K-means算法的相关描述

聚类是一种无监督的学习，它将相似的对象归到同一簇中。聚类的方法几乎可以应用所有对象，簇内的对象越相似，聚类的效果就越好。K-means算法中的k表示的是聚类为k个簇，means代表取每一个聚类中数据值的均值作为该簇的中心，或者称为质心，即用每一个的类的质心对该簇进行描述。

聚类和分类最大的不同在于，分类的目标是事先已知的，而聚类则不一样，聚类事先不知道目标变量是什么，类别没有像分类那样被预先定义出来，所以，聚类有时也叫无监督学习。

聚类分析试图将相似的对象归入同一簇，将不相似的对象归为不同簇，那么，显然需要一种合适的相似度计算方法，我们已知的有很多相似度的计算方法，比如欧氏距离，余弦距离，汉明距离等。事实上，我们应该根据具体的应用来选取合适的相似度计算方法。

K-means算法虽然比较容易实现，但是其可能收敛到局部最优解，且在大规模数据集上收敛速度相对较慢。

K-means算法的工作流程

首先，随机确定k个初始点的质心；然后将数据集中的每一个点分配到一个簇中，即为每一个点找到距其最近的质心，并将其分配给该质心所对应的簇；该步完成后，每一个簇的质心更新为该簇所有点的平均值。

需要说明的是，在算法中，相似度的计算方法默认的是欧氏距离计算，当然也可以使用其他相似度计算函数，比如余弦距离；算法中，k个类的初始化方式为随机初始化，并且初始化的质心必须在整个数据集的边界之内，这可以通过找到数据集每一维的最大值和最小值；然后最小值+取值范围*0到1的随机数，来确保随机点在数据边界之内。

实际的K-means算法中，采用计算质心-分配-重新计算质心的方式反复迭代，算法停止的条件是，当然数据集所有的点分配的距其最近的簇不在发生变化时，就停止分配，更新所有簇的质心后，返回k个类的质心(一般是向量的形式)组成的质心列表，以及存储各个数据点的分类结果和误差距离的平方的二维矩阵。

上面返回的结果中，之所以存储每个数据点距离其质心误差距离平方，是便于后续的算法预处理。因为K-means算法采取的是随机初始化k个簇的质心的方式，因此聚类效果又可能陷入局部最优解的情况，局部最优解虽然效果不错，但不如全局最优解的聚类效果更好。所以，后续会在算法结束后，采取相应的后处理，使算法跳出局部最优解，达到全局最优解，获得最好的聚类效果。

有时候当我们观察聚类的结果图时，发现聚类的效果没有那么好，如上图所示，K-means算法在k值选取为3时的聚类结果，我们发现，算法能够收敛但效果较差。显然，这种情况的原因是，算法收敛到了局部最小值，而并不是全局最小值，局部最小值显然没有全局最小值的结果好。

　　那么，既然知道了算法已经陷入了局部最小值，如何才能够进一步提升K-means算法的效果呢？

　　一种用于度量聚类效果的指标是SSE，即误差平方和， 为所有簇中的全部数据点到簇中心的误差距离的平方累加和。SSE的值如果越小，表示数据点越接近于它们的簇中心，即质心，聚类效果也越好。因为，对误差取平方后，就会更加重视那些远离中心的数据点。

　　显然，我们知道了一种改善聚类效果的做法就是降低SSE，那么如何在保持簇数目不变的情况下提高簇的质量呢？

　　一种方法是：我们可以将具有最大SSE值得簇划分为两个簇（因为，SSE最大的簇一般情况下，意味着簇内的数据点距离簇中心较远），具体地，可以将最大簇包含的点过滤出来并在这些点上运行K-means算法，其中k设为2.

　　同时，当把最大的簇(上图中的下半部分)分为两个簇之后，为了保证簇的数目是不变的，我们可以再合并两个簇。具体地：

　　一方面我们可以合并两个最近的质心所对应的簇，即计算所有质心之间的距离，合并质心距离最近的两个质心所对应的簇。

　　另一方面，我们可以合并两个使得SSE增幅最小的簇，显然，合并两个簇之后SSE的值会有所上升，那么为了最好的聚类效果，应该尽可能使总的SSE值小，所以就选择合并两个簇后SSE涨幅最小的簇。具体地，就是计算合并任意两个簇之后的总得SSE，选取合并后最小的SSE对应的两个簇进行合并。这样，就可以满足簇的数目不变。

　　上面，是对已经聚类完成的结果进行改善的方法，在不改变k值的情况下，上述方法能够起到一定的作用，会使得聚类效果得到一定的改善。那么，下面要讲到的是一种克服算法收敛于局部最小值问题的K-means算法。即二分k-均值算法。

二分K-means算法

二分K-means算法首先将所有点作为一个簇，然后将簇一分为二。之后选择其中一个簇继续进行划分，选择哪一个簇取决于对其进行划分是否能够最大程度的降低SSE的值。上述划分过程不断重复，直至划分的簇的数目达到用户指定的值为止。

当然，也可以选择SSE最大的簇进行划分，知道簇数目达到用户指定的数目为止。

在上述算法中，直到簇的数目达到k值，算法才会停止。在算法中通过将所有的簇进行划分，然后分别计算划分后所有簇的误差。选择使得总误差最小的那个簇进行划分。划分完成后，要更新簇的质心列表，数据点的分类结果及误差平方。具体地，假设划分的簇为m（m<k)个簇中的第i个簇，那么这个簇分成的两个簇后，其中一个取代该被划分的簇，成为第i个簇，并计算该簇的质心；此外，将划分得到的另外一个簇，作为一个新的簇，成为第m+1个簇，并计算该簇的质心。此外，算法中还存储了各个数据点的划分结果和误差平方，此时也应更新相应的存储信息。这样，重复该过程，直至簇个数达到k。

　　通过上述算法，之前陷入局部最小值的的这些数据，经过二分K-means算法多次划分后，逐渐收敛到全局最小值，从而达到了令人满意的聚类效果。