数算---图以及图的存储与遍历

前言

接下来我们将学习图这种数据结构的相关知识，从基础概念入手，到实际应用，一步步探索图的世界。

基础概念

图[Graph]是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成。通常表示为：G[V,E]，其中G表示一个图，V是图G中的顶点集合，E是图G中边的集合。如下图所示：


图

从边有无方向的特点来区分，图分为有向图和无向图，如下图：


有向&无向

在这基础之上，从顶点间关系来区分，两两顶点间是否连接的特点区分，图又可分为无向完全图和有向完全图：
完全图

从所有顶点间是否可用一条连通的线连接起来的特点区分，图又可分为连通图和非连通图：


连通图&非连通图

认识了这么多中图，我们不难看出图是描述于一组对象的结构，其中某些对象对在某种意义上是“相关的”。即点与点之间的关系是通过边的描述的。

图的存储

下面我们将从邻接矩阵和邻接表这两种不同的存储方式来探索图的存储。图的存储在往年的大厂面试中出现过，所以还是需要掌握的。

面试题

上面是来自快手的一道面试题，我们将分别使用图的数据结构来实现题中数据的存储。我们先来了解下邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵
如下图有V0、V1、V2、V3四个顶点，那么我们就可以利用一个4X4矩阵来表示顶点间的关系：

无向图邻接矩阵

如上图所示，右边4X4矩阵中，对角线表示顶点自己到自己的关系，默认置0，两个顶点间是有关系即连接状态，所以对应矩阵的相应位置为1，以图中矩阵左边顶点为起点，上方顶点为终点，如第一行，V0V1、V0V2、V0V3（对称点V1V0、V2V0、V3V0）都是连接的，所以都置为1。V2V3（对称点V3V2）没有连接，所以置为0。
上方为无向图对应的邻接矩阵，有向图的邻接矩阵不同点就是非对称矩阵：
有向图邻接矩阵

所以有方向的顶点之间的边置为1，其余都是0。
顶点的度：如上两个矩阵中，每一行中的1的个数就是当前顶点的度。

题目分析：题中的边是方向及带权值的，所以矩阵中的数据就需要将相应的权值替换矩阵中的1，对角线0不变，其余位置为最大值∞。那么题中最终的邻接矩阵如下图：


代码实现

#define MAXVEX 100 /* 最大顶点数，应由用户定义 */
#define INFINITYC 0

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义  */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct
{
    VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵，可看作边表 */
    int numNodes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数  */
}MGraph;

void CreateMGraph(MGraph *G){
    
    int i,j,k,w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    //1. 输入顶点数/边数
    scanf("%d,%d",&G->numNodes,&G->numEdges);
    printf("顶点数:%d,边数:%d\n",G->numNodes,G->numEdges);
    
    //2.输入顶点信息/顶点表
    for(i = 0; i<= G->numNodes;i++)
        scanf("%c",&G->vexs[i]);
    
    //3.初始化邻接矩阵
    for(i = 0; i < G->numNodes;i++)
         for(j = 0; j < G->numNodes;j++)
             G->arc[i][j] = INFINITYC;
    
    //4.输入边表信息
    for(k = 0; k < G->numEdges;k++){
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j,权w\n");
        scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
        
        G->arc[i][j] = w;
        //如果无向图,矩阵对称;
        G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
        
    }
    /*5.打印邻接矩阵*/
    for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
        printf("\n");
        for (int j = 0; j < G->numNodes; j++) {
            printf("%d ",G->arc[i][j]);
        }
    }
    printf("\n");
}

int main(void)
{
    printf("邻接矩阵实现图的存储\n");
    /*图的存储-邻接矩阵*/
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    return 0;
}

邻接表
同样的，有V0、V1、V2、V3四个顶点，之间的边是无向的，那么分别以每个顶点为起点，与之有关联的顶点利用链表指向来表示之间的关系。

无向图邻接表

如果是有向的，也是只把有指向的边用链表指向的方式表示出来：
有向图邻接表

那么像上面面试题中有向边是带权值的，所以链表结点的结构就需要添加上权值域，如下图：


代码实现

#define M 100
#define true 1
#define false 0

typedef char Element;
typedef int BOOL;
//邻接表的节点
typedef struct Node{
    int adj_vex_index;  //弧头的下标，也就是被指向的下标
    Element data;       //权重值
    struct Node * next; //边指针
}EdgeNode;

//顶点节点表
typedef struct vNode{
    Element data;          //顶点的权值
    EdgeNode * firstedge;  //顶点下一个是谁？
}VertexNode, Adjlist[M];

//总图的一些信息
typedef struct Graph{
    Adjlist adjlist;       //顶点表
    int arc_num;           //边的个数
    int node_num;          //节点个数
    BOOL is_directed;      //是不是有向图
}Graph, *GraphLink;

void creatGraph(GraphLink *g){
    int i,j,k;
    EdgeNode *p;
    
    //1. 顶点,边,是否有向
    printf("输入顶点数目,边数和有向？：\n");
    scanf("%d %d %d", &(*g)->node_num, &(*g)->arc_num, &(*g)->is_directed);
    //4 5 0
    
    //2.顶点表
     printf("输入顶点信息：\n");
    for (i = 0; i < (*g)->node_num; i++) {
        getchar();
        scanf("%c", &(*g)->adjlist[i].data);
        (*g)->adjlist[i].firstedge = NULL;
    }
    //0 1 2 3
    
    //3.
    printf("输入边信息：\n");
    //0 1 0 2 0 3 2 1 2 3
    //arc_num 边的个数 5
    for (k = 0; k < (*g)->arc_num; k++){
        getchar();
        scanf("%d %d", &i, &j);
        
        //①新建一个节点
        p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        //②弧头的下标
        p->adj_vex_index = j;
        //③头插法插进去，插的时候要找到弧尾，那就是顶点数组的下标i
        p->next = (*g)->adjlist[i].firstedge;
        //④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
        (*g)->adjlist[i].firstedge = p;
        
        //j->i
        if(!(*g)->is_directed)
        {
            // j -----> i
            //①新建一个节点
            p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
            //②弧头的下标i
            p->adj_vex_index = i;
            //③头插法插进去，插的时候要找到弧尾，那就是顶点数组的下标i
            p->next = (*g)->adjlist[j].firstedge;
            //④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
            (*g)->adjlist[j].firstedge = p;
        }
    }
}

void putGraph(GraphLink g){
    int i;
    printf("邻接表中存储信息:\n");
    //遍历一遍顶点坐标，每个再进去走一次
    for (i = 0; i < g->node_num; i++) {
        EdgeNode * p = g->adjlist[i].firstedge;
        while (p) {
            printf("%c->%c ", g->adjlist[i].data, g->adjlist[p->adj_vex_index].data);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("邻接表实现图的存储\n");
    /*
     邻接表实现图的存储
     输入顶点数目,边数和有向？：
     4 5 0
     输入顶点信息：
     0 1 2 3
     输入边信息：
     0 1 0 2 0 3 2 1 2 3
     邻接表中存储信息:
     0->3 0->2 0->1
     1->2 1->0
     2->3 2->1 2->0
     3->2 3->0
    */
    /*
     邻接表实现图的存储
     输入顶点数目,边数和有向？：
     4 5 1
     输入顶点信息：
     0 1 2 3
     输入边信息：
     1 0 1 2 2 1 2 0 0 3
     邻接表中存储信息:
     0->3
     1->2 1->0
     2->0 2->1
     */
    GraphLink g = (Graph *)malloc(sizeof(Graph));
    creatGraph(&g);
    putGraph(g);
    return 0;
}

图的遍历

一、深度优先遍历

邻接矩阵实现

  1. 将图的顶点和边信息输入到图结构中。
  2. 创建一个visited数组，用来标识顶点是否已经被遍历过。
  3. 初始化visited数组，将数组中元素置为FALSE。
  4. 选择顶点开始遍历，[注意非连通图的情况]。
  5. 进入递归，打印 i 对应的顶点信息，并将该顶点标识为已遍历。
  6. 循环遍历表，判断arc[i][j]是否是1，并且当前顶点没有被遍历过，则继续遍历DFS。
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */

typedef struct
{
    VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵，可看作边表 */
    int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;

/*4.1 构建一个邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    //1. 确定图的顶点数以及边数
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    /*2.读入顶点信息，建立顶点表 */
    G->vexs[0]='A';
    G->vexs[1]='B';
    G->vexs[2]='C';
    G->vexs[3]='D';
    G->vexs[4]='E';
    G->vexs[5]='F';
    G->vexs[6]='G';
    G->vexs[7]='H';
    G->vexs[8]='I';
    
    /*3. 初始化图中的边表*/
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[i][j]=0;
        }
    }
    
    /*4.将图中的连接信息输入到边表中*/
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][5]=1;
    
    G->arc[1][2]=1;
    G->arc[1][8]=1;
    G->arc[1][6]=1;
    
    G->arc[2][3]=1;
    G->arc[2][8]=1;
    
    G->arc[3][4]=1;
    G->arc[3][7]=1;
    G->arc[3][6]=1;
    G->arc[3][8]=1;
    
    G->arc[4][5]=1;
    G->arc[4][7]=1;
    
    G->arc[5][6]=1;
    
    G->arc[6][7]=1;
    
    /*5.无向图是对称矩阵.构成对称*/
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
}

/*4.2 DFS遍历*/
Boolean visited[MAXVEX]; /* 访问标志的数组 */
//1. 标识顶点是否被标记过;
//2. 选择从某一个顶点开始(注意:非连通图的情况)
//3. 进入递归,打印i点信息,标识; 边表
//4. [i][j] 是否等于1,没有变遍历过visted
void DFS(MGraph G,int i){
    //1.
    visited[i] = TRUE;
    printf("%c",G.vexs[i]);
    
    //2.0~numVertexes
    for(int j = 0; j < G.numVertexes;j++){
        if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
            DFS(G, j);
    }
}

void DFSTravese(MGraph G){
    //1.初始化
    for(int i=0;i<G.numVertexes;i++){
        visited[i] = FALSE;
    }
    
    //2.某一个顶点
    for(int i = 0;i<G.numVertexes;i++){
        if(!visited[i]){
            DFS(G, i);
        }
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("邻接矩阵的深度优先遍历!\n");
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    DFSTravese(G);
    printf("\n");
    return 0;
}[图片上传中...(截屏2023-05-22 14.27.29.png-64a558-1684736943236-0)]

邻接表实现
实现思路与上面邻接矩阵的思路是一样的，遍历顶点i的链表指向链中，首个未被遍历过的顶点j，接着将顶点j置为已遍历，继续遍历顶点j相关的链信息。

#define MAXSIZE 9 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAXEDGE 15
#define MAXVEX 9
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */

typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */

/* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
    VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵,可看作边表 */
    int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;

/* 邻接表结构****************** */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点 */
{
    int adjvex;    /* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
    int weight;        /* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
    struct EdgeNode *next; /* 链域,指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
    int in;    /* 顶点入度 */
    char data; /* 顶点域,存储顶点信息 */
    EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
    AdjList adjList;
    int numVertexes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}graphAdjList,*GraphAdjList;

/*4.1 构建一个邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    //1. 确定图的顶点数以及边数
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    /*2.读入顶点信息，建立顶点表 */
    G->vexs[0]='A';
    G->vexs[1]='B';
    G->vexs[2]='C';
    G->vexs[3]='D';
    G->vexs[4]='E';
    G->vexs[5]='F';
    G->vexs[6]='G';
    G->vexs[7]='H';
    G->vexs[8]='I';
    
    /*3. 初始化图中的边表*/
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[i][j]=0;
        }
    }
    
    /*4.将图中的连接信息输入到边表中*/
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][5]=1;
    
    G->arc[1][2]=1;
    G->arc[1][8]=1;
    G->arc[1][6]=1;
    
    G->arc[2][3]=1;
    G->arc[2][8]=1;
    
    G->arc[3][4]=1;
    G->arc[3][7]=1;
    G->arc[3][6]=1;
    G->arc[3][8]=1;
    
    G->arc[4][5]=1;
    G->arc[4][7]=1;
    
    G->arc[5][6]=1;
    
    G->arc[6][7]=1;
    
    /*5.无向图是对称矩阵.构成对称*/
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
}

/*4.2 利用邻接矩阵构建邻接表*/
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *GL){
    
    //1.创建邻接表,并且设计邻接表的顶点数以及弧数
    *GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
    (*GL)->numVertexes = G.numVertexes;
    (*GL)->numEdges = G.numEdges;
    
    //2. 从邻接矩阵中将顶点信息输入
    for (int i = 0; i < G.numVertexes; i++) {
        //顶点入度为0
        (*GL)->adjList[i].in = 0;
        //顶点信息
        (*GL)->adjList[i].data = G.vexs[i];
        //顶点边表置空
        (*GL)->adjList[i].firstedge = NULL;
    }
    
    //3. 建立边表
    EdgeNode *e;
    for (int i = 0; i < G.numVertexes; i++) {
        for (int j = 0; j < G.numVertexes; j++) {
            if (G.arc[i][j] == 1) {
             
                //创建边表中的邻近结点 i->j
                e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
                //邻接序号为j
                e->adjvex = j;
                //将当前结点的指向adjList[i]的顶点边表上
                e->next = (*GL)->adjList[i].firstedge;
                (*GL)->adjList[i].firstedge = e;
                //顶点j 上的入度++;
                (*GL)->adjList[j].in++;
            }
        }
    }
}


Boolean visited[MAXSIZE]; /* 访问标志的数组 */
/* 邻接表的深度优先递归算法 */
void DFS(GraphAdjList GL, int i)
{
    EdgeNode *p;
    visited[i] = TRUE;
    
    //2.打印顶点 A
    printf("%c ",GL->adjList[i].data);
    
    p = GL->adjList[i].firstedge;
    
    //3.
    while (p) {
        if(!visited[p->adjvex])
            DFS(GL,p->adjvex);
        
        p = p->next;
    }
    
}

/* 邻接表的深度遍历操作 */
void DFSTraverse(GraphAdjList GL)
{
    //1. 将访问记录数组默认置为FALSE
    for (int i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
        /*初始化所有顶点状态都是未访问过的状态*/
        visited[i] = FALSE;
    }

    //2. 选择一个顶点开始DFS遍历. 例如A
    for(int i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
        //对未访问过的顶点调用DFS, 若是连通图则只会执行一次.
        if(!visited[i])
            DFS(GL, i);
}


int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("邻接表的深度优先遍历!\n");
    MGraph G;
    GraphAdjList GL;
    CreateMGraph(&G);
    CreateALGraph(G,&GL);
  
    
    DFSTraverse(GL);
    printf("\n");
    return 0;
}
二、广度优先遍历

可把原图形结构看作分等级的树形结构，类似如下：


特点：

  1. 把根结点放到队列末尾。
  2. 每次从队列的头部取出一个元素，查看这个元素所有的下一级元素，把它们放到队列的末尾，并把这个元素记为下一级元素的前驱。
  3. 找到所要找的元素时结束程序。
  4. 如果遍历整个树还没有找到，结束程序。

思路：从根结点入手，入队列根结点，然后出队列根结点，此时入队列与根结点A相连的顶点B、F，然后出队列B，将与B顶点相连的未遍历过的顶点入队列，依次进行下去。

广度演示过程

代码实现
邻接矩阵方式重要代码：

Boolean visited[MAXVEX]; /* 访问标志的数组 */
void BFSTraverse(MGraph G){
    
    //int temp = 0;
    
    //1.
    Queue Q;
    InitQueue(&Q);
    
    //2.将访问标志数组全部置为"未访问状态FALSE"
    for (int i = 0 ; i < G.numVertexes; i++) {
        visited[i] = FALSE;
    }
    
    //3.对遍历邻接表中的每一个顶点(对于连通图只会执行1次,这个循环是针对非连通图)
    for (int i = 0 ; i < G.numVertexes; i++) {
        
        if(!visited[i]){
            visited[i] = TRUE;
            printf("%c  ",G.vexs[i]);
            
            //4. 入队
            EnQueue(&Q, i);
            while (!QueueEmpty(Q)) {
                //出队
                DeQueue(&Q, &i);
                for (int j = 0; j < G.numVertexes; j++) {
                    if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
                    {    visited[j] = TRUE;
                        printf("%c   ",G.vexs[j]);
                        EnQueue(&Q, j);
                    }
                }
            }
        }   
    }
}

邻接表方式重要代码：

Boolean visited[MAXSIZE]; /* 访问标志的数组 */
void BFSTraverse(GraphAdjList GL){
    
    //1.创建结点
    EdgeNode *p;
    
    Queue Q;
    InitQueue(&Q);
    

    //2.将访问标志数组全部置为"未访问状态FALSE"
    for(int i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
        visited[i] = FALSE;
    
    //3.对遍历邻接表中的每一个顶点(对于连通图只会执行1次,这个循环是针对非连通图)
    for(int i = 0 ;i < GL->numVertexes;i++){
        //4.判断当前结点是否被访问过.
        if(!visited[i]){
            visited[i] = TRUE;
            //打印顶点
            printf("%c ",GL->adjList[i].data);
            
            EnQueue(&Q, i);
            while (!QueueEmpty(Q)) {
                DeQueue(&Q, &i);
                p = GL->adjList[i].firstedge;
                while (p) {
                    //判断
                    if(!visited[p->adjvex]){
                        visited[p->adjvex] = TRUE;
                         printf("%c ",GL->adjList[p->adjvex].data);
                        EnQueue(&Q, p->adjvex);
                    }
                    p = p->next;
                }
            }
            
        }
    }
}
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