电势（by小毅）

平面、球、圆柱的电势

知识点

单体
- (1) 借助高斯定理，求出场强 $\vec{E}(\vec{r})$ 。注意一般是分段函数。
- (2) 从关心的场点向零势能点（一般为无穷远）进行分段积分： $V=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$
组合体
- 叠加法

表达题

复习

之前我们学过电势的概念。某场点的电势为 $V$ ，它的物理意义是

解答：单位电荷在该点具有的电势能（所以是个标量）
代数和

复习

电势的计算，第一种方法是点电荷的积分大法，也就是把场源电荷电荷看成是由很多电量为 $dq$ 的点电荷组成，然后求和或积分搞定，核心公式为

解答： $V=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

复习
我们将 $q$ 从无穷远推到当前场点时，外力做的功，转化为电势能。设空间任意场点 $\vec{r}$ 处的电场强度为 $\vec{E}(\vec{r})$ ，则电势能的计算式可能为：
(1) $E_{p}=\int_{\infty}^{A}\vec{F}_{\text{外}}\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}(-q\vec{E})\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{\infty}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=q\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
(2) $E_{p}=\int_{\infty}^{A}\vec{F}_{\text{外}}\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}(q\vec{E})\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=q\int_{\infty}^{A}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
则根据电势的定义，得到电势和电场的积分关系可能为：
(3) $V=\frac{E_{p}}{q}=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
(4) $V=\frac{E_{p}}{q}=\int_{\infty}^{A}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
以上正确的是()

解答：
（1）（3）

某实心均匀带电球体，电量为 $Q$ ，半径为 $R$ 。根据高斯定理易知： $E=\begin{cases} \begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}\\ E_{II}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q/R^{3}\times r^{3}}{r^{2}} \end{array} & \begin{array}{c} r>R\\ r \le R \end{array}\end{cases}$
则距离球心为 $r_{0}=\frac{3R}{2}$ 处的电势的计算式为
(1) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 。
(2) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{II}(r)dr$ 。
则距离球心为 $r_{0}=\frac{R}{2}$ 处的电势的计算式为
(3) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 。
(4) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{II}(r)dr$ 。
(5) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R}E_{II}(r)dr+\int_{R}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 。
请理解电势计算的几何意义
(6) 胡乱写积分表达式
(7) $E(r)$ 分段曲线下方所围成的面积
以上正确的是( )

解答：
（1）（5）（7）

某均匀带电空腔球体，电量为 $Q$ ，内径为 $R_{1}$ ，外径为 $R_{2}$ 。根据高斯定理易知： $E=\begin{cases}\begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}, r>R_{2} \\ E_{II}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{ Q_{0} }{r^{2}}, [Q_{0}=Q/(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\times(r^{3}-R_{1}^{3})], r\in(R_{1},R_{2})\\ E_{III}=0 , r\lt R_{1} \end{array} \end{cases}$
则距离球心为 $r_{0}\in(R_{1},R_{2})$ 处的电势的计算式为( )

解答： $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R_{2}}E_{II}(r)dr+\int_{R_{2}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 。

某均匀带电无限长实心圆柱体，半径为 $R$ ，电荷体密度为 $\rho$ ，则距离轴线为 $r_{0}=\frac{R}{2}$ 处的电势的积分表达式为：( )

$V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R}\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}rdr+\int_{R}^{\infty}\frac{\rho R^{2}}{2\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}dr$ 。

球、柱、面状带电体的电势，一般使用积分来计算： $V=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。如果要求 $A\text{、}B$ 两点的电势差 $U_{A,B}$ ，则为( )

解答： $V=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。 $U_{A,B}=V_{A}-V_{B}=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}+\int_{B}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

均匀带电的无限大平板，厚度为 $D$ ，电荷体密度为 $\rho$ 。现在求图中 $A(x=\frac{D}{5})\text{、}B(x=3D)$ 两点的电势差。
第一步，用高斯定理求电场，得到
(1) $E=\begin{cases} \begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{\rho D}{2\epsilon_{0}}\\ E_{II}(r)=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}x\end{array} & \begin{array}{c} x>\frac{D}{2}\\ x<\frac{D}{2} \end{array}\end{cases}$
(2) $E=\begin{cases} \begin{array}{l}E_{I}(r)=\frac{\rho D}{\epsilon_{0}}\\ E_{II}(r)=\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}x \end{array} & \begin{array}{c} x>\frac{D}{2}\\x<\frac{D}{2} \end{array}\end{cases}$
第二步，借助 $V=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 计算电势差。考虑到电场的方向，以及 $B_{1}$ 与 $B$ 电势相等，事实上只需要计算 $\int_{A}^{B_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ ，从而化为标量积分。则积分表达式为
(3) $V=\int_{D/5}^{D/2}\frac{\rho D}{\epsilon_{0}}dx+\int_{D/2}^{3D}\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}xdx$
(4) $V=\int_{D/5}^{D}\frac{\rho D}{\epsilon_{0}}dx+\int_{D}^{3D}\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}xdx$
以上正确的是()

解答：
（1）（3）

学知识需要自己悟出点感性的东西。下面关于电势说法，有
(1) 顺着电场线，电势是降低的
(2) 由于左右对称性， $A$ 与 $A'$ 的电势相等
(3) 如果要求 $A'\text{、}B$ 两点的电势差 $U_{A',B}$ ，其实只需要求 $U_{A,B}$
(4) $B$ 和 $B''$ 电势相等，因为 $\int_{B}^{B''}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 中， $\vec{E}$ 的方向时刻跟 $d\vec{r}$ 的方向垂直
(5) 事实上 $B$ 与 $B''$ 位于同一个等势面
(6) 学完了想一想，球、柱、平板电荷中高斯面的选择，似乎跟等势面有很大的相似性。

小结

$\color{red}{若做出E—r的关系图像，则电势为图像包围的面积}$

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