图， $M$ 点和 $N$ 点的磁场方向，也可以借助其附近“直电流的磁场+右手”来得到。你看对吗？( )

解答：对

导线环的磁场需要重点掌握。圆弧导线在环心的磁场为： $\frac{\mu_{0}I}{2R}\cdot\frac{\Delta\theta}{2\pi}$ 。则图中三种情况下，圆心 $O$ 点的磁感应强度分别为()

Fig8.png

解答： $1.B_1=\frac{\mu_{0}I}{2R}\$ $B_2=\frac{\mu_{0}I}{4R}$ $B_3=\frac{\mu_{0}I}{8R}$

叠加原理求磁场，请注意方向和正负号。如图所示，有两根互相平行的长直导线，电流为 $I_{1}=I_{2}=I$ ，导线间的距离是 $D$ 。现在在两导线构成的平面内，有场点 $P$ 。 $P$ 点到两个导线的距离分别为 $\frac{D}{3}$ 和 $\frac{2}{3}D$ 。我们约定朝里为正数，则 $P$ . $M$ 点的磁感应强度应该为( )

Fig9.png

解答： $B_M=\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}(-\frac{3}{D}- \frac{3}{4D})=-\frac{15\mu_{0}I}{8 \pi D}$
$B_P=\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}(\frac{3}{D}-\frac{3}{2D}）=\frac{3\mu_{0}I}{ 4\pi D}$

叠加原理求磁场，请注意方向和正负号。如图所示的导线，电流为 $I$ ，半径为 $R$ 。我们约定朝里为正数，则 $O$ 点处的磁感应强度应该为( )

Fig11.png

直导线产生的磁场 $B_1=\frac{\mu_0I}{2\pi R}$ （外）
圆环产生的磁场 $B_2=\frac{\mu_0I}{2 R}$ (里)
$B=B_1+B_2$

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