高等代数理论基础9：复系数与实系数多项式

复系数与实系数多项式

代数基本定理

定理：每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域中有一根

等价叙述：每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式

注：由定理可知复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的,即不可约多项式只有一次多项式

复系数多项式因式分解定理

定理：每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积

复系数多项式具有标准分解式

$f(x)=a_n(x-\alpha_1)^{l_1}(x-\alpha_2)^{l_2}\cdots(x-\alpha_s)^{l_s}$

其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是不同的复数, $l_1,l_2,\cdots,l_s\in Z_+$

标准分解式说明每个n次复系数多项式恰有n个复根(重根按重数计算)

实系数多项式因式分解定理

引理：若 $\alpha$ 是实系数多项式f(x)的复根,则 $\alpha$ 的共轭数 $\bar{\alpha}$ 也是f(x)的根

证明：

$设f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$

$其中a_0,a_1,\cdots,a_n\in R$

$由假设可知$

$f(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0=0$

$两边取共轭数可得$

$0=\overline{f(\alpha)}=a_n\overline{\alpha}^n+a_{n-1}\overline{\alpha}^{n-1}+\cdots+a_0=f(\overline{\alpha})$

$即f(\overline{\alpha})=0$

$\therefore \overline{\alpha}也是f(x)的根\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：每个次数 $\ge 1$ 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积

证明：

$定理对一次多项式显然成立$

$假设定理对次数\lt n的多项式成立$

$设f(x)是n次实系数多项式$

$由代数基本定理可知$

$f(x)又一复根\alpha$

$若\alpha\in R,则$

$f(x)=(x-\alpha)f_1(x)$

$其中f_1(x)是n-1次实系数多项式$

$若\alpha\notin R,则\overline{\alpha}也是f(x)的根$

$且\overline{\alpha}\neq\alpha$

$\therefore f(x)=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})f_2(x)$

$(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})=x^2-(\alpha+\overline{\alpha})x+\alpha\overline{\alpha}为实系数二次不可约多项式$

$\therefore f_2(x)是n-2次实系数多项式$

$由归纳假设$

$f_1(x)或f_2(x)可分解成一次与二次不可约多项式的乘积$

$\therefore f(x)也可以分解成一次因式与二次不可约因式的乘积\qquad \mathcal{Q.E.D}$

实系数多项式有标准分解式

$f(x)=a_n(x-c_1)^{l_1}\cdots(x-c_s)^{l_s}\cdot(x^2+p_1x+q_1)^{k_1}\cdots(x^2+p_rx+q_r)^{k_r}$

其中 $c_1,\cdots,c_s,p_1,\cdots,p_r,q_1\cdots,q_r\in R$ , $l_1,\cdots,l_s,k_1,\cdots,k_r\in Z_+$ ,且 $x^2+p_ix+q_i(i=1,2,\cdots,r)$ 不可约

即 $p_i^2-4q_i\lt 0,i=1,2,\cdots,r$

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