Key Point1:
能够使用贝叶斯做推荐排序的假设有两个：
1. 用户U对商品和
的偏好和其他用户无关（即用户间的独立性）
2. 用户U对商品和
的偏好和该用户喜欢的其他商品无关（即商品间的独立性）
这两种关系满足完全性、反对称性和传递性：
完整性：
反对称性：
传递性：
Key Point2:
类似LFM（隐语义模型），BPR将用户U和物品I的排序矩阵X分解成用户矩阵和物品矩阵
，满足
，k为矩阵
的秩
BPR针对每个用户感兴趣的商品进行排序，因此对于任意一个用户u和商品i，期望如下：
BPR最终目标：
找到最合适的W和H，使得最接近
，看似类似funkSVD，但推导过程不尽相同
求解过程
优化目标：，根据贝叶斯公式有：
；
根据用户物品排序和其他用户无关的假设，有：
很显然问题转化成了分别求解和数据集无关的以及 和数据集有关的
的求解过程：
根据用户对i和j喜好的独立性，将后者转化成和样本(u,i,j)有关的公式：
其中，根据完整性和反对称性的性质，上式可以化简成：
①，
其中，，
为sigmoid函数，一是为了方便计算，二是sigmoid函数完美的满足了完整性、反对称性和传递性
至此，我们还需要知道的是如何求得，这个式子需要满足
时
；
时
，最直观的方式就是表示成下式：
，
是
(u,i)和
(u,j)的值，将此式带入①中，得到：
的求解过程：
也使用贝叶斯定理的假设：即服从正态分布：
还是根据①式，显然需要取对数后再计算，而对于正态分布来说，其对数和成正比：
综合的求解过程：
用梯度上升法求解，对上式求相对于的偏导：
，其中：
而转化为具体的参数就是
（这里对理解很关键，也是不同于LFM的地方）!
总结：
BPR是基于矩阵分解的一种排序算法，但是和funkSVD之类的算法比，它不是做全局的评分优化，而是针对每一个用户自己的商品喜好分贝做排序优化。因此在迭代优化的思路上完全不同。同时对于训练集的要求也是不一样的，funkSVD只需要用户物品对应评分数据二元组做训练集，而BPR则需要用户对商品的喜好排序三元组做训练集。
