计算机科学关注的是计算而不是计算机。--by Richard Hamming

二进制

二进制补码是在《计算机科学概论》中讲授的基本概念，本注记试图讲述：什么是补码，为什么需要补码，补码的运算规则，而最重要的是试图说明，补码规则为什么是如此定义的。从而引申出一个也许不大准确的结论：计算机科学理论是源于实践又反作用与实践的理论，至少从理论上看是如此。

为什么需要补码

定义补码是为了满足计算机表示负整数（也称带符号整数）的需要。基本常识告诉我们，计算机用二进制来表示数字，即只用0/1两个数字表示数字，如果要表示负数应该怎么办呢？

补码的规则

补码的规则是非常简单的，要表示某正数的负数，只需要对该二进制数取反然后加1 。比如：

0011表示十进制的正整数3，那么-3的补码表示就是：
1. 0011 取反得 1100
2. 1100 + 1 = 1101 。

为方便起见，所有例子如无特殊说明都使用4比特二进制数来表示。

基本上，大部分的同学学到这里也就停止了，规则定下来，我们遵守就是了。只有少数同学或者老师会继续提问，为什么补码的定义是取反加1（而不是其他规则），为什么要这样定义，这样定义的依据是什么？以下我试图解释这个问题。

为了证实表示负数用补码的定义是正确的选择，我们可以从反面出发，看看几种不正确的但显然是非常直观的定义。

直接在正整数之前加符号（所谓原码）

这种想法最最直观直接了。大家看，要表示带符号数，我们必然需要使用一个比特来代表所谓的符号，就选0代表整数，1代表负数，因此，如果表示-3，那只需在+3前面加负号即可，也就是说3是0011，那么-3就是1011 。这样不就很好了吗？

首先注意，4比特二进制在无符号的时候，表示的范围是0～15，即0000～1111 。在表示带符号整数时，因为抽出了一为作为符号位，那么表达的范围就应该是：

0000 ~ 0111 (0~7) : 正数
1000 ~ 1111 (-0~-7) ：负数

一个立即需要解决的问题就是0与-0从含义（定义）上怎么区别？而更为重要的是，符号的出现还直接影响了算术运算规则的定义。比如，原本我们很容易定义加法来做正整数运算，比如：

0011+0001= 0100（ 3 + 1 = 4），

但是这个加法对带符号数就立即失效了，比如:

0011+1001=1100=（3 - 1= -4)，这是错误答案

小结一下，在定义带符号数的时候我们有两个问题需要解决：0与-0该如何区分、定义或者解决，其次，使得无符号的加法在带符号的加法保持相容。

对正整数取反（所谓反码）

这种想法也非常直观。负数与正数不是刚刚相反吗，那么给定一个正二进制数，只需把每一位都取反不就刚好对应一个负数么？比如：

0011（3）的反就是1100（-3）。

此时，四比特的带符号二进制数的范围就是：0000~0111 (0~7，与上一个例子相同) 以及 1000~1111 (-7~-0，注意，与上一个例子相比，但顺序颠倒) 。

我们需要问，刚才的问题解决了没有？稍微分析一下，我们失望地发现局面似乎并无改观。还有一个-0（1111），而且加法也不与正数加法兼容，比如：

0011 + 1100 = 1111 （ 3 + （-3）= -0，本应该是0的。）

再仔细看看，0与-0的区别在哪里？我们稍微乐观点就可以意识到，0000与1111的差距只是差一个1 ？不是吗，1111+1=0000 ！于是，补码定义呼之欲出了。

对正整数取反之后再加1 （所谓补码）

重新强调一下：

补码运算规则：最高位比特为符号位，正数为0，负数为1。对某正数求其负数，只需要对该数取反加1。

现在剩下的工作只需要重新考察，在这种运算规则下，刚才两个问题解决了没有？首先，还是看数字的表示范围：

正数：0000 ～ 0111表示 0 ～ 7
负数：1000 ～ 1111表示的是：-8 ~ -1

细心的同学就会立即发现问题说，哎，且慢，怎么多了一个-8出来？不着急，大家只需要对0000～0111这8个数逐个用补码规则求反就会发现，我们得不到1000这个数字，也就是说1000肯定不是-1～-7之间的数。而且运用一般二进制整数的加法来算，-1 （1111）加 -7 （1001） = 1000，那么1000不就刚好是-8么？多了-8出来，刚好-0就没有了。好消息之一！剩下就是继续检查，这种补码运算是否跟原定义的加法相容了。具体例子大家稍微动动笔就知道了。

为什么补码的规则是“取反加1”

其实补码的定义并不神秘，甚至可以说没有任何新东西。本质上，计算机中的算术运算都是mod运算。考虑mod 2^n的加法，比如下面等式：

给定n比特长的正整数x，满足x + x' = 0的x'就是x的负数。
x + x' = 0本质上是x + x' = 0 mod 2^n
所以：x' = (2^n - x) mod 2^n
考虑到x<2^n，只需要记为： x' = 2^n - x

例子：

计算8比特数-7的二进制补码（注意，此时是mod 256的加法）：
即：2^8 - 7 == 249
验证：00000111取反加1 == 11111001

“取反加1”如何体现？很简单：

2^n = ( 2^n - 1)  + 1 = 1111..11 (n个1) + 1, 

   2^n - x = 1111...11(n个1) + 1 - x ，
   因为，x < 2^n ，所以 1111...11(n个1)  - x 就是对x取反！（Why？请稍微检验一下。）

所以，2^n - x 就是“取反加1”！

换而言之，如果从mod运算的角度去看补码，简直是太简单而且顺理成章了。从这个意义上看，mod运算对计算机的“计算”就显得尤为重要了。

CSAPP中的一种表示法

CSAPP展示了另一种表示法，如图所示：

二进制补码的一种表示法

补充此内容是想说，嗯，其实我说得更清楚。

小结

补码是一个基本概念。在我们讲解这些基本概念的时候，大家往往顾着定义，然后声讨这些所谓的“理论”，声讨老师只教理论，不讲实践，痛心疾首自己学计算机学了好多好多年还不懂什么......

讲完刚才这个例子，我只想问，补码是理论还是一种工程实践？如果它确实是理论（我也相信它是一种理论），如果没有丰富的实践基础可以得出来吗？这个理论难道不是扎根于实践而要深深地影响了实践吗？计算机科学就是这样一种源于实践而要影响实践的学科，而我没有见过不源于实践的理论，也没有见过不应用于实践的理论。

2017年6月29整理修改