【数学建模算法】(番外3)解决规划问题的神器——Lingo（中）

上一部分我们简单介绍了Lingo，这一部分我们继续介绍Lingo中的语法，运算符，以及应用实例。

3.模型的数据(Data)部分和初始化(Init)部分

在处理模型的数据时，需要为集指派一些成员并在Lingo求解模型之前为集的某些属性指定值。
为此，Lingo为用户提供了两个可选部分：输入集成员和数据的数据部分(Data Section)和为决策变量设置初始值的初始化部分(Init Section)。

3.1.模型的数据部分(Data Section)

3.1.1.简介

数据部分以关键字“data:”开始，以关键字“enddata”结束。在这里，可以指定集成员、集的属性。其语法如下：

object_list = value_list;

对象列（object_list）包含要指定值的属性名、要设置集成员的集名，用逗号或空格隔开。一个对象列中至多有一个集名，而属性名可以有任意多。如果对象列中有多个属性名，那么它们的类型必须一致。如果对象列中有一个集名，那么对象列中所有的属性的类型就是这个集。
数值列（value_list）包含要分配给对象列中的对象的值，用逗号或空格隔开。注意属性值的个数必须等于集成员的个数。看下面的例子。

例3.1

sets:
  set1/A,B,C/: X,Y;
endsets
data:
  X=1,2,3;
  Y=4,5,6;
enddata

在集set1中定义了两个属性X和Y。X的三个值是1、2和3，Y的三个值是4、5和6。也可采用如下例子中的复合数据声明（data statement）实现同样的功能。

例3.2 \quad 复合数据声明

sets:
  set1/A,B,C/: X,Y;
endsets
data:
  X,Y=1 4
      2 5
      3 6;
enddata

这时的数据分配和例3.1是等效的，像这种将X,Y看为一组数，一组一组构建数据的方式称为复合数据声明。

3.1.2.参数

在数据部分也可以制定一些标量变量，称之为参数。

例3.3

data:
  interest_rate = .085;
enddata

3.1.3.实时数据处理

在某些情况，对于模型中的某些数据并不是定值。譬如模型中有一个通货膨胀率的参数，我们想在2%至6%范围内，对不同的值求解模型，来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多么敏感。我们把这种情况称为实时数据处理。LINGO可方便地做到这件事。
在本该放数的地方输入一个问号（?）。

例3.4 实时数据处理

data:
  interest_rate,inflation_rate = .085  ?;
enddata
弹出交互框

这样系统就会弹出一个交互框来让你随意调整数值。

3.1.4.指定属性为一个值

可以在数据声明的右边输入一个值来把所有的成员的该属性指定为一个值。看下面的例子。

例3.5 指定属性为同一个值

sets:
  days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs;
endsets
data:
  needs = 20;
enddata

LINGO将用20指定days集的所有成员的needs属性。对于多个属性的情形，见下例。

例3.6 指定多个属性为同一个值

sets:
  days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost;
endsets
data:
  needs cost = 20 100;
enddata

3.1.5 数据部分的未知数值

有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值，而让其余成员的该属性保持未知，以便让LINGO去求出它们的最优值。在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格。

例3.7 数据部分的未知数值

sets:
  years/1..5/: capacity;
endsets
data:
  capacity = ,34,20,,;
enddata

这代表属性capacity的第2个值和第3个值分别为34和20，其余的未知。

3.2.模型的初始化部分(Init Section)

初始部分是LINGO提供的另一个可选部分。在初始部分中，可以输入初始声明（initialization statement），和数据部分中的数据声明相同。对实际问题的建模时，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分输入的值仅被LINGO求解器当作初始点来用，并且仅仅对非线性模型有用。和数据部分指定变量的值不同，LINGO求解器可以自由改变初始部分初始化的变量的值。
一个初始部分以“init:”开始，以“endinit”结束。初始部分的初始声明规则和数据部分的数据声明规则相同。也就是说，我们可以在声明的左边同时初始化多个集属性，可以把集属性初始化为一个值，可以用问号实现实时数据处理，还可以用逗号指定未知数值。

例3.8

init:
  X, Y = 0, .1;
endinit
Y=@log(X);
X^2+Y^2<=1;

好的初始点会减少模型的求解时间。

4.Lingo函数

Lingo共有9种类型的函数：
1.基本运算符：算数运算符，逻辑运算符和关系运算符
2.数学函数：三角函数和常规的数学函数。
3.金融函数：Lingo提供的两种金融函数。
4.概率函数：Lingo提供了大量的概率函数。
5.变量界定函数：这类函数用来界定变量的取值范围。
6.集操作函数：对集的操作提供帮助。
7.集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数。
8.数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据相联系，进行数据的输入输出。
9.辅助函数：各种杂类函数。

接下来将逐一介绍：

4.1.基本运算符

4.1.1.算术运算符

Lingo提供了5种二元运算符：

^ ：乘方
*：乘
/：除
+：加
-：减

提供了一种一元运算符——取反运算符。
优先级从高到低分别为：取反，乘方，乘除，加减。
可用圆括号"()"来调整优先级。

4.1.2.逻辑运算符

在 Lingo 中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。

Lingo具有9中逻辑运算符：
#not#：否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符
#eq#：若两个运算数相等，则为true；否则为flase
#ne#：若两个运算符不相等，则为true；否则为flase
#gt#： 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase
#ge#：若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase
#lt#：若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase
#le#：若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase
#and#：仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase
#or#：仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true

运算符优先级从低到高为：
#not#
#eq#,#ne#,#gt#,#ge#,#lt#,#le#
#and#
#or#

4.1.3.关系运算符

在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。

LINGO有三种关系运算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO中还能用“<”表示小于等于关系，“>”表示大于等于关系。LINGO并不支持严格小于和严格大于关系运算符。然而，如果需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小于B：
A<B
那么可以把它变成如下的小于等于表达式：
A+\varepsilon<=B

给出以上三类操作符的优先级：(从高到低）
#not# 取反
^
* /
+ -
#eq#,#ne#,#gt#,#ge#,#lt#,#le#
#and#,#or#

4.2.数学函数

Lingo提供了大量标准数学函数。

@abs(x)：返回x的绝对值。
@sin(x)：返回x的正弦值，x采用弧度制。
@cos(x)：返回x的余弦值。
@tan(x)：返回x的正切值。
@exp(x)：返回常数e的x次方。
@log(x)：返回x的自然对数。
@lgm(x)：返回x的gamma函数的自然对数。
@mod(x,y)：返回x除以y的余数。
@sign(x)：如果x<0返回-1；否则，返回1。
@floor(x)：返回x的整数部分。当x>=0时，返回不超过x的最大整数；当x<0时，返回不低于x的最大整数。
@smax(x1,x2,…,xn)：返回x1，x2，…，xn中的最大值。
@smin(x1,x2,…,xn)：返回x1，x2，…，xn中的最小值。

4.3.金融函数

目前Lingo提供了两个金融函数。

1.@fpa(I,n)
返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用x乘以@fpa(I,n)算得。@fpa的计算公式为:
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+I)^{k}}=\frac{1-(1+I)^{-n}}{I}

例4.1 （贷款买房问题）
Lingo代码如下：贷款金额50000元，贷款年利率5.31%，采取分期付款方式（每年年末还固定金额，直至还清）。问拟贷款10年，每年需偿还多少元？
LINGO代码如下：

50000 = x * @fpa(.0531,10);

答案是x=6573.069元。

2.@fpl(I,n)
返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，第n个时段支付单位费用。@fpl(I,n)的计算公式为
(1+I)^{-n}
细心的读者可以发现这两个函数间的关系：
@fpa(I,n)=\sum_{k=1}^{n}@fpl(I,n)

4.4.概率函数

1．@pbn(p,n,x)
二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。
2．@pcx(n,x)
自由度为n的χ2分布的累积分布函数。
3．@peb(a,x)
当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。
4．@pel(a,x)
当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。
5．@pfd(n,d,x)
自由度为n和d的F分布的累积分布函数。
6．@pfs(a,x,c)
当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。
7．@phg(pop,g,n,x)
超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。
8．@ppl(a,x)
Poisson分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布。
9．@pps(a,x)
均值为a的Poisson分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。
10．@psl(x)
单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。
11．@psn(x)
标准正态分布的累积分布函数。
12．@ptd(n,x)
自由度为n的t分布的累积分布函数。
13．@qrand(seed)
产生服从(0,1)区间的拟随机数。@qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个m×n的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层取样”的方法产生的。
14．@rand(seed)
返回0和1间的伪随机数，依赖于指定的种子。典型用法是U(I+1)=@rand(U(I))。注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。

4.5.变量界定函数

变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：
@bin(x)：限制x为0或1；
@bnd(L,x,U)：限制L≤x≤U；
@free(x)：取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数；
@gin(x)：限制x为整数。
在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。

4.6.集操作函数

LINGO提供了几个函数帮助处理集。
1．@in(set_name,primitive_index_1 [,primitive_index_2,…])
如果元素在指定集中，返回1；否则返回0。

例4.2 全集为I，B是I的一个子集，C是B的补集。

sets:
  I/x1..x4/:x;
  B(I)/x2/:y;
  C(I)|#not#@in(B,&1):z;
endsets

2．@index([set_name,] primitive_set_element)
该函数返回在集set_name中原始集成员primitive_set_element的索引。如果set_name被忽略，那么LINGO将返回与primitive_set_element匹配的第一个原始集成员的索引。如果找不到，则产生一个错误。

例4.3 如何确定集成员(B,Y)属于派生集S3

sets:
  S1/A B C/;
  S2/X Y Z/;
  S3(S1,S2)/A X, A Z, B Y, C X/;
endsets
X=@in(S3,@index(S1,B),@index(S2,Y));

3．@wrap(index,limit) (取余）
该函数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值保证j落在区间[1，limit]内。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。
4．@size(set_name)
该函数返回集set_name的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它的使用使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。

4.7.集循环函数

集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为
@function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:
expression_list);

@function相应于下面罗列的四个集循环函数之一；
setname是要遍历的集；
set_ index_list是集索引列表；
conditional_qualifier是用来限制集循环函数的范围。

当集循环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为真，则对该成员执行@function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是@for函数时，expression_list可以包含多个表达式，其间用逗号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用其余的三个集循环函数时，expression_list只能有一个表达式。如果省略set_index_list，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。

1．@for
该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过@for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。

例4.4 产生序列{1,4,9,16,25}

model:
sets:
  number/1..5/:x;
endsets
  @for(number(I): x(I)=I^2);
end

2．@sum
该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。

例4.5 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的和。

model:
data:
  N=6;
enddata
sets:
  number/1..N/:x;
endsets
data:
  x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
  s=@sum(number(I) | I #le# 5: x);
end

3．@min和@max
返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。
例4.6 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的最小值，后3个数的最大值。

model:
data:
  N=6;
enddata
sets:
  number/1..N/:x;
endsets
data:
  x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
  minv=@min(number(I) | I #le# 5: x);
  maxv=@max(number(I) | I #ge# N-2: x);
end

4.8.输入和输出函数

输入和输出函数可以把模型和外部数据比如文本文件、数据库和电子表格等连接起来。
1．@file函数
该函数用从外部文件中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数的语法格式为@file(’filename’)。这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。
2．@text函数
该函数被用在数据部分用来把解输出至文本文件中。它可以输出集成员和集属性值。其语法为
@text([’filename’])
这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。如果忽略filename，那么数据就被输出到标准输出设备（大多数情形都是屏幕）。@text函数仅能出现在模型数据部分的一条语句的左边，右边是集名（用来输出该集的所有成员名）或集属性名（用来输出该集属性的值）。
我们把用接口函数产生输出的数据声明称为输出操作。输出操作仅当求解器求解完模型后才执行，执行次序取决于其在模型中出现的先后。
3．@ole函数
@OLE是从EXCEL中引入或输出数据的接口函数，它是基于传输的OLE技术。OLE传输直接在内存中传输数据，并不借助于中间文件。当使用@OLE时，LINGO先装载EXCEL，再通知EXCEL装载指定的电子数据表，最后从电子数据表中获得Ranges。为了使用OLE函数，必须有EXCEL5及其以上版本。OLE函数可在数据部分和初始部分引入数据。
@OLE可以同时读集成员和集属性，集成员最好用文本格式，集属性最好用数值格式。原始集每个集成员需要一个单元(cell)，而对于n元的派生集每个集成员需要n个单元，这里第一行的n个单元对应派生集的第一个集成员，第二行的n个单元对应派生集的第二个集成员，依此类推。
@OLE只能读一维或二维的Ranges（在单个的EXCEL工作表(sheet)中），但不能读间断的或三维的Ranges。Ranges是自左而右、自上而下来读。

4.9 辅助函数

1.@if(logical_condition,true_result,false_result)
@if函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真，返回true_ result，否则返回false_result。

以上即是Lingo软件中涉及的基本函数，下一部分将用综合实例来全面实践用Lingo解决规划问题。

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