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----《数学与文化》摘录笔记二

大寨一中  高元节

数学反思呼唤着暴风雨

希腊哲学伟大创立者的观点：整个宇宙是一个互相联系着的整体面且处于永恒的生成和灭亡的流动过程中。（82页）

马克思、恩格斯的伟大功绩是：在唯物主义基础上改造了黑格尔哲学，建立了辩证唯物主义体系，并且把它贯彻到人类历史领域，建立了历史唯物主义。这是人类思想史上的伟大飞跃。（82页）

这一片小小的乌云中引来了一场疾风暴雨。（83页）

§ 1  绝对几何学与欧几里德几何

从现象上看，数学越开越难懂了，再也不像牛顿时代，那时牛顿的著作甚至可以成为贵妇人梳妆台上的摆饰。（84页）

我们都是十分习惯于平行公理的，因此时常自觉或不自觉地用到它。重新加以证明后，读者就会理解，想要突破欧几里德几何的桎梏是何等的困难，才能理解，希尔伯特重新建立欧几里德几何的公理系统是多么费力的事。（87页）

在数学里有一个“习惯”：如果发现有两个东西具有想通性就应该问一下它们有说明关系。我们知道面积是可加性的，那么面积和亏值有什么关系呢？这里首先遇到的问题是什么是绝对几何学中的面积？（90页）

没有平行公理是否还有面积理论，或者这将是一个什么样的理论，这是一个大问题。至于比例和相似理论，大家知道，它紧密地依赖于平行线理论。（93页）

§ 2  非欧几何的发现

当父亲得知儿子也在研究平行公理的证明时，写了一封深情的信，大可表达当时数学家的心情。心中一段如下：“您决不可再试图沿这条道路去研究平行线了。我熟悉这条路直至尽头。我曾走过这无尽的黑暗，它熄灭了我一生的光明于换了。我恳求您丢开关于平行线的科学吧。......我曾经想为了真理而牺牲自己。我曾经打算作一个殉道者以除去几何学中的毛病并将纯洁的几何学给予人类。我付出了极大的劳动；我的创造优于其他人，然而我一直没有完全满足。......当我看到没有一个人能达到黑暗的尽头时，我回头了。我满怀痛苦的回头了，为自己也为人类而怜惜。我承认我不能期望使您离开自己的航线。我似曾到过这些地去，似曾驶过这无底的四海的每一块礁石，可是每一次都折桅裂帆而归，我曾连想也不想就以我的生命和换了来冒险，我的毁灭和失败就是这样来的。”（100-101页）

1823年11月3日，他在给父亲的心中写道:“现在我的确定的计划就是，一旦当我完成并且整理好这些材料并且有了机会，就出版一本关于平行线的著作；现时我还不知道怎样走完，但我所走的道路给出了肯定更多证据，目的一定要达到，只要是可能达到的，我还没有完全得到它，但是我已经发现了这样奇异的东西，使我吃惊。如果再失去它们，真是永恒的厄运。亲爱的父亲，当您看见它时，您会理解的。现在我只能说，我从一无所有之中创造了一个新宇宙。（101页）

父亲收到儿子的信以后，马上就劝儿子立刻发表它。父亲在心中说：”如果您确实成功地解决了这个问题，在我看来，有两方面的原因您最好快一点发表它。第一，新观念会很快地从一个人传到另一个人，而那个人会发表它；其次是因为，似乎确有这样的事，许多东西似乎都有一个时机，时机一到就在几个不同的地方被发现，好像春天的紫罗兰处处开放一样。”(101-102页)

伟大的学者的命运都有两重性。一方面他建立了丰功伟绩，把科学文化推向前进。另一方面，他太高大了。所以像牛顿所说的“站在巨人肩上”这也绝不是常人所敢企及的事。所以，他们又时常成为偶像，或如培根所说的“幻象”。亚里斯多德事如此，康德也是如此，牛顿合唱有不是如此呢？（106页）

§ 3  罗契夫斯基几何内容的简单介绍

直线为什么一定是“直”的？直线的“直”是什么意思？在介绍希尔伯特《几何基础》时，我们说过，直线是没有定义的。当然“直”也是没有定义的。那一个公理系统是“抽象理论”，而允许有不同的具体解释。例如在椭圆几何中可以把“直线”解释为球面上的大圆。下面我们会看到罗氏几何中的“直线”也允许解释为我们“肉眼所见为弯曲”的东西。（114页）

要在概念上突破什么决不只是叫几声解放思想就行了的事。少不了硬功夫。许多数学家都说数学是一门手艺，这是有道理的。读通俗数学书有一个极大的害处，即以为数学是不要下苦功夫，凭讲一下什么“基本思想”就可以学到手的。这是极大的误解。（190120页）

§ 4  数学----人类悟性的自由创造物？

恩格斯在《反社林论》一书中，对数学知识的来源说过一段话：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现。这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。但是，为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边；...只是在最后才得到悟性的自由创造物和想象物，即虚数。”（121页）

古代人能从五只羊、五条鱼、......等等抽象出“5”来，是一个了不起的成就。数学抽象的能力正是人类智力发展的重要方面之一，这也正是数学对人类文化的重大贡献。而这种能力是在长时期人类实践的历史中形成的，是人类的一大进步。（121页）

莱布尼兹说“虚数是圣灵的完美而奇妙的避难所，也差不多是介于存在和不存在之间的两栖类。”（122页）

要认识宇宙就得有工具，不但要有实验仪器，还要有推理。这本来是自古而然。（129页）

数学家的创造过程是多么艰难。他们并不是随心所欲地“自由创造”，康托说的“数学的本质是自由”，其实是思想在极端困顿之后不得不走这条路的“自由”。真正能在这条路上得到成果的只是少而又少的人。王国维在《人间词话》中有一段脍炙人口的名言，用在这里还是十分贴切的，因此全文抄录于此：“古今之成大事业、大学问者，比经过三种之境界：‘昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。’此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴’。此第二境也；‘众里寻他千百度，回头蓦见，那人正在灯火阑珊处‘。此第三境也。此等语皆非大词人不能道。然邃以此意解释诸词，恐为晏欧诸公所不许也。”（132页）

绝大部分论文都是不会结果的花。有些论文的作用在于磨炼一种方法，弄清某些细节；有些论文是传递火种的薪柴，火焰将在其他人的论文中升起。花开在这人的论文中，果结在他人的身上。这是没有办法的事，也是人类为了自己的进步不得不付出的代价。成千成万的人参加到数学研究的队伍中来，多数人的工作没有显著的成果，只有少数人得到了胜利。但是，没有这么多的人孜孜不倦地把自己的终生奉献出来而“不计得失”，就不能想象科学和文化的进步。科学的舞台犹如夏夜的星空，点点明星由无底的黑夜衬托。可是这无底的黑暗并不是空虚，而充满了宇宙尘埃、灭亡了的或正在生成的星体等等。没有他们哪有灿烂星空呢？没有这样的胸怀，怎能从事科学呢？所以，用科学以求个人名利实在事最“不”优的选择，远不如去“创收”。（133页）

§ 5  罗氏几何的相容性

“人类悟性的自由创造”并不是“自由编造”、“随意杜撰”。（134页）

他们相信自己的新几何学不会产生矛盾，其实是根源于他们对欧几里德几何无矛盾的信念。（134页）

罗氏几何是相容的、无矛盾的，故知平行公理的独立性。可以说，两千多年来关于平行公理的争论，其实就是争的独立性问题。（139页）

一个形式系统还有范畴性问题。什么是范畴性？如果一个形式系统的一切模型都是同构的，即如果它实质上只有一个模型，就说它有范畴性。罗氏几何是有范畴性的，罗氏几何的一切模型都是同构的。（139-141页）

§ 6  关于数学基础

不记得哪一位物理学家也这样描述过本世纪初物理学的情况：似乎一切基本问题都已解决了，清空如洗，只有远方天空中浮动着不引人注意的几片小小乌云。可是正是从这几片乌云中引来了大风暴，物理学的革命开始了。数学的情况也差不多，在一片乐观情绪中已经可以听见远方传来的雷声。（142页）

最后影响的学派有三：逻辑主义、直觉主义和形式主义。（143页）

克莱因在讲19世纪数学史中黎曼的贡献时有一段话：”无疑，对于任何一座数学的理论大厦，其命题的严格证明是它的基石。放弃这些证明，那就无异于说，数学的一切都由它自己说了算。可是，能搜索到新问题，并明确提出新的、意料不到的各种结果与联系，永远是天才们创作的秘诀。没有新观点和新目标的不断揭露，数学在追求严格的逻辑推理中，很快就会精疲力尽，并将由于缺乏新材料而开始停滞不前。所以，从某种意义上说，数学主要是由那些能力在于直觉方面而不是在逻辑的严密性上的人们所推进的。“（147页）

布劳威尔比较直觉主义与形式主义关于数学知识的确切可靠之根源何在时尖刻地说：“直觉主义者说：在人类的心智中；形式主义者说：在纸上。”（149-150页）

记得叔本华说过一段大意如下的话：人生的前三十年是在写一本教科书，后三十年是在修订这本书。前半生是创造的年代，后半生是反思的年代。现在硝烟已经散去，大家都在搞数学，各派的成果都成了数学----特别是数理逻辑----宝贵财富的一部分。（153页）

§ 7  数学的“失乐园”

----哥德尔定理意味着什么？

吸引我们去研究一个数学问题的主要吸引力是，在我们心中总听见一种呼唤：问题在这里，去求解吧！你只要肯想，就能找到答案，因为在数学中没有不可知物。（157页）

外尔说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为人们不可能证明相容性。（158页）

哥德尔第一定理表明，“真”和“可证明”不是一回事，“可证明”强于“真”。（162页）

何况除了形式的方法以外，还有非形式的方法；除了数学的方法以外，还有非数学的方法。我们总是可以一步步地向前进。这样，人类也应该满足了。（162页）

哥德尔定理乃至所谓“确定性的丧失”，本身是非常确定的数学方法得出的非常确定的伟大成果：数学“非常确定”地“确定了”自己的“确定性”之界限。（163页）