Chapter6——多元函数微分学

1. 多元函数

1.1 多元函数定义

设 $D$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非空子集， $\mathbb{R}$ 为实数集，若 $f$ 为 $D$ 到 $\mathbb{R}$ 的一个映射，即对于 $D$ 中的每一个点 $P(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 在 $\mathbb{R}$ 中存在唯一的确定实数 $z$ 通过 $f$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，记为
$z=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$

1.2 多元函数的极限

$\varepsilon-\delta$ 语言：设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$ ， $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 是 $D$ 的一个聚点。若存在常数 $A$ ，使得对 $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$ ，当 $P(x,y)\in D\cap U^{*}(P_{0},\delta)$ 时，恒有
$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon$
则称A为函数 $f(x,y)$ 当 $P\rightarrow P_{0}$ 的极限，记为
$\lim_{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}f(x,y)=A$

1.3 多元函数的连续性

设二元函数 $f(x,y)$ 的定义域为 $D$ ， $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 是 $D$ 的一个聚点，且 $P_{0}\in D$ ，如果
$\lim_{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})$ 则称函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 连续。

多元函数和一元函数同样具有最值定理和界值定理等

2. 偏导数和全微分

2.1 偏导数的定义

若极限
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x, y_{0}) - f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}$ 存在，则此极限值为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 对 $x$ 的偏导数，记作
$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_{0},y_{0})}或f_{x}(x_{0},y_{0})$

类似地，若极限
$\lim_{ \Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}, y_{0}+\Delta y) - f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}$ 存在，则此极限值为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 对 $y$ 的偏导数，记作
$\frac{\partial f}{\partial y}|_{(x_{0},y_{0})}或f_{y}(x_{0},y_{0})$

2.2 高阶偏导数

在低阶偏导数的基础上继续求偏导。

二阶偏导数的性质：
$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$
即求高阶偏导数与求低阶偏导数的顺序无关。

2.3 全微分、连续、偏导数之间的关系

2.3.1 全微分定义

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 处的全增量 $\Delta z$ 可表示为
$\Delta z=A(x_{0},y_{0})\cdot \Delta x+B(x_{0},y_{0})\cdot \Delta y+o(\rho)$ 且 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}, A(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0}),B(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0})$ ，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 可微， $\Delta z$ 为其全微分，记作
$dz=f_{x}(x_{0},y_{0})dx+f_{y}(x_{0},y_{0})dy$

2.3.2 可微、偏导数、连续的关系

若函数在某点可微，则其在该点的偏导数必然存在。偏导数存在是可微的必要条件。

若函数在某点的偏导数存在，且偏导数在该点连续，则函数在该点可微。偏导数存在且连续是可微的充分条件。

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2.3.3 多元复合函数求导的链式法则

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首先画出多元变量之间的链式图，对某个变量求导时，从根节点出发直到该叶子节点使用链式法则求导。

2.3.3 一阶微分的形式不变性

无论 $u,v$ 是中间变量还是自变量，都有
$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$

3. 方向导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $M_{0}(x,y)$ 处的某一邻域内有定义，自点 $M_{0}$ 引射线 $l$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $\alpha$ ，在射线上任取一点 $M(x+\Delta x, y+\Delta y)$ ，若极限
$\lim_{M \rightarrow M_{0}} \frac{f(M)-f(M_{0})}{|MM_{0}|}$ 存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $M$ 处沿 $l$ 方向的方向导数，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{M}=\lim_{\rho\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x+\rho \cos \alpha, y +\sin \alpha )-f(x,y)}{\rho}$ 方向导数就是函数 $f(x,y)$ 在在点 $M_{0}(x,y)$ 沿 $l=\{\cos \alpha, \sin \alpha\}$ 方向的变化率

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方向导数的计算：若 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则函数在该点沿任一方向 $l=\{\cos \alpha, \sin \alpha\}$ 的方向导数存在，且
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P}=f_{x}(x,y)\cos \alpha + f_{y}(x,y)\sin \alpha$

4. 梯度（重要）

设函数 $u=f(x,y,z)$ 在点 $P(x,y,z)$ 处可微，则由三个偏导数构成的向量 $\{f_{x},f_{y},f_{z}\}$ 称为函数在 $P$ 点的梯度，记为 $grad \space u|_{p}$ 即
$grad\space u|_{P}= \{f_{x},f_{y},f_{z}\}_{P}$ 若 $l^{*}=\{\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma \}$ 是与 $l$ 同方向的单位向量，则可微函数 $f(x,y,z)$ 在点 $P$ 处沿 $l$ 方向的方向导数
$\begin{split} \frac{\partial f}{\partial l}|_{P} &=f_{x}(P)\cos \alpha+f_{y}(P)\cos \beta+f_{z}(P)\cos \gamma\\ &=grad\space f|_{P} \cdot l^{*}=|grad \space f_{P}| \cos (grad \space f_{P},l) \end{split}$ 所以，函数在 $P$ 点沿着该点的梯度方向，其方向导数取得最大值，为 $|grad \space f_{P}|$ ，沿着反梯度方向，其方向导数取最小值为 $-|grad \space f_{P}|$

5. 多元函数极值

5.1 极值存在性条件

必要条件：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 处取得极值，且函数在该点处的偏导数存在，则 $f_{x}(x,y)=f_{y}(x,y)=0$ ，或 $\bigtriangledown f(P_{0})=0$ ，称该点 $P$ 为驻点。

充分条件：设 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 $\bigtriangledown f(P_{0})=0$ ，记 $A=f_{xx}(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}(x_{0},y_{0})$ ，则
(1). 当 $AC-B^{2}>0$ 时，函数在 $(x_{0},y_{0})$ 取得极值，当 $A<0$ 时，取得极大值，当 $A>0$ 时，取得极小值；
(2). 当 $AC-B^{2}<0$ 时，在点 $(x_{0},y_{0})$ 无极值；
(3). 当 $AC-B^{2}=0$ 时，函数可能取得极值，也可能不取得极值，此时需通过计算函数邻域内的值来判断。

5.2 条件极值，拉格朗日乘数法

求函数 $u=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 在 $m$ 个条件 $\varphi_{i}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0(i=0,1,\cdots,m,m<n)$ 下的条件极值,先作辅助函数
$F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}\varphi_{i}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 其中 $\lambda_{i}$ 为待定系数，有以下方程组成立
$\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x_{j}}=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}+\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{j}} = 0, \quad & j=1,2,\cdots,n\\ \varphi_{i}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0, \quad & i = 1,2,\cdots,m \end{cases}$ 从而根据以上方程解出 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{i}$ 及 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots, \lambda_{m}$ ，其中 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{i}$ 为可能的极值点。