3.2 标准记号与常用函数
3.2-1
证明:若 和 是单调递增的函数,则函数 和 也是单调递增的;此外,若 和 是非负的,则 是单调递增的。
若 单调递增,即对任意的 都有 。故有:
-
;
;
即函数 和 也是单调递增的。
- 若 和 是非负的,则 ;
故 是单调递增的。
3.2-2
证明等式(3.16):。
乘法交换律,得
又有 ,得
又对数函数为严格递增函数,故
或:
3.2-3
证明等式(3.19):。并证明 且 。
-
根据斯特林近似公式:
故,。
-
故,,使得对所有的 ,有 ,故 。
-
故,,使得对所有的 ,有 ,故 。
3.2-4*
函数 多项式有界吗?函数 多项式有界吗?
多项式有界,即随着 增大,一直满足:
两边同时取对数:
也就是若 ,则函数 多项式有界。
对于 ,有:,故函数 不是多项式有界的。
对于 ,有:
其中,
故函数 是多项式有界的。
3.2-5*
如下两个函数中,哪一个渐进更大些: 还是 ?
设 。
又 ,故 渐进更大一些。
3.2-6
证明:黄金分割率 极其共轭数 都满足方程 。
3.2-7
用归纳法证明:第 个斐波那契数满足等式 ,其中 是黄金分割率且 是其共轭数。
当 时:
另可证:
假设 时,满足等式。则:
3.2-8
证明: 蕴含着 。
由对称性: 当且仅当 ,得:
两者相除,有:
又由对称性,得:。