LeetCode 52. N皇后 II(N-Queens II)

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52. N皇后 II

N皇后 II
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

image.png

    上图为 8 皇后问题的一种解法。

    给定一个整数 n，返回 n 皇后不同的解决方案的数量。

    示例:

    输入: 4
    输出: 2
    解释: 4 皇后问题存在如下两个不同的解法。
    [
     [".Q..",  // 解法 1
      "...Q",
      "Q...",
      "..Q."],

     ["..Q.",  // 解法 2
      "Q...",
      "...Q",
      ".Q.."]
    ]

Python3 实现

DFS 深度优先

可参见 LeetCode 51. N皇后(N-Queens)

# @author:leacoder 
# @des:  DFS 深度优先  N皇后II

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        if n < 1 : return []  #
        self.count = 0
        shu = [] # 竖方向是否被攻击
        pie = [] # 撇方向是否被攻击  x y 坐标之和固定 x + y
        na = []  # 捺方向是否被攻击  x y 坐标之差固定 x - y
        
        self.DFS(n,shu,pie,na)
        
        return self.count
    
    def DFS(self,n,shu,pie,na): #深度优先搜索 
        p = len(shu) #  从 1 -> n
        if p == n :
            self.count += 1 #每层有且只能放一个
            return 
        for q in range(n): # 看成 x  每层枚举可能的 x
            if q not in shu and p - q not in na and p + q not in pie: #这一层存在可能位置，向下层搜索
                self.DFS(n,shu+[q],pie+[p+q],na+[p-q])  #深度优先搜索  将被攻击的 坐标记录下来

位运算 + DFS 深度优先

image.png

以 8 Q为例
从第一行开始由于棋盘第一行没有放任何皇后那么 row 行 cols 列 pie 撇 na 捺位没有不可放置的
也就是下方代码 self.DFS(n,0,0,0,0)处
入参：1 表示被攻击，0表示可放置，下一行cols pie na 方向上被攻击位置
cols: 0 0 0 0 0 0 0 0
pie: 0 0 0 0 0 0 0 0
na: 0 0 0 0 0 0 0 0
本行（第1行）所有被攻击位置 col | pie | na
0 0 0 0 0 0 0 0 （1 表示被攻击，0表示可放置）
取反处理后的到：
bits: 1 1 1 1 1 1 1 1 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位）
选取图中黄色 Q放置皇后（代码是从右往左一次探索，这里假设在黄色Q处用于说明）
p：0 0 0 1 0 0 0 0 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位）
向下一层深度搜索(第 2层)：
self.DFS(n , row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1) # 递归处理下一层
那么cols pie na 与 p 处理后得到新的入参（1 表示被攻击，0表示可放置）：下一行cols pie na 方向上被攻击位置
cols: 0 0 0 1 0 0 0 0
pie : 0 0 1 0 0 0 0 0
na : 0 0 0 0 1 0 0 0
本行（第2行）所有被攻击位置 col | pie | na
0 0 1 1 1 0 0 0 （1 表示被攻击，0表示可放置）
图中（第2行）黄色 1
取反处理后的到：
bits: 1 1 0 0 0 1 1 1 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位）
选取图中蓝色 Q放置皇后（代码是从右往左一次探索，这里假设在蓝色Q处用于说明）
p：0 0 0 0 0 0 1 0 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位）
向下一层深度搜索(第 3层)：
self.DFS(n , row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1) # 递归处理下一层
那么cols pie na 与 p 处理后得到新的入参（1 表示被攻击，0表示可放置）：下一行cols pie na 方向上被攻击位置
cols: 0 0 0 1 0 0 1 0
pie : 0 1 0 0 0 1 0 0
na : 0 0 0 0 0 1 0 1
本行（第三行）所有被攻击位置 col | pie | na
0 1 0 1 0 1 1 1 （1 表示被攻击，0表示可放置）
图中（第三行）黄色 1 + 蓝色 1

# @author:leacoder 
# @des:  位运算 + DFS 深度优先  N皇后II
class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        if n < 1: return []
        self.count = 0
        self.DFS(n,0,0,0,0) #从第一行开始   由于棋盘第一行没有放任何皇后那么 row 行 cols 列 pie 撇 na 捺 位没有不可放置的
        return self.count
    
    def DFS(self, n, row, cols, pie, na):
        if row >= n: #递归终止条件  深度搜索 n 个皇后均已放在棋盘上
            self.count += 1
            return
        # col | pie | na  (1 表示被攻击, 或了以后 等到本行 所有被攻击位置 )
        # ~( col | pie | na )  0 表示被攻击位  1 表示可放置位
        # (( 1<<n ) - 1)   形成 n位全1的二进制 筛子  用于 筛选出 n 位内的有效数据
        bits = ( ~( cols | pie | na )) & (( 1<<n ) - 1)
        
        while bits:
            p = bits & (-bits)  # 取出最低位的1 也就是最低位可以放置 皇后Q的位置
            # row + 1 下移一层   cols | p : p 上放置 Q 后  cols 列方向被攻击位刷新
            # (pie | p) << 1 下一层 pie撇方向被攻击位置刷新
            # (na | p) >> 1 下一层 na 捺方向被攻击位置刷新
            self.DFS(n , row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1)  # 递归处理下一层
            bits = bits & (bits - 1) #去掉最低位的 1 （表示这种可能已被探寻）

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