译者按：本文来自于吴恩达的斯坦福经典课程CS229 的课程笔记，也是国内大部分EM算法文章的参考源，本文详细介绍了EM的推导过程，要深入了解EM算法不可不读。期望最大化(Expectation Maximization) 算法被称为机器学习十大算法之一，最初是由Ceppellini等人1950 年在讨论基因频率的估计的时候提出的。后来又被Hartley 和Baum 等人发展的更加广泛。目前引用的较多的是1977 年Dempster等人的工作。它主要用于从不完整的数据中计算最大似然估计。 这个算法是目前隐马尔科夫（HMM）、聚类方面的基础，广泛应用于自然语言处理等方面。

EM算法

在前面的一组笔记中，我们讨论了适用的EM算法混合着高斯分布。 在这套笔记中，我们给出了更广泛的观点的EM算法，并展示它如何应用于一个大的估计潜在变量的问题系列。 我们从一个称为Jensen不等式的非常有用的结果开始讨论。

1、Jensen不等式

设f是一个函数，其域是实数集合。 回想一下，f是一个凸函数，如果f ''（x）>= 0（x ∈ R）。 在f服用的情况下

矢量值输入，这被推广到它的黑森州H的条件是半正定的（H≥0）。 如果所有x的f ‘’（x）> 0，那么我们说f是严格凸（在向量值情况下，相应的语句是H必须是严格半正定的，写成H> 0）。Jensen不等式可以说明如下：

定理：  令f是一个凸函数，并且令X是一个随机变量。

而且，如果f是严格凸的，那么如果和，E [f（X）] = f（EX）成立  仅当X = E [X]具有概率1时（即，如果X是常数）。回想一下在编写期望时偶尔放弃括号的惯例，所以在上面的定理中，f（EX）= f（E [X]）。有关该定理的解释，请考虑下图。

这里，f是实线所示的凸函数。 另外，X是一个随机数变量，有0.5的机会取值a和0.5的机会取值b（在x轴上指示）。

 因此，X的期望值由a和b之间的中点给出。

我们还可以看到在y轴上显示的值f（a），f（b）和f（E [X]）。此外，值E [f（X）]现在是f（a）之间的y轴上的中点，

和f（b）。 从我们的例子中，我们看到，因为f是凸的，所以它必须是E [f（X）]  >=  F（EX）。

顺便提一句，很多人都无法记住哪种方式不等式就会发生，记住这样的一张图片是一个迅速找出答案的好方法

备注。 回想一下，当且仅当f 严格凸（即，f''（x）≥0或H≥0）。 詹森的不平等也适用于凹函数f，但所有不等式的

方向相反（E [f（X）]≤ f（EX）等）。

2 The EM 算法

假设我们有一个估计问题，我们有一个训练集 {X（1）.....x（m）} 由m个独立的例子组成。 我们希望这个

数据模型p（x; z）的参数，其中的可能性是由

但是，明确地确定参数的最大似然估计值θ可能很难。 这里，z（i）是潜在的随机变量; 而且经常这样:

如果z（i）被观察到，那么最大似然估计会很容易。

在这样的设置中，EM算法给出了一个有效的方法，最小似然估计。 明确地最大化  ι（θ）可能会很困难，

而我们的策略将是反复地在ι上建立一个下界（E-步骤），然后优化该下限（M步骤）。

对于每个i，让Qi在z上有一些分布（Pz Qi（z）= 1，Qi（z）≥0）。 考虑以下几点：

这个推导的最后一步使用了Jensen的不等式。 具体而言，f（x）=log x是一个凹函数，因为其域x ∈ R +上的f''（x）=􀀀1= x2 <0。另外，这个词

（x（i）; z（i）;？）= Qi（z（i））？？？？？？？？？？ 关于z（i）根据Qi给出的分布绘制。 通过Jensen的不等式，我们有

\ z（i）？ 上面的“齐”下标表示期望值关于z（i）取自齐。 这使我们可以从方程（2）到公式（3）。现在，对于任何一组分布Qi，公式（3）给出了一个下界在'（？）上。 齐的有许多可能的选择。 我们应该怎样选择？ 那么，如果我们有一些目前的猜测？ 的参数，试图在低于这个价值的情况下使下限紧张是很自然的。 即，我们会的使以上的不平等符合我们特定的价值。（我们稍后会看到这是如何使我们证明 ι（θ）单调增加的与EM的成功迭代。）

为了使边界对于某个特定的值更紧密，我们需要这个步骤涉及Jensen的不平等在我们上面的推导中要保持平等。

为了实现这一点，我们知道期望值是足够的在一个\常数“ - 值得随机变量上，即我们需要这个

对于一些不依赖于z（i）的常数c。 这很容易完成通过选择

实际上，因为我们知道Pz Qi（z（i））= 1（因为它是一个分布），所以进一步告诉我们

因此，我们简单地将Qi设置为z（i）的后验分布给定x（i）和参数？的设置。现在，对于Qi的这个选择，方程（3）给出了一个下界我们试图最大化的对数似然性。 这是E步骤。 在里面算法的M步，然后我们最大化公式（3）中的公式尊重参数以获得？的新设置。 反复执行这两个步骤给了我们EM算法，如下所示：

我们如何知道这个算法是否会收敛？ 那么，假设？（t）和Δ（t + 1）是来自EM的两次连续迭代的参数。 我们会

现在证明`（？（t））？ `（？（t + 1）），它表示EM总是单调的提高了对数似然。 展示这一结果的关键在于我们的选择

齐的。 具体而言，在参数所具有的EM的迭代中开始为？（t），我们将选择Q（t）i（z（i））：= p（z（i）jx（i）;？（t））。 我们之前看到，这种选择确保了Jensen的不平等，就像应用于获得等式（3）持有平等，因此

这第一个不平等来自于这个事实

适用于任何Qi和？的值，特别适用于Qi = Q（t）一世 ，？ =？（t + 1）。 为了得到方程（5），我们使用了选择？（t + 1）的事实明确地是之前看到，这种选择确保了Jensen的不平等