知乎上有一个问题，是这么问的：

这个问题乍一看上去，会有点不知所云的感觉。题主问道，答案是一个无限小的数，还是直接等于。后面又说，假设答案是，那么定义一个数，岂不是有，同乘就是了？

还有另一个经久不衰的问题，或者说命题，是这个样子的：

很多人依然觉得“差了这一点，为什么会相等”，对此无法理解。当然，也有不少看上去非常有道理的证明，比如。

以上问题，关键都在于如何理解“无限”。

初学微积分的时候，应该不少人都会被所谓的“语言”弄得一头雾水，也不知道为什么要用这么多的条件。比如定义数列极限，连续着有这么多个说法：

——存在……

——对于任意的……

——存在……

——使得当时……

——恒有……

——则称数列的极限为.

除了结果，条件拢共五句话，而且缺一不可，就算是硬背下来都要花不少时间。

在这个定义之后还有一个记法，是这么写的：

这里就是初学者遇到的第一个陷阱：至少咱学的书，在表述这个记法之前，还没有解释这里的无穷符号。在初等数学的思想下，初学者很可能就将无穷理解为“一个很大的数”了：就和本文开始时的那个问题描述一样。

然而，当学习到不定式的时候，这种理解就会出现问题了：如果是一个很大的数，那么这样的式子，为什么不直接等于1，而是由具体的式子决定呢？

从直觉上说，不管无穷是什么样的东西，它至少应该有这么一个性质：不管列出什么数，无穷都应该比这个数大。就算说1000...000，一共有10000个0，这么大的一个数，都比无穷要小。

这样的说法固然有些笼统。考虑到这个性质在于比较，我们不妨拿函数来构思一下无穷的具体定义。

大家都知道，的结果无定义。但是，我们可以看到，在接近这个值的时候，函数的值是不断上升的，而且往着几乎无穷大的地方前进。既然如此，如果说，有一个值，使得，那么，理当有，无论给定什么数，例如10000000，我们都能说，比这个数都更接近，也就是说，。

从初等数学到高等数学的飞跃就在这里：既然你都能给定一个，而且又不等于了，显然！那么，只要我令，不就有了吗？最开始定义的显然就名不副实了。

为什么说微积分将运动带进了数学里面？这就是因为，在你拿出一个可以比较的值之前，不会有一个确值！它就像一个会走的变量一样，无论你拿出什么样的大数，当你试图把它拿来与比较的时候，都会比这个数大那么一些。

所以，所谓的，不是说的值达到了一个非常大的状态，而是说处在了这种动态的趋近状态，而且是趋向于无穷大。

回头看看语言的内容，实际上，它就是在用严谨的术语表述类似的事情：

——在给出一个确定正值之前，都不会有一个确定的，让你定义去和计算差值。

——一旦你给出了（），那么才可以确定（）。

——而以此确定的，与计算差值，就是满足小于的（）。

一些具体的例子可能会更方便理解。有人说，不为的数相乘不会等于。在有限个数相乘的情况下，确是如此，所以乍一看，好像这个命题没错。

但是我们可以这么构造数列。自然，是多少，就代表着有多少个相乘。显然，无论多大，我们都能算出的确定数值。而当，也就是无限个相乘的时候，就意味着，不管给出一个多大的确值，都有。显然，若我们想知道是多少，就没法用相乘的形式获得答案。

不过，在语言的语境下，只要看看什么样的数满足，就能知道无限个相乘的结果了。答案当然就是。也就是说，在无限个数相乘的情况下，不为的数也能相乘得到这个结果。

这同时也解答了开头的第一个问题：答案当然就是。知乎上，有一个回答短平快地指出了题主接下来的错误所在：定义？不，你不能。这是因为，答主就犯了一个错误：将无限的数相乘看作确值。无限的东西总是处在动态的，此定义下的代表不是一个确值，而是趋近无穷的过程——所以也就不可能存在“同乘一个抵消分母”的操作了。

再看看后面：为什么？既然有无限的概念，我们再用初等数学的想法去思考这个题目就不太合适了。和刚才一样，我们可以构造。对于一个确定的，我们当然知道它和是存在差距的：，就差一点点。

但是，考虑的时候，就算我们诘问：“或许和差了一点点！”，并且拿出这个“一点点”，都会抱歉地说：对不起，我和的差距比你的“一点点”还要少！那么，不管我们怎么不愿相信，在语言下，就是等于。

本文只是浅显地讨论了一下，限于笔者的知识水平，可能存在错漏之处，还请各位读者斧正！