插值法和线性拟合　第三节

共分五次
第一次　线性插值的唯一性和拉格朗日插值
第二次　牛顿插值
第三次　赫米特插值
第四次　分段插值
第五次　习题课和小结

$\Large\mathbf{赫米特插值}$

$\large\mathbf{赫米特插值构造原理}$
在插值节点处，插值多项式不仅值等于原值，且若干阶导数值与插值节点值相同，这类插值称为Hermite插值，这种插值的拟合性对于函数变化较激烈的函数较好于Lagrange插值法。

[引入] $设f(x)在节点x_0,x_1,,x_n上的函数值f(x_i)和导数值f^{'}(x_i)为已知，求作插值多项式H(x)使满足$
$\\H(x_i)=f(x_i) \qquad H^{'}(x_i)=f^{'}(x_i) \quad (x=0, 1, 2,...,n)$
上式中有2n+2个约束条件，故可以确定一个次数不高于2n+1的多项式 $H(x)$ ,插值问题转化为构造多项式问题。

基于基函数构造

$H(x)=\sum_ {i=0} ^{n} [y_i \alpha_i(x) + y^{'}_i\beta_i(x_i) ]$
类似拉格朗日插值， $\alpha_i(x_j)=1时i=j,否则为0$
$\beta_i^{'}(x_j)=1时,i=j,否则为0,且\beta_i(x_j)=0恒成立$
$Lagrange插值基函数l_i(x)=\prod\limits _{i\neq j j=0} ^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
上式为n次多项式，故构造
$\alpha_i(x)=(a_1+b_1x)*l_i ^2 (x) \tag{1}$
$\beta_i(x)=(a_2+b_2x)*l_i ^2 (x) \tag{2}$
显然(1)中，仅当 $x=x_i$ 时 $l_i ^2 (x)=1$
$\beta_i^{'}(x)=1时，对于插值节点，当且仅当x=x_i$

$\alpha_i(x_i)=(a_1+b_1x_i)*l_i ^2 (x)=1$
$\alpha_i ^{'}(x_i)=a_1l_i ^2 (x_i)+(a_1x_i+b_1)*2l_i(x_i)l_i ^{'} (x_i)=0$
可得
$a_1x_i+b_1=1$
$a_1+2l_i ^{'} (x_i)=0$
故
$a_1=-2l_i ^{'} (x_i) \qquad b_1=1+2x_1 l_i ^{'} (x_i)$

$l_{i}^{'}(x)=\sum\limits_ {k=0,k\neq i} ^{n} \frac{1}{x- x_k}$
$l_{i}^{'}(x_i)=\sum\limits_{k=0,k\neq i} ^{n} \frac{1}{x_i- x_k}$

同理
$设\beta_i(x)=(x-x_i)l_i ^{2}(x)$
$\beta_i ^{'}(x)=l_i ^{2}(x)+2l_i(x_i)l_i ^{'} (x_i)*(x-x_i)$
$当x=x_i时，\beta_i ^{'}(x)＝1$

插值余项

$R_{2n+1}(x)=f(x)-H_{2n+1}= \frac{f^{(2n+2)}(\xi)} {(2n+2)!} \qquad \xi\in[a,b] 且与x的位置有关$

基于此方法构造的插值多项式唯一

引用

《计算方法　第二版》崔国华　许如初

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 204,590评论 6赞 478
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 86,808评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 151,151评论 0赞 337
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,779评论 1赞 277
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,773评论 5赞 367
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,656评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 38,022评论 3赞 398
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,678评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 41,038评论 1赞 299
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,659评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,756评论 1赞 330
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,411评论 4赞 321
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 39,005评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,973评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,203评论 1赞 260
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 45,053评论 2赞 350
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,495评论 2赞 343

插值法和线性拟合　第三节

插值法和线性拟合　第三节

目录

2.1 插值多项式存在唯一性

2.2 Lagrange(拉格朗日)插值

2.3 Newton(牛顿)插值

2.4 Hermite(赫米特)插值

2.5 分段插值

基于基函数构造

插值余项

基于此方法构造的插值多项式唯一

引用

推荐阅读更多精彩内容

插值法和线性拟合 第三节

目录

2.1 插值多项式存在唯一性

2.2 Lagrange(拉格朗日)插值

2.3 Newton(牛顿)插值

2.4 Hermite(赫米特)插值

2.5 分段插值

基于基函数构造

插值余项

基于此方法构造的插值多项式唯一

引用

推荐阅读更多精彩内容

插值法和线性拟合　第三节