代数结构概览，泛代数

一、一些基础定义

运算的元

首先定义运算的元，或者运算的阶。简单来讲就是一元运算，二元运算，等等。

代数的类型

每一个运算都可以表示为一个函数符号，比如 $+-*/$ ，定义时还要指明他的元数，我们都知道前面的运算都是二元运算，可以将他们记为有序二元对的形式， $(+,2),(-,2),(*,2),(/,2)$ 。类似的可以定义出n元运算 $(f,n)$ ，将这些运算作为元素可以构成一个集合，称之为代数的类型，或者代数的语言，记为F。.(个人感觉称之为代数的类型比较合适)这个集合包含多少元素是随意的，可以只含一个运算，也可以含许多个运算。

一元运算，零元运算

由于大家一般接触到的几乎都是二元运算，这里稍作介绍，一元运算就是对一个量都可以进行运算，比如取逆元，转置，共轭，最简单的就是取相反数， $1\mapsto-1$ .。

至于零元运算，其实就是指定一个元素，感觉也称不上运算，比如，规定一个群的单位元是e，或者规定自然数中0是一个特殊的元素，任何自然数加零数值不变。 $m+0=m$

类型为F的代数A

于是，一个代数就可以定义为，一个集合A，以及一个代数类型F，用序对表示为 $\langle A,F\rangle$ ，称之为类型为F的代数A，其中要求A是非空集合，F为有限元运算的集合（例如，实数序列的无穷级数可以看作实数上的无限元运算），集合A往往又称为基础集，F中的元素称之为基本运算。

如果F是有限集，通常可以将记号 $\langle A,F\rangle$ 记为 $\langle A,f_1,f_2,...,f_n\rangle$ ，也就是说显式的把运算写出来，一般要把元数多的运算写在前面，元数少的写在后面，也就是按照元数排序。

下面就是按照这种表示法给出的一些代数结构。

二、一些限定词

一元代数

只含有一元运算的代数，运算个数没有要求，对元数有要求。

单一元代数

只含有一个一元运算的代数，个数，元数都指定了。

广群

只含有一个二元运算的代数，对于一元运算，0元运算的个数没有限制。这个唯一的二元运算可以记为 $+$ 或者 $*$ 。运算的结果称之为和或者积。

有限代数

基础集A是有限集

平凡代数

基础集A只含一个元素

三、一些代数结构

群

可以记为 $\langle G,\cdot ,^{-1},1\rangle$ ，基础集G，一个二元运算，一个一元运算，一个零元运算。并且满足下面的等式。结合律，单位元，逆

$\begin{aligned}&\text { G1: } x \cdot(y \cdot z) \approx(x \cdot y) \cdot z\\&\text { G2: } x \cdot 1 \approx 1 \cdot x \approx x\\&\text { G3: } x \cdot x^{-1} \approx x^{-1} \cdot x \approx 1\end{aligned}$

交换群

交换群和群的记号是一样的，不过还需满足交换律

$\mathrm{G} 4: x \cdot y \approx y \cdot x$

半群

记为 $\langle G,\cdot \rangle$ ，并满足

$\text { G1: } x \cdot(y \cdot z) \approx(x \cdot y) \cdot z$

交换半群

满足交换律的半群

$\mathrm{G} 4: x \cdot y \approx y \cdot x$

幺半群

记为 $\langle M,\cdot,1 \rangle$ ，满足

$\begin{aligned}&\text { G1: } x \cdot(y \cdot z) \approx(x \cdot y) \cdot z\\&\text { G2: } x \cdot 1 \approx 1 \cdot x \approx x\\\end{aligned}$

当然也有交换幺半群。

准群（Quasigroups）

记为 $\langle Q,/,\cdot,\backslash \rangle$ ，有三个二元运算，满足

$\begin{array}{l}\text { Q1: } x \backslash(x \cdot y) \approx y ;(x \cdot y) / y \approx x \\\text { Q2: } x \cdot(x \backslash y) \approx y ;(x / y) \cdot y \approx x\end{array}$

圈（Loop）

带有恒等元的准群 $\langle Q,/,\cdot,\backslash,1 \rangle$ ，满足

$\begin{array}{l}\text { Q1: } x \backslash(x \cdot y) \approx y ;(x \cdot y) / y \approx x \\\text { Q2: } x \cdot(x \backslash y) \approx y ;(x / y) \cdot y \approx x\\\text { G2: } x \cdot 1 \approx 1 \cdot x \approx x\end{array}$

今天比较高兴，所以更一下。

最后编辑于：2021.01.15 20:49:06