名家点评
行走于平衡与不平衡之间 “找次品”
一、让学生学什么?
《义务教育数学课程标准(2011年版)》从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面阐述了数学教育的总体目标。如何将这些目标与具体教学内容有机地结合,并在具体的教学行为中加以落实,是每一位教师进行教学设计时首先需要考虑的。那么,在“找次品”这节课中,我们需要学生学到些什么呢?是让学生掌握找到次品的最优方案?是让学生找到球的总个数与“保证找到次品所用的最少次数”之间的关系模式?诚然,这些都是我们希望达成的目标,但我们所追求的,又远远不止于此。
1.关于抽象与直观的思想和方法
抽象是数学的基本思想之一。在数学学习中,数学抽象无处不在。但理解数学的抽象,有时又需要数学直观作为形象支撑。本课中,“找次品”所用的天平模型就是数学抽象与数学直观的完美结合。
虽然我们的任务是从若干个乒乓球中把稍重的一个次品找出来,但又不能动手,而只能动脑。虽然我们要用天平作为解决问题的工具,但又不能拿一架生活中的天平进行真实的称量,而只能利用天平模型进行假想的称量因为即使拿一架零误差的天平(事实上,生活中并不存在完全零误差的天平进行实际称量,出现的结果要么是平衡,要么是不平衡,而不会出现“如果平衡…… ”“如果不平衡……”的情形。这就决定了学生需要在头脑中建立一个天平模型 ,这个模型既是抽象的,又是直直观的；其抽象性体天平,可以实现零误差;其直观性体现在它可以帮助学生在头脑中想象这在天平平衡与不平衡时的形象画面。因此,本课中的抽象不是纯粹意义上的抽象，而是直观的抽象；直观也不是操作意义上的直观，而是抽象的直观数学是思维的体操”,这句话在本课中得到了充分的体现。
2.关于推理的思想和方法
陈省身先生曾说过,数学的主要方法是逻辑的推理。《义务教育数学课程标准(2011年版)》也明确指出:“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中”本课的教学既包含了大量类似“如果……那么…”的演绎推理,又包含了从若干特殊实例中得出一般性结论的归纳推理。
本课自始至终紧紧围绕“保证找出次品”“既要保证找出次品,又要用最少的次数”这两个基本问题,让学生经历推理的过程,掌握推理的方法,体会推理的思想。
课一开始,一位同学就提出了“从81个球中找次品”的解决方案:“我的答案是1次。因为题目中说的是‘最少要称几次’,每个盘子放40个球,如果平衡,那剩下的那个球就是稍重的球。”事实上,这位同学已经在自觉地运用逻辑推理的方法解决问题了,不足之处在于他只考虑到了两种情形中的一种,而没有考虑当运气不好时,有可能会出现天平不平衡的情形,而“保证找出次品”则要求把所有的可能性都考虑到,即运气再不好,也能把次品找出来,只有把所有的可能性都罗列出来,才算完成了演绎推理的完整过程。
本课中涉及的演绎推理,可以用以下模式概括。
每一次找次品的过程都是演绎推理的应用过程,而在一次次线次品的过程中,通过比较、分析、猜想、验证,发现找出次品的最优方案,则是一个推理的过程。虽然学生对“每次称量时,都把含有次品的乒乓球尽量平均分成三份“的最优方案,无法给出严的数学证明,但教师可以助一些特殊等具体问题时,通过对各种方案的对比,实现从“二分法”到“三分法”再“尽量平均分的三分法”的转变,总结出最优方案的特点;再结合“思辨式的说理”,归纳出一般性的结论:“对任意数量的乒乓球,这样的称量方案都是最优的。”这就是对归纳推理的思想和方法的自觉运用。
3.关于优化的思想和方法
要从81个球里找出次品,最极端的方案是:在天平两端各放一个球,如果不平衡,马上就能找到次品;如果平衡,保持一个球不动,再从天平外任意拿一个球来比。这样比下去,也能保证把次品找出来,但显然没有达到我们的另一个目标:使用最少的次数
一个一般意义上的最优策略应该保持一致性,即每次称量都应遵循相同的原则。例如,要从6个球中找出一个稍重的次品,方案一如下:第一次称量,天平两端各放3个球,次品在下沉的一端。第二次称量,从含次品的3个球中各取1个放在天平两端,一定可以找到次品。方案二如下:第一次称量,从6个球中各取2个放在天平两端。若平衡,次品在外面的2个球中,接下来,把这2个球分别放在天平两端,一定可以找到次品;若不平衡,次品在下沉的2个球中,同样,把这2个球分别放在天平两端,一定可以找到次品。这两种方案都是用2次称量就可保证把次品找出来,但方案一的第一次称量并不符合最优策略的一般原则。因此,即使称量次数和方案二相同,方案一仍然不是一个般意义上的最优方案,只是因为球的总数少,产生了两种方案所用次数相等的“巧合”。而这种“巧合”有时会掩盖真相,把学生引入歧途。例如,有的学生会认为当所称的球的个数是偶数时,要用二分法;当球的个数是奇数时才要用到三分法。
因此,选择多少个球进行研究就变得尤为重要。华老师选择了从8个球9个球中找次品,引导学生自主探究最优方案。这一环节在设计上暗藏玄机使全体学生“误入歧途而不自知”,听后让人拍案叫绝。华老师先让学生解决“从8个球中找次品”的问题。由于8=23,每次“二分”之后依然是偶数,因此,在课上,刚开始所有学生无一例外都采用了二分法也就不奇怪了,即把8个球分成4个和4个,然后把含有次品的4个球分成2个和2个,最后把含有次品的2个球再分成两份。这样,3次就能把次品找出来了。一切都进展得非常“顺利”,华老师也不动声色,未加点破,而是用赞许的眼神对大家的思路表示肯定。接下来再来解决“从9个球中找次品”的问题,此时学生中出现了不同的方案,有的是先在天平两端分别放上4个球,有的是先在天平两端分别放上3个球。前一种方案用3次才能保证找出次品,后一种方案只用2次就够了。此时,有眼尖的学生发现了问题:“为什么球的数量变多了,次数反而变少了呢?”而华老师也像刚发现新大陆一样:“好问题!为什么?”在这样的情境下,无需教师多余的讲解,学生自然会去主动对比“从9个球中找次品”两种方案的差异。在此基础上,再回过头去研究“从8个球中找次品”还可以用什么样的方案解决,也是水到渠成的事情。
在学生讲述推理过程的时候,华老师多次强调“第三个盘子”的概念,引导学生完成从二分法到三分法的转变。事实上,在任何一次称量过程中,球所放的位置一定是三个位置中的其中一个,即天平的两端和天平外边,所以,不管怎么分,实际上都是在运用三分法进行称量。二分法也可以看成是三分法的种特殊情况,即天平外的数量是0。为了方便表述,在本文中,我们不妨用(a,a,b)来表示三分法的结果,其中a表示天平两端所放乒乓球的数量,b表示天平外乒乓球的数量。因此,三分法并不是最优方案的关键,关键是a和b要尽量接近。这一点,教师可通过具体的分法让学生体会和理解。例如,从8个球里找次品,可用以下几种方案进行第一次称量:方案一,(1,1,6),运气不好的话,接下来要从6个球中找次品;方案二,(2,2,4,运气不好的话,接下来要从4个球中找次品;方案三,(3,3,2),运气不好的话,接下来要从3个球中找次品;方案四,(4,4,0,运气不好的话,接下来要从4个球中找次品。通过对比很容易发现,在进行下一次称量时,方案三中含有次品的乒乓球总数是最少的。这一方案中“天平两端和天平外的乒乓球个数最接近”的特点也是显而易见的。而课上仅对(3,3,2)和(4,4,0)两种方案进行对比就得出了结论,笔着以 称量的所有方案全部呈现出来,引导学生通过对比发现最优方案的特点,应该 如果能够把第一次会更具说服力。而在解决“从9个球中找次品”的问题时,也可以再次强化这种完全归纳的思想和方法。
4.关于化归的思想和方法
在解决数学问题时,人们常常将待解决的问题甲,通过某种转化,归结为个已经解决或者比较容易解决的问题乙,然后通过问题乙的解答返回去求得问题甲的解答,这就是化归的基本思想。在“找次品”问题中,能把“从8个球中找次品”的问题转化为“从27个球中找次品”,把“从27个球中找次品”的问题继续转化为“从9个球中找次品”“从3个球中找次品”,其前提就在于每次称量使用的都是相同的策略,即“把含有次品的乒乓球尽量平均分成3份”。有了化归的思想和方法,对任意正整数n,都可以把“从n个球中拨次品”的问题转化为最基本的“从2个或3个球中找次品”。
教学时,华老师总是能在关键的地方用简洁的语言给予点拨,使学生深刻体会化归的思想,轻松掌握化归的方法。例如,在解决“从8个球中找次品的问题时,当学生说到“从4个球中找重球”的具体步骤时,华老师适时插“能不能把这样的找法说得简单些,省略一些话?”使学生意识到“从4个球中找次品”的问题在前面已经解决了。一句简单的话语,不仅节约了教学时间提高了教学效率,还让学生感受到了化归思想的强大力量。
5.关于表征的方式
用合适的方式清晰地表征问题、表征思维过程是一种很重要的数学能力。《美国学校数学教育的原则和标准》指出:“学习用通用的、大家都接受的表方式,无论对学生的数学学习还是加强学生与他人进行数学观点的交流,都十分重要的。华东师范大学的徐斌艳老师从数学教学的角度,把数学中时征分为形式化表征、图像化表征、动作化表征和语言化表征。在本课中在理解了“保证找出次品”的含义之后,基本能够利用语言化表征的方地陈述推理的过程。但根据笔者的经验,要让学生自主探索出一种非语言化的方式（如框图的形式、示意图的形式)来描述思维过程
华老师结合学生的语言陈述,用图示的方式简洁、直观、清晰地表示出推理的 过程,为学生提供了很好的示范。
也许有人会说,这种表征是由教师提供的,应让学生更多地经历自我探究的过程。但事实上,正如《美国学校数学教育的原则和标准》中所指出的:“现有的许多表征是十分有效的交流工具,这一事实掩盖了形成这些表征的困难程度。”要学生实现对非语言化的表征方式的自主探究,需要花费大量的时间和精力。考虑到课堂时间的限制,给学生提供一种现成的范例加以模仿,相信也是华者师反复权衡后做出的选择
6.关于数学文化
老师们经常评价华老师的课“很有味道”,其中一个很重要的原因就是华老师在日常教学中非常重视学生数学文化的养成,他的课堂总是自然地融合了很多哲学的意味和人文的色彩。例如,在提出“从81个球中找次品”的问题之后,华老师巧妙地出示了“天下难事,必作于易”。这句话出自老子的《道德经》,在数学课上出现,不仅毫不牵强做作,反而显得自然贴切、恰到好处,起到了画龙点睛的作用。华老师既从哲学的高度诠释了化繁为简的数学思想,又把数学与中国传统文化有机地结合起来,把培养学生的数学情感真正落到了实处。培养学生良好的数学情感和态度,不能靠生硬、空洞的说教,而要在润物细无声”中,用数学自身的魅力去吸引学生,用数学的文化去感染学生。
二、让学生怎么学
如果说“让学生学什么”反映的是教师的数学观,那么“让学生怎么学则更多地反映了教师的数学教学观。
1.在问题中学
著名数学家哈尔莫斯曾说过,问题是数学的心脏。一方面,教师要提出好的问题,激发和调动学生的探究兴趣;另一方面,教师要引导学生在解决问题的过程中发现和提问出有价值的问题，树立问题意识，以问题引领思考。
一个经过精心设计、具有挑战性的问题能很快地吸引学生的注意力,激发学生探究的欲望。本课伊始,华老师就提出了一个难度很大的问题:“假定你有81个乒乓球,其中只有1个球比其他球稍重。如果只能利用没有砝码的天平请问你最少要称几次才能保证找到稍重的球?”大部分学生觉得这个问题非常棘手,找不到解决问题的切入点。什么叫“保证找到稍重的球”?从81个珠中拿出2个球分别放在天平两端,一端下沉,就可以说用1次就能保证找到稍重的球了吗?什么叫“最少要称几次”?会不会解决?不会解决的话,可不可以尝试着猜测一下?可不可以解决一个类似的简单问题?最简单的情形是从几个球中找次品?……这样,在一个接着一个问题的引领下,学生的思维一步步被引向纵深。
2.在探究中学
如果把“找次品”问题的最优解决方案直接告诉学生,再加以反复练习相信学生再次遇到类似的问题时,解决起来也能达到驾轻就熟的程度。但如果不让学生亲历探究的过程,学生就会失去全方位发展解决问题能力的机会。华老师抛出“从81个球中找次品”的问题后,并不急于让学生解决,面是让学生凭第一感觉猜一猜要用多少次才可以找出次品。有的学生猜80次有的学生猜40次。那么,到底最少用多少次才可保证找出次品呢?学生心中的探究兴趣与欲望一下子被激发起来。带着这一问题,师生一起研究了从2个3个、4个、8个、9个球中找次品的问题。在探究的过程中,教师大胆放手学生积极参与。通过猜想、尝试、比较、归纳,学生知道了在什么情况下天定不平衡,在什么情况下天平可能平衡也可能不平衡;知道了什么是“保证找出次品的次数”;知道了要保证找出次品,可以有许多不同的方案,不同方案所用的次数是不同的;知道了对不同个数的乒乓球,要用最少的次数找次品是有一般性规律可循的
经历了这样的探究过程后,再回过头来重新审视一开始觉得难度很大“从81个球中找次品”的问题,一定会有一种别样的感觉。从“无处着手“轻松拿下”,其实并不遥远,中间相隔的只是一段“探究的旅程。
在这一过程中,学生经历了“拨开云雾见明月”,经历了“柳暗花明又一村”。学生在教师的帮助下不仅寻找到了最优的称量方案,更在寻找最优方案的过程中掌握了数学的基本知识,提高了数学的基本技能,理解了数学的基本思想,积累了数学的基本活动经验。与解决“找次品”问题这一具体目标相比,这些过程性目标的达成,对学生的数学学习乃至终身发展,都具有更深远的意义。
3.在交流中学
在一个有效的数学课堂中,师生之间、生生之间的讨论、交流、分享、质疑、反思都是帮助学生获得数学理解的重要方式。也只有在一种平等、民主的课堂环境中,学生才有机会充分地表达自己的观点、聆听别人的观点,并在交流互动中博采众长,获得批判性思维和反思能力。而教师的任务就是营造这样宽松的课堂氛围,鼓励学生思考、提问,针对解决问题的思路、策略进行讨论,并给以必要的点拨与指导,为学生的全面发展提供良好的环境与条件。在华老师的课堂上,教师从容,学生放松,没有教师居高临下的压抑感更没有师生共同“赶教案”的紧张感。只有在这样的课堂环境中,师生才能全身心聚焦于所要研究的问题本身,甚至连听课者的思维也会不自觉地参与到师生的研究活动之中。学生真正成为课堂的主人,他们自由地发表意见,对别人的观点进行反驳或补充。在华老师的课上,教师的启发和学生的思维碰撞成为课堂推进的主旋律。很少看到“老师说教,学生听讲”的场面,更多的是学生互相交流,老师边听边思考。教师有时会频频颔首,并给学生由衷的赞许“真好,真好”,有时又会微皱眉头,提出疑问。对课堂上出现的任何一种观点教师从不直接肯定或否定,更多的是让学生互相交流,互相修正错误,澄清理解,形成反思,教师真正成为学习活动的“组织者、引导者、合作者”。《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“好的教学活动,应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。”在华老师的课上,我们看到了这样的“和谐统一”。
笔者曾经看过一段日本女艺术家表演平衡术的视频。表演者手上持一根木条，再搭上一…… 这样一根一根、一层一层搭下去,需要艺术家具备超强的平衡能力,才能使所有木条 然后处于一种平衡的状态。在数学教学的过程中,教师同样需要处理好多维目标之间的平衡、结果与过程的平衡、学生探究与教师指导的平衡、预设与生成的平衡……这对教师的平衡能力提出了很高的要求。课堂上随时会出现一个个意料之外的不平衡因子,打破原有的平衡格局。此时,教师要像那位艺术家一样慢下来,静下来,在动态的微调中形成新的平衡。毫无疑问,华老师就是这样位行走于数学教学的平衡与不平衡之间的出色的“平衡大师”
