4.Extension: Zero Tax on Human Capital

Jones, Manuelli和Rossi (1997)发现资本所得税率渐近为零的最优化结论，可以通过带有人力资本 $h_t$ 的模型，推广到劳动所得税率，只要积累人力资本和提高生产效率的技术，关于投入的人力资本和商品为常数规模报酬

设人力资本技术模型为： $h_{t+1}=(1-\delta_h)h_t+H(x_{ht},h_t,n_{ht})\quad(30)$

其中 $\delta_h\in(0,1)$ 为人力资本折旧率， $H$ 描述了人力资本如何由投入的商品 $x_{ht}$ 、人力资本 $h_t$ 和劳动 $n_{ht}$ 产生增长

设生产效率技术模型为： $e_t=M(x_{mt},h_t,n_{mt})\quad(31)$

其中 $M$ 描述了生产效率如何由投入的商品 $x_{mt}$ 、人力资本 $h_t$ 和劳动 $n_{mt}$ 产生增长

假定 $H,M$ 关于投入的商品 $x_{jt},j=h,m$ 和人力资本 $h_t$ 为齐次的，即：

$\begin{align*} H_xx_{ht}+H_hh_t&=H&(32)\\ M_xx_{mt}+M_hh_t&=M=e_t&(33) \end{align*}$

且 $H,M$ 关于所有要素单调递增，即

$H_x>0,H_h>0,H_n>0,M_x>0,M_h>0,M_n>0$

此时生产函数变为 $F(k_t,e_t)$ ，且有 $r_t=F_r(k_t,e_t),w_t=F_e(k_t,e_t)$

代表性家庭的预算约束为：

$\begin{align*} &(1+\tau_t^c)c_t+(1+\tau_t^m)x_{mt}+x_{ht}+k_{t+1}+\frac{b_{t+1}}{R_t} \\=&(1-\tau_t^n)w_te_t+(1-\tau_t^k)r_tk_t+(1-\delta)k_t+b_t \end{align*}$

其中 $\tau_t^c,\tau_t^m$ 为政府应付边际变化的手段

迭代，得：

$\begin{align*} \sum_{t=0}^\infty q_t^0(1+\tau_t^c)c_t=&\sum_{t=0}^\infty q_t^0[(1-\tau_t^n)w_te_t-(1+\tau_t^m)x_{mt}-x_{ht}]\\ &+[(1-\tau_0^k)r_0+1-\delta]k_0+b_0 \end{align*}\quad(34)$

家庭应在约束 $(30)(31)(34)$ 下，最大化主观效用函数：

$\max_{\{c_t,n_{ht},n_{mt},x_{ht},x_{mt},h_{t+1}\}}\sum_{t=0}^\infty\beta^tu(c_t,1-n_{ht}-n_{mt})\quad(35)$

构造拉格朗日函数：

$\begin{align*} L= &\sum_{t=0}^\infty\beta^t \begin{Bmatrix} u(c_t,1-n_{ht}-n_{mt})\\ \alpha_t[(1-\delta_h)h_t+H-h_{t+1}] \end{Bmatrix}+ \\ &\lambda \begin{Bmatrix} \sum q_t^0[(1-\tau_t^n)w_tM-(1+\tau_t^m)x_{mt}-x_{ht}-(1+\tau_t^c)c_t]\\ +[(1-\tau_0^k)r_0+1-\delta]k_0+b_0 \end{Bmatrix} \end{align*}$

一阶条件为：

$\begin{align*} c_t&:\beta^tu_c(t)-\lambda q_t^0(1+\tau_t^c)=0&(36)\\ n_{mt}&:-\beta^tu_l(t)+\lambda q_t^0(1-\tau_t^n)w_tM_n(t)=0&(37)\\ n_{ht}&:-u_l(t)+\alpha_t H_n(t)=0&(38)\\ x_{mt}&:(1-\tau_t^n)w_tM_x(t)=(1+\tau_t^m)&(39)\\ x_{ht}&:\beta^t\alpha_tH_x(t)=\lambda q_t^0&(40)\\ h_{t+1}&:\beta^t\alpha_t=\beta^{t+1}\alpha_{t+1}[1-\delta_h+H_h(t+1)]\\ &+\lambda q_{t+1}^0(1-\tau_{t+1}^n)w_{t+1}M_h(t+1)&(41) \end{align*}$

联立 $(40)(41)$ ，得：

$\frac{q_t^0}{H_x(t)}=q_{t+1}^0[\frac{1-\delta_h+H_h(t+1)}{H_x(t+1)}+(1-\tau_{t+1}^n)w_{t+1}M_h(t+1)]\quad(42)$

将 $(32)$ 代入 $(30)$ ，得：

$x_{ht}=\frac{h_{t+1}-(1-\delta_h)h_t-H_h(t)h_t}{H_x(t)}\quad(43)$

将 $(33)(39)(42)(43)$ 代入 $(34)$ 右式第一项，得：

$\begin{align*} &\sum_{t=0}^\infty q_t^0[(1-\tau_t^n)w_te_t-(1+\tau_t^m)x_{mt}-x_{ht}]\\ =&\sum_{t=0}^\infty q_t^0 \begin{bmatrix} (1-\tau_t^n)w_tM_x(t)x_{mt}+(1-\tau_t^n)w_tM_h(t)h_t\\ -(1-\tau_t^n)w_tM_x(t)x_{mt}-\frac{h_{t+1}-(1-\delta_h)h_t-H_h(t)h_t}{H_x(t)} \end{bmatrix}\\ =&\sum_{t=0}^\infty q_t^0[(1-\tau_t^n)w_tM_h(t)h_t-\frac{h_{t+1}-(1-\delta_h)h_t-H_h(t)h_t}{H_x(t)}]\\ =&\sum_{t=0}^\infty q_t^0[(1-\tau_t^n)w_tM_h(t)+\frac{(1-\delta_h)+H_h(t)}{H_x(t)}]h_t-\sum_{t=0}^\infty \frac{q_t^0}{H_x(t)}h_{t+1}\\ =&[(1-\tau_0^n)w_0M_h(0)+\frac{(1-\delta_h)+H_h(0)}{H_x(0)}]h_0 \end{align*}$

代入 $(34)$ ，得：

$\begin{align*} \sum_{t=0}^\infty q_t^0(1+\tau_t^c)c_t=&[(1-\tau_0^n)w_0M_h(0)+\frac{(1-\delta_h)+H_h(0)}{H_x(0)}]h_0\\ &+[(1-\tau_0^k)r_0+1-\delta]k_0+b_0 \end{align*}\quad(44)$

由 $(36)$ ，得：

$q_t^0=\frac{\beta^tu_c(t)(1+\tau_0^c)}{u_c(0)(1+\tau_t^c)}\quad(45)$

联立 $(36)(37)$ 及 $w_t=F_e(k_t,e_t)$ ，得：

$(1+\tau_t^c)\frac{u_l(t)}{u_c(t)}=(1-\tau_t^n)F_e(t)M_n(t)\quad(46)$

联立 $(36)(38)(40)$ ，得：

$(1+\tau_t^c)\frac{u_l(t)}{u_c(t)}=\frac{H_n(t)}{H_x(t)}\quad(47)$

联立 $(39)$ 及 $w_t=F_e(k_t,e_t)$ ，得：

$(1+\tau_t^m)=(1-\tau_t^n)F_e(t)M_x(t)\quad(48)$

对于给定的分配方式， $(47)$ 定义 $\tau_t^c$ ， $(45)$ 定义 $q_t^0$ ， $(46)$ 定义 $\tau_t^n$ ， $(48)$ 定义 $\tau_t^m$

将 $(45)$ 代入 $(44)$ ，得互补性条件： $\sum_{t=0}^\infty\beta^tu_c(t)c_t=\tilde{A}\quad(49)$

其中 $\begin{align*} \tilde{A}&=\frac{u_c(0)}{1+\tau_0^c} \begin{Bmatrix} [(1-\tau_0^n)w_0M_h(0)+\frac{(1-\delta_h)+H_h(0)}{H_x(0)}]h_0\\ +[(1-\tau_0^k)r_0+1-\delta]k_0+b_0 \end{Bmatrix}\\ &=\tilde{A}(c_0,n_{h0},n_{m0},x_{h0},x_{m0},k_0,h_0,b_0) \end{align*}$

主方法的最大化问题为，最大化 $(35)$ ，在约束 $(30)(49)$ 及资源约束：

$c_t+k_{t+1}-(1-\delta)k_t+x_{ht}+x_{mt}+g_t=F(k_t,M(x_{mt},h_t,n_{mt}))$

构造拉格朗日函数：

$L=\sum_{t=0}^\infty\beta^t \begin{Bmatrix} V(c_t,n_{mt},n_{ht},\phi)+\\ \theta_t\begin{bmatrix} F(k_t,M(x_{mt},h_t,n_{mt}))-c_t\\ -k_{t+1}+(1-\delta)k_t-x_{ht}-x_{mt}-g_t \end{bmatrix}\\ +v_t[H(x_{ht},h_t,n_{ht})-h_{t+1}+(1-\delta_h)h_t] \end{Bmatrix} -\phi\tilde{A}$

其中 $V(c_t,n_{mt},n_{ht},\phi)=u(c_t,1-n_{ht}-n_{mt})+\phi u_c(c_t,1-n_{ht}-n_{mt})c_t$

一阶条件为：

$\begin{align*} c_t&:V_c(c_t,n_{mt},n_{ht},\phi)=\theta_t\\ n_{mt}&:V_{n_m}(c_t,n_{mt},n_{ht},\phi)=-\theta_tF_e(k_t,e_t)M_{n_m}(x_{mt},h_t,n_{mt})\\ n_{ht}&:V_{n_h}(c_t,n_{mt},n_{ht},\phi)=-v_tH_{n_h}(x_{ht},h_t,n_{mt})\\ x_{mt}&:F_e(k_t,e_t)M_{x_m}(x_{mt},h_t,n_{mt})=1\\ x_{ht}&:\theta_t=v_tH_x(x_{ht},h_t,n_{ht})\\ k_{t+1}&:\theta_t=\beta\theta_{t+1}[F_k(k_{t+1},e_{t+1})+1-\delta]\\ h_{t+1}&:v_t=\beta \begin{Bmatrix} \theta_{t+1}F_e(k_{t+1},e_{t+1})M_h(x_{mt+1},h_{t+1},n_{mt+1})\\ +v_{t+1}[H_h(x_{ht+1},h_{t+1},n_{ht+1})+1-\delta_h] \end{Bmatrix} \end{align*}$

一阶条件的平衡状态为：

$\begin{align*} V_c&=\theta&(50)\\ V_{n_m}+\theta F_eM_n&=0&(51)\\ V_{n_h}+vH_{n}&=0&(52)\\ F_eM_{x}&=1&(53)\\ \theta&=vH_{x}&(54)\\ \beta(F_k+1-\delta)&=1&(55)\\ \beta(1-\delta_h+H_h+\frac{\theta}{v}F_eM_h)&=1&(56) \end{align*}$