1周学FFT——第5天时间抽选奇偶分解基-2 FFT算法

时间抽选奇偶分解基-2 FFT算法名字很长，其内容包括三部分内容：

时间抽选（Decimation-in-time，DIT）是指在时域内将序列 $x(n)$ 进行分解；
奇偶分解是指按照n的取值将 $x(n)$ 分为奇偶两组，目的是将计算1个N点的DFT转化为计算2个 $\frac{N}{2}$ 点的DFT；
基-2（radix-2）是指 $N=2^M$ ，M为自然数，比如 $N=2^{10}=1024$ 。目的是可以一直进行奇偶分解直到将N点DFT分解为一堆2点DFT。

在不致混淆的时候，时间抽选奇偶分解基-2 FFT算法可简称为基-2 FFT算法。由于基-2可以最大限度的减少乘法运算次数，所以实际当中如果点数不满足基-2条件，可以人为在 $x(n)$ 中填补零点凑基-2。

以下为算法的推导过程：
序列 $x(n)$ 的DFT序列为：

$\begin{align*}X(k) = \text{DFT}[x(n)] = \sum_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{nk}} && k=0,1, ..., N-1\end{align*}$

若 $r \in [0, N/2-1]$ ，则n取偶数时可写作 $n=2r$ ，n取奇数时可写作 $n=2r+1$ ，，按照奇偶将上式分为两组：

$\begin{align} X(k) & =\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{nk}} \nonumber \\ & = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r)W_N^{2rk}} + \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r+1)W_N^{(2r+1)k}} \nonumber\\ & = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r)(W_N^2)^{rk}} + \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r+1)(W_N^2)^{rk}W_N^k} \tag{1} \end{align}$

根据周期性2， $W_N^2=W_{N/2}^1$ ，所以式（1）又可以写作：

$\begin{align*} X(k) & = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r)W_{N/2}^{rk}} + W_N^k\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r+1)W_{N/2}^{rk}} \tag{2} \end{align*}$

设

$X_1(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r)W_{N/2}^{rk}} \tag{3}$

$X_2(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}{x(2r+1)W_{N/2}^{rk}} \tag{4}$

则根据定义， $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$ 都是 $\frac{N}{2}$ 点DFT。于是，将式（3）、（4）带入式（2）可得：

$\begin{align*} X(k) & = X_1(k) + W_N^k X_2(k) & k=0,1,..,\frac{N}{2}-1\tag{5} \end{align*}$

式（5）表示 $X(k)$ 可分解为两个折半点数的DFT $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$ 的和。由于 $0 \le k \le \frac{N}{2} - 1$ ，因此上式只能表示 $N/2$ 点的 $X(k)$ 。对于 $X(k)$ 的另一半，可以利用DFT隐含的周期性得到。因为 $X_1(k)$ 、 $X_2(k)$ 是周期为 $\frac{N}{2}$ 的周期序列，所以：

$X_1(\frac{N}{2}+k) = X_1(k)$

$X_2(\frac{N}{2}+k) = X_2(k)$

而

$W_N^{k+\frac{N}{2}} = - W_N^k$

所以将 $k=\frac{N}{2}+k$ 代入式（5）得：

$\begin{align*} X(k+\frac{N}{2}) & = X_1(k+\frac{N}{2}) + W_N^{k+\frac{N}{2}} X_2(k+\frac{N}{2}) \\ & = X_1(k) - W_N^k X_2(k) & k=0,1,..,\frac{N}{2}-1 \tag{6} \end{align*}$

将式（5）、（6）合并可得 $X(k)$ 的完整表达式：

$\begin{align*} X(k) & = X_1(k) + W_N^k X_2(k) \\ X(k+\frac{N}{2}) & = X_1(k) - W_N^k X_2(k) & 0 \le k \le \frac{N}{2} - 1 \tag{7}\\ \end{align*}$

式（3）、（4）、（7）就是基-2FFT算法的核心。

例子：

利用基-2 FFT算法求序列x(n)的N=4的DFT。

根据式（3）、（4），可得 $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$ 为：

$\begin{equation*}\begin{cases} X_1(0) & = x(0)W_2^0 + x(2)W_2^0 = x(0) + x(2)W_4^0 \\ X_1(1) & = x(0)W_2^0 + x(2)W_2^1 = x(0) + x(2)W_4^2 = x(0) - x(2)W_4^0 \\ \end{cases}\\ \begin{cases} X_2(0) & = x(1)W_2^0 + x(3)W_2^0 = x(1) + x(3) W_4^0\\ X_2(1) & = x(1)W_2^0 + x(3)W_2^1 = x(1) + x(3) W_4^2 = x(1) - x(3) W_4^0\\ \end{cases}\end{equation*}$

然后根据式（7），得到 $X(k)$ 为：

$\begin{equation*}\begin{cases} X(0) & = X_1(0) + W_4^0 X_2(0) \\ X(1) & = X_1(1) + W_4^1 X_2(1) \\ X(2) & = X_1(0) - W_4^0 X_2(0) \\ X(3) & = X_1(1) - W_4^1 X_2(1) \\ \end{cases}\end{equation*}$

而直接求解DFT的结果如下式：

$\begin{cases} X(0) & = x(0)W_4^{0} + x(1)W_4^{0} + x(2)W_4^{0} + x(3)W_4^{0} \\ X(1) & = x(0)W_4^{0} + x(1)W_4^{1} + x(2)W_4^{2} + x(3)W_4^{3} \\ X(2) & = x(0)W_4^{0} + x(1)W_4^{2} + x(2)W_4^{4} + x(3)W_4^{6} \\ X(3) & = x(0)W_4^{0} + x(1)W_4^{3} + x(2)W_4^{6} + x(3)W_4^{9} \\ \end{cases}$

展开对比两个结果可知，基-2 FFT算法所得结果与直接展开的结果是一致的。

另外，通过观察可以发现，计算 $X_1(k)$ 各点、 $X_2(k)$ 各点和 $X(k)$ 各点的结构是完全一致的，这种结构被称为蝶形运算（butterfly operation）。

比如计算 $X_1(0)$ 和 $X_1(1)$ 的算式可以绘制为如下所示的蝶形运算：

计算$X_1(0)$和$X_1(1)$的蝶形运算示意图

再如计算 $X(0)$ 和 $X(2)$ 的算式可以绘制为如下所示的蝶形运算：

计算$X(0)$和$X(2)$的蝶形运算示意图

将N=4的基-2FFT算法全部的蝶形运算画在一起如下图所示：

N=4时蝶形运算全貌

一次标准的蝶形运算包含1次复数乘法和2次复数加法（或1次复数乘加和1次复数加法）。如上图所示，N=4的DFT需要4次蝶形运算，共计4次复数乘法，远少于传统DFT的16次复数乘法。更进一步，经过更一般的推导可知，基-2 FFT算法的时间复杂度为 $O(N\text{log}_2{N})$ ，当N=1024时，基-2 FFT算法比传统算法快64倍。

习题

根据基-2 FFT算法求序列x(n)的8点DFT，并画出蝶形流程图；
设计matlab程序，实现基-2 FFT算法。

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