数据结构—树的遍历

二叉树的四种遍历算法

二叉树示意图.png

遍历这棵二叉树无非有以下两种方式。
1、层次遍历
前面讲过，树是有层次的，拿上图来说，该二叉树的层次为 3。通过对树中各层的节点从左到右依次遍历，即可实现对正棵二叉树的遍历，此种方式称为层次遍历。如图：

image.png

2、普通遍历
其实，还有一种更普通的遍历二叉树的思想，即按照 "从上到下，从左到右" 的顺序遍历整棵二叉树。

image.png

普通遍历继续分为三种
1、先访问根结点，再遍历左右子树，称为“先序遍历”；
2、遍历左子树，之后访问根结点，然后遍历右子树，称为“中序遍历”；
3、遍历完左右子树，再访问根结点，称为“后序遍历”。

三种方式唯一的不同就是访问结点时机的不同，给出一个二叉树，首先需要搞清楚三种遍历方式下访问结点的顺序。

二叉树遍历示意图.png

图中，箭头线条的走势为遍历结点的过程：
先序遍历是只要线条走到该结点的左方位置时，就操作该结点。所以操作结点的顺序为：

1 2 4 5 3 6 7

中序遍历是当线条越过结点的左子树，到达该结点的正下方时，才操作该结点。所以操作结点的顺序为：

4 2 5 1 6 3 7

后序遍历是线条完全走过结点的左右子树，到达该结点的右方范围时，就开始操作该结点。所以操作结点的顺序为：

4 5 2 6 7 3 1

完整代码递归方式实现

#include <stdio.h>

//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode{
    int data;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;
//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data=5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data=6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data=7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}


//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void showElem(BiTNode* elem){
    printf("%d ",elem->data);
}
//先序遍历
void PreOrderTraverse(BiTree T){
    if (T) {
        showElem(T);//调用操作结点数据的函数方法
        PreOrderTraverse(T->lchild);//访问该结点的左孩子
        PreOrderTraverse(T->rchild);//访问该结点的右孩子
    }
    //如果结点为空，返回上一层
    return;
}
//中序遍历
void INOrderTraverse(BiTree T){
    if (T) {
        INOrderTraverse(T->lchild);//遍历左孩子
        showElem(T);//调用操作结点数据的函数方法
        INOrderTraverse(T->rchild);//遍历右孩子
    }
    //如果结点为空，返回上一层
    return;
}
//后序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T){
    if (T) {
        PostOrderTraverse(T->lchild);//遍历左孩子
        PostOrderTraverse(T->rchild);//遍历右孩子
        showElem(T);//调用操作结点数据的函数方法
    }
    //如果结点为空，返回上一层
    return;
}
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("前序遍历:");
    PreOrderTraverse(Tree);
    printf("\n中序遍历:");
    INOrderTraverse(Tree);
    printf("\n后序遍历:");
    PostOrderTraverse(Tree);
}

运行结果.png

完整代码非递归方式实现

#include <stdio.h>

int top=-1;//top变量时刻表示栈顶元素所在位置

//构造结点的结构体
typedef struct BiTNode{
    int data;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

//初始化树的函数
void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data=5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data=6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data=7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
//前序和中序遍历使用的进栈函数
void push(BiTNode** a,BiTNode* elem){
    a[++top]=elem;
}
//弹栈函数
void pop( ){
    if (top==-1) {
        return ;
    }
    top--;
}
//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值
void showElem(BiTNode* elem){
    printf("%d ",elem->data);
}
//拿到栈顶元素
BiTNode* getTop(BiTNode**a){
    return a[top];
}
/*
先序遍历非递归算法
思路：从树的根结点出发，遍历左孩子的同时，先将每个结点的右孩子压栈。当遇到结点没有左孩子的时候，取栈顶的右孩子。重复以上过程。
*/
void PreOrderTraverse(BiTree Tree){
    BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode * p;//临时指针
    push(a, Tree);//根结点进栈
    while (top!=-1) {
        p=getTop(a);//取栈顶元素
        pop();//弹栈
        while (p) {
            showElem(p);//调用结点的操作函数
            //如果该结点有右孩子，右孩子进栈
            if (p->rchild) {
                push(a,p->rchild);
            }
            p=p->lchild;//一直指向根结点最后一个左孩子
        }
    }
}
/*
中序遍历非递归算法1
思路：从根结点开始，遍历左孩子同时压栈，当遍历结束，说明当前遍历的结点没有左孩子，从栈中取出来调用操作函数，然后访问该结点的右孩子，继续以上重复性的操作。
*/
void InOrderTraverse1(BiTree Tree){
    BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode * p;//临时指针
    push(a, Tree);//根结点进栈
    while (top!=-1) {//top!=-1说明栈内不为空，程序继续运行
        while ((p=getTop(a)) &&p){//取栈顶元素，且不能为NULL
            push(a, p->lchild);//将该结点的左孩子进栈，如果没有左孩子，NULL进栈
        }
        pop();//跳出循环，栈顶元素肯定为NULL，将NULL弹栈
        if (top!=-1) {
            p=getTop(a);//取栈顶元素
            pop();//栈顶元素弹栈
            showElem(p);
            push(a, p->rchild);//将p指向的结点的右孩子进栈
        }
    }
}
/*
中序遍历非递归算法2
思路：只需将每个结点的左子树压栈即可，右子树不需要压栈。当结点的左子树遍历完成后，只需要以栈顶结点的右孩子为根结点，继续循环遍历即可。
*/
void InOrderTraverse2(BiTree Tree){
    BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode * p;//临时指针
    p=Tree;
    //当p为NULL或者栈为空时，表明树遍历完成
    while (p || top!=-1) {
        //如果p不为NULL，将其压栈并遍历其左子树
        if (p) {
            push(a, p);
            p=p->lchild;
        }
        //如果p==NULL，表明左子树遍历完成，需要遍历上一层结点的右子树
        else{
            p=getTop(a);
            pop();
            showElem(p);
            p=p->rchild;
        }
    }
}
/*
后序遍历非递归算法
思路：后序遍历是在遍历完当前结点的左右孩子之后，才调用操作函数，所以需要在操作结点进栈时，为每个结点配备一个标志位。当遍历该结点的左孩子时，设置当前结点的标志位为 0，进栈；当要遍历该结点的右孩子时，设置当前结点的标志位为 1，进栈。当遍历完成，该结点弹栈时，查看该结点的标志位的值：如果是 0，表示该结点的右孩子还没有遍历；反之如果是 1，说明该结点的左右孩子都遍历完成，可以调用操作函数。
*/
typedef struct SNode{
    BiTree p;
    int tag;
}SNode;
//后序遍历使用的进栈函数
void postpush(SNode *a,SNode sdata){
    a[++top]=sdata;
}
//后序遍历函数
void PostOrderTraverse(BiTree Tree){
    SNode a[20];//定义一个顺序栈
    BiTNode * p;//临时指针
    int tag;
    SNode sdata;
    p=Tree;
    while (p||top!=-1) {
        while (p) {
            //为该结点入栈做准备
            sdata.p=p;
            sdata.tag=0;//由于遍历是左孩子，设置标志位为0
            postpush(a, sdata);//压栈
            p=p->lchild;//以该结点为根结点，遍历左孩子
        }
        sdata=a[top];//取栈顶元素
        pop();//栈顶元素弹栈
        p=sdata.p;
        tag=sdata.tag;
        //如果tag==0，说明该结点还没有遍历它的右孩子
        if (tag==0) {
            sdata.p=p;
            sdata.tag=1;
            postpush(a, sdata);//更改该结点的标志位，重新压栈
            p=p->rchild;//以该结点的右孩子为根结点，重复循环
        }
        //如果取出来的栈顶元素的tag==1，说明此结点左右子树都遍历完了，可以调用操作函数了
        else{
            showElem(p);
            p=NULL;
        }
    }
}
int main(){
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("前序遍历:");
    PreOrderTraverse(Tree);
    printf("\n中序遍历算法1:");
    InOrderTraverse1(Tree);
    printf("\n中序遍历算法2:");
    InOrderTraverse2(Tree);
    printf("\n后序遍历:");
    PostOrderTraverse(Tree);
}

image.png

7.7 二叉树层次遍历

按照二叉树中的层次从左到右依次遍历每层中的结点。具体的实现思路是：通过使用队列的数据结构，从树的根结点开始，依次将其左孩子和右孩子入队。而后每次队列中一个结点出队，都将其左孩子和右孩子入队，直到树中所有结点都出队，出队结点的先后顺序就是层次遍历的最终结果。

二叉树.png

实现层次遍历二叉树：

首先，根结点 1 入队；
根结点 1 出队，出队的同时，将左孩子 2 和右孩子 3 分别入队；
队头结点 2 出队，出队的同时，将结点 2 的左孩子 4 和右孩子 5 依次入队；
队头结点 3 出队，出队的同时，将结点 3 的左孩子 6 和右孩子 7 依次入队；
不断地循环，直至队列内为空。

#include <stdio.h>

//初始化队头和队尾指针开始时都为0
int front=0,rear=0;

typedef struct BiTNode{
    int data;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild->data=5;
    (*T)->lchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->rchild->rchild=NULL;

    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->lchild->data=6;
    (*T)->rchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->lchild->rchild=NULL;

    (*T)->rchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->rchild->data=7;
    (*T)->rchild->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild->rchild=NULL;

    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
//入队函数
void EnQueue(BiTree *a,BiTree node){
    a[rear++]=node;
}
//出队函数
BiTNode* DeQueue(BiTNode** a){
    return a[front++];
}
//输出函数
void displayNode(BiTree node){
    printf("%d ",node->data);
}
int main() {
    BiTree tree;
    //初始化二叉树
    CreateBiTree(&tree);
    BiTNode * p;
    //采用顺序队列，初始化创建队列数组
    BiTree a[20];
    //根结点入队
    EnQueue(a, tree);
    //当队头和队尾相等时，表示队列为空
    while(front<rear) {
        //队头结点出队
        p=DeQueue(a);
        displayNode(p);
        //将队头结点的左右孩子依次入队
        if (p->lchild!=NULL) {
            EnQueue(a, p->lchild);
        }
        if (p->rchild!=NULL) {
            EnQueue(a, p->rchild);
        }
    }
    return 0;
}

运行结果.png

7.8 回溯法与树的遍历

回溯VS递归很多人认为回溯和递归是一样的，其实不然。在回溯法中可以看到有递归的身影，但是两者是有区别的。

回溯法从问题本身出发，寻找可能实现的所有情况。和穷举法的思想相近，不同在于穷举法是将所有的情况都列举出来以后再一一筛选，而回溯法在列举过程如果发现当前情况根本不可能存在，就停止后续的所有工作，返回上一步进行新的尝试。

递归是从问题的结果出发，例如求 n！，要想知道 n！的结果，就需要知道 n(n-1)! 的结果，而要想知道 (n-1)! 结果，就需要提前知道 (n-1)(n-2)!。这样不断地向自己提问，不断地调用自己的思想就是递归。

回溯和递归唯一的联系就是，回溯法可以用递归思想实现。

使用回溯法解决问题的过程，实际上是建立一棵“状态树”的过程。例如，在解决列举集合{1,2,3}所有子集的问题中，对于每个元素，都有两种状态，取还是舍，所以构建的状态树为：

状态树.png

回溯法的求解过程实质上是先序遍历“状态树”的过程。树中每一个叶子结点，都有可能是问题的答案。图中的状态树是满二叉树，得到的叶子结点全部都是问题的解。

在某些情况下，回溯法解决问题的过程中创建的状态树并不都是满二叉树，因为在试探的过程中，有时会发现此种情况下，再往下进行没有意义，所以会放弃这条死路，回溯到上一步。在树中的体现，就是在树的最后一层不是满的，即不是满二叉树，需要自己判断哪些叶子结点代表的是正确的结果。

例如，在解决列举集合 {1,2,3} 中所有子集的问题中，就可以使用回溯法找出子集。

#include <stdio.h>

//设置一个数组，数组的下标表示集合中的元素
int set[5];

//i代表数组下标，n表示集合中最大的元素值
void powerSet(int i,int n){
    //当i>n时，说明集合中所有的元素都做了选择，开始判断
    if (i>n) {
        int j;
        for (j=1; j<=n; j++) {
            //如果树组中存放的是 1，说明在当初尝试时，选择取该元素，即对应的数组下标，所以，可以输出
            if (set[j]==1) {
                printf("%d ",j);
            }
        }
        printf("\n");
    }else{
        //如果选择要该元素，对应的数组单元中赋值为1；反之，赋值为0。然后继续向下探索
        set[i]=1;
        powerSet(i+1, n);
        set[i]=0;
        powerSet(i+1, n);
    }
}
int main() {
    int n=3, i;
    for (i=0; i<5; i++) {
        set[i]=0;
    }
    powerSet(1, n);
    return 0;
}

运行结果.png

最后编辑于：2019.05.08 18:17:52

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二叉树的四种遍历算法

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7.7 二叉树层次遍历

7.8 回溯法与树的遍历

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