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数学的主要几个分支大概是：代数，几何，分析，概率，离散，计算
推荐数学方面的教材。

1 基础读物

大学数学基础课是数学分析，高等代数，概率三门。

1.1 数学分析

1.1.1 入门

如果想从很浅的基础开始看，《普林斯顿微积分读本》（网上有48课时视频）。所有这些都比国内教材（比如同济的）好很多很多。如果英语基础好的话直接看英文版的，否则看中文的也行。

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1.1.2 进阶

数学分析（或叫做高等数学，微积分）经典名著太多了，比如

• 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》

  
  
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• 柯朗的《微积分和数学分析引论》

  
  
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• 卓里奇的《数学分析》

  
  
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• 美国教材《托马斯微积分》

  
  
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  都是好书，不过这些都是惶惶巨著，需要下大功夫研读。

1.2 高等代数

1.2.1 入门

可以看David C.Lay的《线性代数及其应用》，这本书入门级别，但是质量很高，

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1.2.2 进阶

掌握之后可以看《线性代数应该这样学》

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1.2.3 提高

看完线性代数后还觉得不过瘾，可以看高等代数，或者矩阵分析，矩阵理论等等教材，有了线性代数的基础，就有了免疫力，不至于被国内的枯燥教材弄恶心了。

1.2 概率论

看国外的最好

2进阶读物

这三门学完后，就可以进阶了，首先是在这三门的基础上进阶

2.1 数学分析进阶

数学分析进阶可以看实变函数方面的书，比如《陶哲轩实分析》，

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不过这本书偏重数学分析的内容，算是对数学分析的深化理解。

2.2 高等代数进阶

• 高等代数进阶刚才说过了，可以看矩阵分析方面的书。多个方向同时进阶可以看咱们华罗庚的《高等数学引论》。

  
  
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• 代数方面的，可以看Artin的《代数》，算是入门书，

  
  
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  看完之后就可以看代数里的各个方向的著作，比如数论，群论，环，域，拓扑等等。这些方面也是经典著作云集，以国外的为主。

2.3 几何进阶

几何方面的，其实几何与代数到了最后好像要统一了。可以先看解析几何入门，然后进入微分几何，黎曼几何，流形，射影几何，画法几何，双曲几何等等。几何与代数统一叙述的著作，可以看代数拓扑，代数几何，代数曲线，同调论方面的书。

2.4 分析进阶

数学中最大的一个分支应该是分析吧，它主要包括：实分析，复分析，泛函分析，调和分析，向量分析，张量分析，场论，函数论，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分变换，变分法，特殊函数等等。分析这方面相比代数之类的方向来说，更加偏应用一些。这些方面好书实在太多了，首先就是stein的四部曲：

• 《傅里叶分析》，
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• 《实分析》
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• 《复分析》
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• 《泛函分析》。
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这四部书不厚，但是内容多，不过只要懂微积分和线性代数就可以学习了。

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2.4.1 函数论进阶

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• 路见可的《解析函数边值问题教程》
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• 闻国椿的《共形映射与边值问题》
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• 函数论常常和奇异积分方程相联系，这方面有经典巨著：穆斯海里什维利的《奇异积分方程》
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• 实分析常常和泛函分析相联系，可以看国内夏道行的《实变函数与泛函分析》
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  ，以及俄罗斯柯尔莫戈洛夫的《函数论与泛函分析初步》
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  ，美国Rudin的《泛函分析》
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  等等。

2.4.2 调和分析进阶

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很厚，牛人stein的专业就是搞调和分析方面的，细细品味吧。

2.4.3 向量分析、张量分析、场论

向量分析，张量分析，场论，其实这三个学科说是分析也是分析，说是几何也是几何，他们和微分几何有着很多联系，可以先看点入门的，

• 一本工程数学类的绿色封皮的《矢量分析与场论》
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• 一本白色封皮的《向量分析与场论》
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• 都很薄，同时看美国Matthews的《向量微积分》
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  ，这本书也不厚，但是它后面的内容会过渡到指标和张量，便于进入张量的学习。

• 张量分析方面可以看国内黄克智的《张量分析》
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  ，绝对是好书，作者留学俄罗斯，数学推导功底深不可测，所以学习该书也需要亲自动手推导，不过讲的还是比较清楚的。

• 如果还觉得不够，可以看国外的《张量几何》
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  ，谁写的名字我忘了。张量本来就是和微分几何一道由黎曼一手发展的，所以到了最后会偏向几何了。

2.4.4方程类的（常微分，偏微分，积分）

常微分

• 常微分的可以入门可以看俄罗斯庞特里亚金的《常微分方程》，
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• 以及钱伟长的《微分方程的解法及其应用》，国内的在这方面写得还行。

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积分

积分方程与泛函分析联系紧密，主要分为两类，奇异积分方程与非奇异的，前者在函数论方面已经说过，后者入门的可以看

• 沈以淡的《积分方程》，
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• 李星的《积分方程》
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• 魏培君的《积分方程及其数值方法》
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进阶的可以看

• 陈传璋的《积分方程论及其应用》
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  。

• 路见可的《积分方程论》
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  ，不过积分方程搞得好的还是前苏联的，所以可以看看维库阿等人的书。

积分变换

积分变换属于比较小的分支，但是应用却及其广泛，可以看复变函数，积分方程方面的书，里面一般会介绍傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换，汉克尔变换，梅林变换，离散傅里叶变换，快速傅里叶变换，小波变换等等。小波变换一般在小波分析方面的书里有详细介绍，小波分析主要是法国数学家发展起来的，很复杂啊。
三大分支介绍完了，再介绍一点别的分支。

3 概率论进阶

概率论的书看完之后，可以看随机过程，统计学等等后续的书。

4 离散数学

离散数学主要在计算机相关专业应用较多，主要包括集合论，数理逻辑，关系代数，逻辑代数，图论等等，每一门都是一个方向，有很多书。计算数学又叫做数值分析，主要是讲插值，逼近，拟合，矩阵计算，线性方程组求解，非线性方程求根，数值积分，数值微分，广义最小二乘等等，随便看哪本书都可以，重在编程计算。