第十一讲多元函数微分学

这一讲分三个部分

基本概念

平面点集的基本概念
两点距离 $\rho(M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
邻域：一元函数中的邻域是与 $x_0$ 相距 $\delta$ 的线段；而在多元函数中的邻域则是与 $x_0$ 相距 $\delta$ 的圆；
需要注意的，在求一元函数极限的时候，可以分别求其左右极限来判断这一点的极限情况；而在多元函数中，邻域内趋向中心点的方式有无穷多种，所以无法像一元函数那样列举。
极限

第一种定义：
设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$ ， $P(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x,y)\in D\cap\dot{U}(P_0,\delta)$ 时(取交集是为了排除邻域中不在定义域内的方向)，都有 $|f(x,y)-A|\lt \varepsilon$ 成立，那么就称常数A为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的极限，记为 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$
第二种定义：
若二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的去心邻域内有定义，且 $(x,y)$ 以任意方式趋向于 $(x_0,y_0)$ 时， $f(x,y)$ 均趋向于 $A$ ，则 $\lim_{x\to x_0\\y\to y_0}f(x,y)=A$

这两种定义方式是有区别的，如下面这道例题

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$
第一种定义：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\frac{1}{2}$
第二种定义：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}不存在$

通俗的讲，第一种定义是说函数在邻域内除去没有定义的之外的所有方向都趋向同一个值，第二种定义是说邻域内所有方向都存在且趋向同一个值
由于这个争论尚没有定论，所以考题中会避免这样的争论，考察二元函数极限的时候通常是各种方向都有定义的函数

连续
如果 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$ ，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续
对于多元函数是不讨论间断点类型的
偏导数 $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta}$
存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0\\y=y_0},\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0\\y=y_0},z'_x|_{x=x_0\\y=y_0}$ 或 $f'_x(x_0,y_0)$
可微
在介绍一元函数微分的时候用一个正方形面积的变化作为引例，这里同杨使用类似的例子作为引例

面积增量
$\Delta S=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy=y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y$
面积的增量由两部分组成： $y\Delta x+x\Delta y$ ，是关于 $\Delta x,\Delta y$ 的一个线性函数；另一部分是 $\Delta x\Delta y$ ，而
$\lim_{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\le \lim_{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac{\frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{2}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$
$=\lim_{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{2}=0$
所以当 $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$ 时， $\Delta x\Delta y$ 是比 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 更高阶的无穷小量，所以面积的增量可以写成
$\Delta S=y\Delta x+x\Delta y+o(\rho)(\rho\to 0)$
也就是说， $y\Delta x+x\Delta y$ 是面积增量的主要部分，而 $o(\rho)$ 是误差：
$\Delta S\approx y\Delta x+x\Delta y$
全微分：
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可表示为
$\Delta z= A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ ，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，A，B不依赖于 $\Delta x$ 而仅与x，y有关，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，而称 $A\Delta x+B\Delta y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，记作 $dz=A\Delta x+B\Delta y$
$\color{red}{实际上dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy}$

判断函数 $z=f(x,y)$ 可微：
第一步：写出全增量 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
第二步：写出线性增量 $A\Delta x+B\Delta y$ ，其中 $A=f'_x(x_0,y_0),B=f'_y(x_0,y_0)$
第三步：作极限 $\lim_{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$ ，若该极限等于0，则 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ ，否则不可微

偏导数的连续性
对于 $z=f(x,y)$ ，讨论其在某特殊点 $(x_0,y_0)$ (比如二元分段函数的分段点)处偏导数是否连续的步骤如下：
第一步：用定义法求 $f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)$
第二步：用公式法求 $f'_x(x,y),f'_y(x,y)$
第三步：计算 $\lim_{x\to x_0\\y\to y_0}f'_x(x,y),\lim_{x\to x_0\\y\to y_0}f'_y(x,y)$
看 $\lim_{x\to x_0\\y\to y_0}f'_x(x,y)=f'_x(x_0,y_0),\lim_{x\to x_0\\y\to y_0}f'_y(x,y)=f'_y(x_0,y_0)$ 是否成立，若成立，则 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数是连续的

多元函数微分法则

$\begin{cases}链式求导规则(显函数)\\隐函数存在定理(公式法)\end{cases}$

链式求导规则
复合函数求偏导数的链式规则

例题
设 $z=f(e^x\sin y,x^2+y^2)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$
$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial\frac{\partial z}{\partial x}}{\partial y}$
记 $u=e^x\sin y$
$v=x^2+y^2$
$\frac{\partial z}{\partial x}=f'_ue^x\sin y+2xf'_v$
$\frac{\partial\frac{\partial z}{\partial x}}{\partial y}=\frac{\partial (f'_ue^x\sin y+2xf'_v)}{\partial y}$
= $\frac{\partial(f'_u e^x\sin y)}{\partial y}+\frac{\partial(2xf'_v)}{\partial y}$
$\color{red}{无论z对u求导还是对v求导，求导的结果仍然和z具有相同的复合结构}$
$\frac{\partial(f'_ue^x\sin y)}{\partial y}=\frac{\partial f'_u}{\partial y}e^x\sin y+f'_ue^x\cos y$
$=(\frac{\partial f'_u}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f'_u}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})e^x\sin y+f'_ue^x\cos y$
$=(f''_{uu}e^x\cos y+f''_{uv}2y)e^x\sin y+f'_ue^x\cos y$
而
$\frac{\partial(2xf'_v)}{\partial y}=2x\frac{\partial f'_v}{\partial y}=2x(\frac{\partial f'_v}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f'_v}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y})$
$=2x(f''_{vu}e^xcos y+f''_{vv}2y)$
$\color{red}{如果一个函数具有二阶连续偏导数，则f''_{uv}=f''_{vu}}$
综上
$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= \frac{1}{2}f''_{uu}e^{2x}\sin 2y+2e^xf''_{uv}(y\sin y+x\cos y)+4xyf''_{vv}+f'_ue^x\cos y$

隐函数存在定理
对于由函数 $F(x,y)=0$ 来确定 $y$ 与 $x$ 的关系的函数，这类函数的导函数可以通过多元函数的链式求导法则来进行求导
由多元函数求偏导的链式求导法则可得：

例题 $\color{red}{(重要等级一颗星)}$
设 $z=f(x,y)$ 是由方程 $z-y-x+xe^{z-y-x}=0$ 所确定的二元函数，求 $dz$
令函数 $F(x,y,z)=z-y-x+xe^{z-y-x}=0$ ，则
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}$
$F'_x=-1+e^{z-y-x}-xe^{z-y-x}$
$F'_y=-1-xe^{z-y-x}$
$F'_z=1+xe^{z-y-x}$
$\therefore \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{-1+e^{z-y-x}-xe^{z-y-x}}{1+xe^{z-y-x}}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=1$
$\therefore dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
$=\frac{1+(x-1)e^{z-y-x}}{1+xe^{z-y-x}}dx+dy$

例题 $\color{red}{(由偏导数求原函数)}$
已知函数 $z=f(x,y)$ 的全微分 $dz=2xdx+\sin ydy$ ，且 $f(1,0)=2$ ，求 $f(x,y)$
先对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 求原函数： $f(x,y)=x^2+\color{red}{\varphi(y)}$
(因为 $\varphi(y)$ 的 $x$ 的导数也为零)
再继续由 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 求原函数： $\frac{\partial(x^2+\varphi(y))}{\partial y}=\varphi'(y)=\sin y$
$\therefore \varphi(y)=-\cos y+C$
故 $f(x,y)=x^2-\cos y+C$
将 $f(1,0)=2$ 代入得：
$1^2-\cos 0+C=2$
$C=2$
综上， $f(x,y)=x^2-\cos y+2$

多元函数的极值与最值

概念
与一元函数中的极值与最值的定义没有太大的差别
无条件极值
下例条件只适用于二元函数
二元函数极值点的必要条件：
设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处一阶偏导数存在，且在取极值，则 $f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$
二元函数极值点的充分条件：
记 $f''_{xx}(x_0,y_0)=A,f''_{xy}(x_0,y_0)=B,f''_{yy}(x_0,y_0)=C$ ，计算 $\Delta = B^2-AC$ ，则 $\begin{cases}\lt 0\Rightarrow 取极值\begin{cases}A\lt 0\Rightarrow极大值\\A\gt 0\Rightarrow极小值\end{cases}\\\gt 0\Rightarrow非极值\\=0，则此方法失效\end{cases}$

例题 $\color{red}{(重要等级一颗星)}$
求函数 $f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$ 的极值
分别令 $f'_x=0,f'_y=0$ ：
$\begin{cases}4x^3-2(x+y)=0 \\4y^3-2(x+y)=0\end{cases}$
两式相减得 $x=y$ ，再将 $x=y$ 代回去得：
$4x(x-1)(x+1)=0$
解得：
$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases},\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases},\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$
$\begin{cases}f''_{xx}=12x^2-2\\f''_{xy}=-2\\f''_{yy}=12y^2-2\end{cases}$
$\Delta = (f''_{xy})^2-f''_{xx}f''_{yy}=4-(12x^2-2)^2$
$i.$ 当 $x=1$ 或 $x=-1$ 时， $\Delta = -96$ ，此时 $f(x,y)$ 取极小值
$ii.$ 当 $x=0$ 时， $\Delta = 0$ ，无法判断
$\color{red}{二元函数的领域的平面是由线组成的，所以可以选取两条经过(0,0)点的直线进行讨论}$
通常将这样的直线称为路径
选取路径 $y=x;y=-x$
当 $y=x$ 时， $f(x,y)=2x^2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ，在 $(0,0)$ 的去心邻域内 $f(x,y)\lt f(0,0)$
当 $y=-x$ 时， $f(x,y)=2x^4$ ，在 $(0,0)$ 的去心邻域内 $f(x,y)\gt f(0,0)$
$\color{red}{在极值的定义是，该点的函数值比该点去心邻域内的任何一点的函数都大或小}$
故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不取极值

条件极值与拉格朗日乘数法

条件极值：
求目标函数 $u = f(x,y,z)$ 在条件 $\begin{cases}\varphi(x,y,z)=0\\ \psi(x,y,z)=0\end{cases}$ 下的最值(一般这种情况下都无法求极值而只能求最值)，则
第一步：构造辅助函数 $F(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) + \lambda\varphi(x,y,z) + \mu\psi(x,y,z)$
$\color{red}{需要注意的是，这里的λ是拉格朗日乘数，也是一个变量，而不能将其视为常数}$
第二步：令
$\begin{cases} F'_x = f'_x + \lambda\varphi'_x + \mu\psi'_x = 0\\ F'_y = f'_y + \lambda\varphi'_y + \mu\psi'_y = 0\\ F'_z = f'_z + \lambda\varphi'_z + \mu\psi'_z = 0\\ F'_{\lambda} = \varphi(x,y,z) =0 \\ F'_{\mu} = \psi(x,y,z) = 0 \end{cases}$
第三步：解上述方程组得到备选点 $P_i,i = 1,2,3,...,n$ ，并求 $f(P_i)$ ，取其最大值为 $u_{max}$ ，最小值为 $u_{min}$ ；
第四步：根据实际问题，必然存在最值，所得即所求

例题
求函数 $u=xyz$ 在约束条件 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{a}(x>0,y>0,z>0,a>0)$ 下的最小值
令 $F(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a})$
解方程组：
$\begin{cases} F'_x = yz - \frac{\lambda}{x^2} = 0\\ F'_y = xz - \frac{\lambda}{y^2} = 0\\ F'_z = xy - \frac{\lambda}{z^2} = 0\\ F'_{\lambda} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{a} = 0 \end{cases}$
解得 $x = y = z = 3a$
所以函数 $u$ 在该约束条件下的最小值为 $27a^3$

第十一讲 多元函数微分学

基本概念

多元函数微分法则

多元函数的极值与最值

第十一讲多元函数微分学