（摘自《儿童心理学手册》第六版第四卷【应用儿童心理学】第四章【数学思维与学习】）

综观过去15年到20年的文献，他们认为，儿童有否数学能力可以作为获得了一种数学倾向的指标。

数学学习扩展到超越学习概念、过程和它们的应用，它还包括对数学形成一种倾向以及把数学看成是分析情境的一个有效方法。倾向不仅是指态度，而且是指积极地思考和行动的倾向性。学生的数学倾向体现在他们解决问题时的方式——是否具有信心、愿望去探索多种可能，是否坚定不移和满怀兴趣——以及他们反思自己思维的倾向。（NCTM,1989）

建立和掌握这样的一个倾向需要认知、情感和意志参与并需要以下五个要素相互协调：

1. 一个组织良好而又能灵活使用的具体领域的知识库，包括事实、符号、算法、概念和法则，这些要素组合成为数学，并使数学成为一门学科。

2. 启发式的方法，即搜索解题策略，虽不一定能找到答案，但因为引入了系统策略，可以明显地增加找到正确的解题策略的可能性。启发式解题的例子包括把问题分解为多个小目标和对问题作图解。

3. 元认知，包括对个人认知机能的理解（元认知知识，例如，相信个人的认知潜能可以通过学习和努力而形成和提高）和有关个人动机及情绪的知识可以用来提升意志力（例如当面对一个复杂的数学任务或问题时意识到自己对失败的恐惧）。

4. 自我调节能力，包括与个体认知过程的自我调节有关的技能（元认知技能或认知的自我调节，例如计划和监控个体解题过程）和调节个体意志过程/活动的技能（元意志技能或元意志的自我调节，例如保持对解答某一问题的注意力和动机）。

5. 对自己数学学习和问题解决持有积极的信念（自我效能信念），对数学活动发生的社会环境和对数学、学习数学以及问题解决持有积极信念。

以往的研究表明，学生学会的知识和技能常常在解题时忘记或不会使用，建立一个熟练的学习和思维的倾向应该能够帮助学生克服这个现象。Whitehead在1929年称之为“嵌入的知识”，要克服这个惯性，需要以整合的方式获得和掌握各种知识、技能和信念，以此形成有意养成的倾向。Perkins（1995）认为，这种倾向有两个关键因素，对在什么情况下应该使用已获得的知识和技能的敏感度和倾向。Perkins认为，这两个因素都由个体信念所决定。例如，个体关于“什么构成数学背景”的信念和认为“什么是有趣的或重要的”观念对于个体敏感的情绪和是否参与其中有很大的影响。

数学能力观与NRC（2001a）报告中所说的数学熟练观是吻合的，该报告把熟练定义为五个不可分割的概念：概念的理解、计算流畅性、策略能力、灵活推理和有效的倾向。

概念的理解和计算流畅性是一个有组织、容易使用的指定领域知识体系里的两个最重要的方面。概念的理解指的是，“理解数学概念、运算和关系”，而计算的流动性是，“灵活地、准确地、有效地和适当地完成计算过程”。

策略能力被定义为，“用公式阐述、表达和解答数学问题的能力”，这当然意味着启发式战略也包含认知的自我调节方面。

灵活推理被视为，“逻辑思维、思考、解释和辩解的能力”，尤其包括认知的自我调节机能。

最后，有效的倾向被认为是，“把数学看作实用的、有用的和值得做的习惯性倾向，与一个人的勤奋信念和效能信念有关，熟练度的这个组成部分与先前所说的积极态度相吻合，但也关系到对数学的敏感度和倾向。

在NRC（2001a）报告中，数学熟练程度的概念化是非常符合CLIA架构中能力部分的阐述。两个观点都体现了Hatano称作的适应的专门技术，即，在很多熟悉的或不熟悉的场合能灵活地和创造性地应用有意义的、掌握的、知识和能力。不过，目前在NRC的报告中，在熟练能力的定义中，没有或至少没有明确地包括或表达“能力分析“的一些方面，即元知识尤其是意志力的自我调解能力，这对集中精力于一个任务并坚持到底完成它是必不可少的。

数学能力的两个观点都强有力地支持的主要一点是不同的，但部分交织在一起，需要综合地获得。事实上，前面五部分的相互依存是报告的主旨：

“学习不是一个完全有或完全没有的现象，在学习进行的过程中，数学熟练能力的每个方面应该与其他方面同步发展，这样的发展需要时间。”

从发展的角度看，这一观点具有非常重要的含义。实际上，它意味着数学教育开始的时候，就必须关注儿童能力的不同组成部分同样有被整合的需要。在这点上，我们赞同NRC（2001a）报告中下面的观点：

“幼儿园前到八年级的老师面对的最有挑战性的工作之一是看到儿童在每个方面都取得进步而不是一个或两个方面。”

在这一章的后半部分，通过回顾一些近期阐述儿童发展的文献，我们聚焦于能力的几个组成部分。由此，我们需要考虑到熟练能力的各个不同部分的相互依赖：

数字认知、个位数计算和多位数算术，它们构成小学数学课程的具体领域知识；

在词语问题解决中，除具体的领域知识外，启发式策略和自我调节技能，甚至于信念，都会相互影响，并发挥了发挥了重要作用；

还有与数学相关的信念，这是一个直到最近才得到研究者关注的主题。先前版本的手册中相关的这些章节大多没有关注儿童数学思维的发展，当时的焦点是婴幼儿及学龄前儿童的发展。