求geometric brownian motion的概率密度函数
若已知几何布朗运动：
利用伊藤积分，求解上式可以得到
对任意t，上面是一个对数正态分布，故有
则可以得到的概率密度函数
这样得到了每个时间点各个价格的概率。
交易策略
假设已知所有参数。
先对一般布朗运动做monte Carlo simulation，然后按定义模拟几何布朗运动：
from scipy.stats import norm
import pandas as pd
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def generate_gbm(mu, sigma, T, S0,dt):
N = round(T/dt)
t = np.linspace(0, T, N)
W = np.random.standard_normal(size = N)
W = np.cumsum(W)*np.sqrt(dt) ### standard brownian motion ###
X = (mu-0.5*sigma**2)*t + sigma*W
S = S0*np.exp(X) ### geometric brownian motion ###
return S
参数设置如下，模拟效果如图
T = 2
mu = 0.1
sigma = 0.01
S0 = 200
dt = 0.01
S = generate_gbm(mu,sigma,T,S0,dt)
plt.plot(S)
plt.show()
定义上面算出来的概率密度函数
def f(s,mu,sigma,t,S0):
return (2*math.pi)**(-0.5)*(s*sigma*t**0.5)**(-1)*math.e**(-(math.log(s)-math.log(S0)-(mu-0.5*sigma**2)*t)**2/(2*sigma**2*t))
针对每个点，无论是卖单还是买单，期望的收益为
可以得到这里以n=2为例
def profit(s,s_mu,K,Q,n):
return abs(s-s_mu)*Q-K*Q**n
def best(s,s_mu,K,n=2):
Qbest=abs(s-s_mu)/(2*K)
pbest=profit(s,s_mu,K,Qbest,n=2)
if pbest>0:
return Qbest,pbest
else:
return 0,1
期望收益：
s_mu=s.mean()
K=0.001
m=[]
for s in np.arange(int(0.9*S0),int(1.1*S0),0.001*S0):
sum=0
for t in range(int(T/dt)):
sum+=best(s,s_mu,K,2)[0]*f(s,mu,sigma,t,S0)
m.append(sum)
m=np.array(m)
eprofit=m.mean()
该参数下期望收益eprofit=252.49622608022156
故对每个时间点的价格s，比较s与上面模拟的平均价格,如果价格高卖出，价格低买入，
然后算得profit与期望收益比较，高于期望收益就进行交易，单量Q=best(s,s_mu,K,n=2)
def trade(s):
if s<s_mu:
print ('buy')
else:
print ('sell')
if best(s,s_mu,K,n)[1]>eprofit:
print ('size=',best(s,s_mu,K,n)[0])
else:
print ('zero')
return
下面是几个测试结果：
