第 9 章指数函数和对数函数

Time: 2019-11-27
Title:第 9 章指数函数和对数函数

本章重点：

回顾指数函数和对数函数的基本知识, 以及两者是如何相互关联的;
e 的定义和性质;
如何对指数函数和对数函数求导;
如何求解涉及指数函数和对数函数的极限问题;
对数函数的微分;
指数增长和指数衰变;
双曲函数

9.1 基础知识

指数法则、对数和指数的关系, 以及对数法则

9.1.1 指数法则

(1) $b^0 = 1$ : 任意非零数的零次幂是 1.
(2) $b^1 = b$ : 一个数的一次幂正好是该数本身.
(3) $b^xb^y = b^{x+y}$ . 当将两个底数相同的幂相乘时, 将指数相加.
(4) $\frac{bx}{by} = b^{x-y}$ 当将两个底数相同的幂相除时, 将分子的指数减去分母的.
(5) $(b^x)^y=b^{xy}$ 当取幂的幂时, 将指数相乘.

$b^{log_b(y)}=y$

对数的指数就是原始的数指数的对数就是原始的数 (前提是底数相同!)

9.1.2 对数法则

(1) $log_b(1) = 0.$
(2) $log_b(b) = 1.$
(3) $log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y).$ 乘积的对数是对数的和.
(4) $log_b(x/y) = log_b(x)-log_b(y).$ 商的对数是对数的差.
(5) $log_b(x^y) = y log_b(x):$ 对数将指数移至对数之前. 在该方程中, y 可以是任意的实数 (正的、负的或零).
(6) 换底法则：对于任意的底数 b > 1 和 c > 1 及任意的数 x > 0

$log_b(x)=\frac{log_c(x)}{log_c(b)}$

对数把运算都降级了。

$A^x=e^{xln(A)}$

9.2 e 的定义

探索 e 从何而来的方法会涉及一点金融问题(复利)

以年利率 r 连续计复利, t 年后的财富 = $Ae^{rt}$

$\mathop{lim}\limits_{n\to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x,\mathop{lim}\limits_{h\to 0}(1+xh)^\frac{1}{h}=e^x$

9.3 对数函数和指数函数求导

$\frac{d}{dx}log_b(x)=\frac{1}{xln(b)}$

$\frac{d}{dx}(b^x)=b^xln(b)$

9.4 求解指数函数或对数函数的极限

1.非常重要的一点是, 注意到你是在哪里计算函数的极限的：是在 $0$ 附近 (也就是说, 小的数), 还是在 $\infty或-\infty 附近$ (也就是说, 大的数), 又或者在某个既不大也不小的数附近.

2.当虚拟变量本身在分母上时, 极限可能是一个伪装的导数.

3.指数函数增长迅速：不管 n 有多大, $\mathop{lim}\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{e^x}=0$

$\mathop{lim}\limits_{x\to0^+}ln(x)=-\infty$

4.用 $\frac{1}{t}$ 替换 x 这一技巧可以将对数函数在 $0 附近的行为转换为在 1$ 附近的行为。

9.5 取对数求导法

$\frac{d}{dx}(x^{sin(x)})$
令 $y=x^{sin(x)}\to ln(y)=sin(x)ln(x)\to \frac{d}{dx}(ln(y))=\frac{d}{dx}(sin(x)ln(x))$

也可以使用 $公式 A = eln(A) 来写出$ .

1.两边求对数 2.隐函数求导 3.代入

有指数和对数的话就要考虑用对数求导法化简。

9.6 指数增长和指数衰变

如果 $\frac{dy}{dx} = ky; 那么 y = Ae^{kx},$ 其中 A 为某个常数.

指数增长方程： $P(t) = P_0e^{kt}.$ $P0 是初始的总数, k 是增长常数$

9.7 双曲函数

双曲余弦函数：<font size=5> $cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ .</font>

双曲正弦函数：<font size=5> $sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ .</font>

$cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$

导数： $\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x) 和 \frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x).$

双曲正割： $sech(x)=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$
双曲余割： $csch(x)=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

双曲正切： $tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
双曲余切： $coth(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

导数：
$\frac{d}{dx}tanh(x)=sech^2(x)$
$\frac{d}{dx}sech(x)=-sech(x)tanh(x)$
$\frac{d}{dx}csc(x)=-csch(x)coth(x)$
$\frac{d}{dx}coth(x)=-csch^2(x)$

除了三角正割导数结果没有负号，其余竟然一致。

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第 9 章 指数函数和对数函数

9.1 基 础 知 识