如何检查一组区间中是否存在两个区间有交集

假设有N个区间，将它们表达为

，其中下标i位于区间

中

为了判定这组区间中是否存在两个区间是有重叠的，首先对这组区间进行排序，使得对于排序后的每一个区间

而言，都有

（这里的i小于N-1）。

为了说明要如何判定这些区间中是否存在重叠，首先我们假设这其中确实存在着至少两个这样的区间，假设分别是第j个和第k个（假设j小于k），它们必然会满足这样的关系

这是因为如果

，那么所有位于区间

中的数都将会小于 b_k，那么第j个区间与第k个区间就不可能有交集了，因此上述不等式一定成立。再加上这一组区间都是按照区间的下界递增排序的，那么必然有

假设

，由于k和j都是正整数，这意味着在第j和第k个区间之间，必然还存在着一个区间l，那么这个区间的必然满足

这就意味着第j个区间和第l个区间也存在交集，它们的交集是子区间

（这里假设

）。这就说明了，如果可以在一组区间中找到两个不相邻的区间，它们存在重叠的部分，那么一定可以找到第三个区间，使得这个区间与其中的一个区间也存在重叠。

这表示如果我们要判定一组区间是否存在重叠，那么只需要先将它们基于区间的起点按照递增排序后，比较每一对相邻的两个区间是否存在重叠即可。

最后编辑于：2017.12.06 04:36:14

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