0.散度旋度的定义及矢量分析

首先介绍散度和旋度定义式子

矢量定义:
$\mathbf{A}=A_{x} \mathbf{e}_{x}+A_{y} \mathbf{e}_{y}+A_{z} \mathbf{e}_{z}$
散度：
$\nabla \cdot \mathbf{A}=\partial_{x} A_{x}+\partial_{y} A_{y}+\partial_{z} A_{z}$

旋度
$\nabla \times \mathbf{A}=\left(\partial_{y} A_{z}-\partial_{z} A_{y}\right) \mathbf{e}_{x}+\left(\partial_{z} A_{x}-\partial_{x} A_{z}\right) \mathbf{e}_{y}+\left(\partial_{x} A_{y}-\partial_{y} A_{x}\right) \mathbf{e}_{z}$

有个重要的结论是：矢量场的旋度的散度为零。
$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\partial_x(\partial_y\mathbf{A}_z-\partial_z\mathbf{A}_y)+\partial_y(\partial_z\mathbf{A}_x-\partial_x\mathbf{A}_z)+\partial_z(\partial_x\mathbf{A}_y-\partial_y\mathbf{A}_x)=0$

关于上面公式的证明

矢量分析

矢量
$\mathbf{A}=A_{1} \mathbf{e}_{1}+A_{2} \mathbf{e}_{2}+A_{3} \mathbf{e}_{3}=\sum_{i=1}^{3} A_{i} \mathbf{e}_{i}$
二阶张量
$\mathbf{T}=\sum_{i,j=1}^{3}T_{ij}\mathbf{e}_i\mathbf{e}_j$
三阶张量
$\mathbf{H}=\sum_{i,j,k=1}^{3}H_{ijk}\mathbf{e}_i\mathbf{e}_j\mathbf{e}_k$
对称张量
$\mathbf{I}=\sum_{i,j=1}^{3}=\delta_{ij}\mathbf{e}_i\mathbf{e}_j, \quad\quad\delta_{ij}=\delta_{ji}\\$

$\delta_{i j}=\left\{ \begin{aligned} 1, &&i=j \\ 0, &&i\neq j \end{aligned} \right.$

全反对称张量
$\mathbf{L}=\sum_{i, j, k=1}^{3} \epsilon_{i j k} \mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} \mathbf{e}_{k} \quad \epsilon_{i j k}=-\epsilon_{j i k}=-\epsilon_{i k j}=-\epsilon_{k j i}$
$\epsilon_{ijk}=\left\{ \begin{aligned} 1,&\quad 123的偶置换\\ -1,&\quad 123的奇置换\\ 0,&\quad 其他 \end{aligned} \right.$

点乘
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\sum_{i, j=1}^{3} \delta_{i j} a_{i} b_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}$
叉乘

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\sum_{i, j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i}a_{j} b_{k}$

有用公式：
$\sum_{l=1}^{3} \delta_{i l} \delta_{j l}=\delta_{i j}$
$\sum^{3} \epsilon_{i j k} \epsilon_{i m n}=\delta_{j m} \delta_{k n}-\delta_{j n} \delta_{k m}$

3.三矢量混合积
$\mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right)=\mathbf{c}\cdot\left(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\right)=\mathbf{b}\cdot\left(\mathbf{c}\times\mathbf{a}\right)$

可以利用1.2中点叉乘定理来证明:

4.三矢量叉乘
$\mathbf{c} \times(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{a}-(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}$

可以利用2中叉乘定理来证明:

$\nabla$ 的矢量性和微分性
$\nabla=\sum_{i=1}^{3} \mathbf{e}_{i} \partial_{i}$
$\begin{aligned} &\nabla \cdot \mathbf{A}=\sum_{i=1}^{3} \partial_{i} A_{i}&\text{矢量场散度为标量}\\ &\nabla \times \mathbf{A}=\sum_{i, j,k=1}^{3} \epsilon_{i j k} \partial_{j} A_{k} \mathbf{e}_{i}&\text{矢量场旋度为矢量}\\ &\nabla \phi=\sum_{i=1}^{3} \partial_{i} \phi \mathbf{e}_{i}&\text{标量场梯度为矢量} \end{aligned}$
6.散度和旋度的一些定律
$\begin{aligned} &\nabla \times \nabla \phi=0&\text{标量场的梯度必为⽆旋场}\\ &\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{A})=0&\text{⽮量场的旋度必为⽆源场}\\ &\nabla \times \mathbf{A}=0, \rightarrow \mathbf{A}=\nabla \phi&\text{⽆旋场必可表示为标量场的梯度}\\ &\nabla \cdot \mathbf{A}=0, \rightarrow \mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{B}&\text{⽆源场必可表示为另⼀⽮量场的旋度} \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\nabla(\phi \theta)=(\nabla \phi) \theta+\phi \nabla \theta\\ &\nabla \cdot(\phi \mathbf{f})=(\nabla \phi) \cdot \mathbf{f}+\phi \nabla \cdot \mathbf{f}\\ &\nabla \times(\phi \mathbf{f})=(\nabla \phi) \times \mathbf{f}+\phi \nabla \times \mathbf{f}\\ &\nabla \cdot(\mathbf{f} \times \mathbf{g})=(\nabla \times \mathbf{f}) \cdot \mathbf{g}-(\nabla \times \mathbf{g}) \cdot \mathbf{f}\\ &\nabla \times(\mathbf{f} \times \mathbf{g})=(\nabla \cdot \mathbf{g}) \mathbf{f}+(\mathbf{g} \cdot \nabla) \mathbf{f}-(\nabla \cdot \mathbf{f}) \mathbf{g}-(\mathbf{f} \cdot \nabla) \mathbf{g}\\ &\nabla \cdot(\nabla \phi)=\nabla^{2}\phi \\ &\nabla \times(\nabla \times \mathbf{f})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{f})-\nabla^{2} \mathbf{f} \end{aligned}$

最后编辑于：2020.03.01 19:45:47