二年级第一个数学板块内容：

巩固大数数数，唱数，节奏数数，培养数感

100以内的加减法（百格计算，熟练掌握10以内的加法）

乘法表，1到5

从哪开始：先巩固加减法，还是开始教乘法？

二年级的数学，最主要的主题，一方面是要在一年级数的品质以及四则运算的图景化引入基础上，二年级要进一步夯实、熟练掌握唱数以及数的拆分，进行100以内的加减。这部分内容，公立的阶梯是从十以内加减法，到二十以内加减法，再到100以内的加减法，等讲完了，再讲乘除法。而另一方面，华德福二年级数学的重要主题是通过节奏数数带入的乘法表学习。

如果我这个板块直接进入教乘法，就象数的品质一样，课程容易是结构化的，每一组乘法表都会对应图形表征，数形结合，到抽提出来的乘法算式和口诀，对孩子来说很有结构，但另一方面，我担心看不到背后孩子对数学思想理解了多少。

所以我打算先放一下相对程式化的“乘法表”教学，数学板块第一周，先通过百格板来巩固唱数、发现数的模式和规律，并探讨加减法的算理。等到第二周开始再慢慢引入乘法。

百格板（"作业机”）

在数学板块开始前，小河爸爸帮助我做了个教具——百格板，上面有1-100的数字方块，可以翻面。我想借助操作，帮助孩子理解自然数列的排布规律，掌握加法的算理，慢慢延伸到凑十和进位加法。

不久前，我们正好在《日有所诵》上读到了《作业机》这首童诗。当我把百格板拿出来，孩子们看到教室里多了一个东西，十分好奇，问这是什么，我说我们开发了一个作业机，一下子把孩子们的胃口吊起来了。一二年级还是想象魔法的年龄，孩子们眼巴巴地瞅着我凑近了百格板，夸张地问：“作业机，哦，作业机，9+4=？” 孩子们大笑，这机器不象是能给出答案。我说我们需要动动手，来教一教作业机。其实最早的加法机也是需要人工操作的。在教学中引入“作业机”的额外好处是，孩子们可以很大程度上放下“我会不会算”或是“算得太慢”的心理负担，不管会不会，都愿意上来拨弄一下，并且在作业机上看到整个计算过程和结果的呈现。

比如5+3，需要先找到5。最开始，我们从1 开始一个一个往下翻，比如要算5+3，翻一个代表一个数，先找到5，再继续加上3个，于是翻到了8，作业机果然告诉了我们答案：5+3=8！

最开始是用来熟悉自然数数列，一个个往下唱数，包括进位、加法算理。第一天，第二天，都是从1开始一个一个数下去，也是在建立基数和序数的对应。

到了第三天算13+5，孩子们说不用从1开始一个一个数，直接找到13。那么13在哪里呢？有孩子说：“13就在3的楼下。” 经过观察和操作这个非常简单的教具，孩子们探索数的模式，发现每一列尾数的对应。如果你请孩子来说怎么算的13+5，语言组织有困难，也有数学紧张，如果是教作业机，感受上就大不一样了。在合班后的第一个数学板块引入这个教具，希望孩子不管之前在班里的程度怎样，都希望他们大胆地来进行数学操作。

有的时候，一个孩子在上面演示作业机的运算过程，下面会有孩子开始掰手指头，我就特别高兴地指出来：“我们每个人都自带作业机呢！”所以，当孩子还在掰手指头做算术的时候，请一定发自内心地喜悦并赞叹我们有一双灵巧的手。（没事就可以玩玩手指凑十的游戏，既熟悉了运算，又活动手指，滋养触觉，何乐而不为？）

宝物袋、数字树和T型图

除开百格板上带数字的呈现，我们还进行了大量直观的数学游戏和实物操作，包括数大米、桃核等各种自然物、扑克牌钓鱼、晨练时两人一组钻水帘洞、跑绳报数等等。

我在数学板块之初给每个孩子发了一个宝物袋，里面装了24个桃核。我们先做了一些关于24的拆分，画数字树、T型图等等。孩子们在老师的提问中摆桃核，从简单到复杂的，后面慢慢就隐含了除法，比如24里面有几个2？有孩子说24个2，混淆了总数和堆数；隐含分配律，比如3个5相当于2个5加上1个5。

数字树和T型图都是拆分的练习。华德福强调从整体到局部，不是3+5=？而是8可以等于几和几，是一个开放的问题，培养多元而不是线性的思维。下次如果需要做13+8，就会想到8可以是7+1，有一个从整体去做拆分的意识。

有趣的是，每天我让大家拿出宝物袋，还不等我说今天的任务是什么，孩子们就纷纷开始清点宝物袋里的24颗桃核，接下来就是此起彼伏的呼救声：“老师，我只有23个。“ “我少了2个！” 更有甚者：““我的宝物袋找不到了！”守恒是数学中最基本的概念，孩子们自发地要去确认是不是我的桃核都在那里。而在数学活动的整个操作过程中，秩序感和条理性真是太重要了。于是我又开始带着孩子们收拾整理桌仓，把多出来的东西拿回家……

孩子们通过实物操作学习数学的第一个阶段称作identification，容易翻译成等同，更好的理解是“对应”，就是知道抽象符号后面对应的实物和图像是什么，时刻能够联系（马翔老师语）。24这个数字只是一个抽象符号，要变成可以识别的模式，可以有很多图式来反映。对应的模式越充分，越多样，在数学思维的灵活性上会有越多的帮助，。

跑绳唱数学乘法

第二周逐渐进入乘法。我当时想第一个带几的乘法表呢？从1、2、3挨个往下带吗？

1的乘法基本不用带的。我不想从2开始，2增长太慢。不够体现乘先生的敏捷、一个筋斗十万八千里的感受。而5的倍数够简单，很容易找到规律。确实在数数中，孩子们会用到五个五个数。我先带了5。

从开学到现在，我们每天早晨跳大绳，每个孩子进去跳5个。那几天让大家整体数下来，全班能跳多少个？那天正好是20个孩子跳了100个，第二天是22个孩子，到了110。

几天后，孩子们对5的倍数熟悉了。我布置了作业，回家数大米，100颗。想让孩子有数大数的经验。乘法的用途，需要数量足够大。孩子反映，我妈妈不相信我数对了。只有一丢丢。课堂上让他们拿出100粒大米，交换来数。，这时也会出现各种好玩的状况，比如在路上漏了，好在我带了米给大家补上。

数大米的时候，大部分孩子会分堆，也有孩子数晕了，很小的米粒，挺大的数。后来我们在黑板上演示了不同孩子怎么数，画成了5个一组，两个5是10，可以看得见的数量。这是最早5的乘法表，从5个5个一堆数，到5的乘法表，一栏算式，一栏口诀。

乘法虽然有意在建构，但事实上孩子学习的过程，是先通过身体去感受节奏，从节奏数数的唱数体验中，结合韵律和节奏记住倍数家族，和加法先明白算法不一样。乘法学习是建立在唱数基础上的数感，甚至在理解之前。如果光是头脑上理解，比如4个3是3+3+3+3，并不足够让他掌握乘法。遇到一个数，能很快反应过来是哪个倍数家族，这对于四五年级的整除规律、公倍数，分数的通分约分等，都很重要。

从这个角度来说，乘法需要大量韵律记忆的参与，先熟练掌握倍数家族，再从中发现模式和规律，可谓先浪漫，再进入分析和综合的过程。这也是为什么华德福比公立教育引入乘法更早。我以前也会觉得做乘法需要对大数不恐惧，要会加才会乘，比如从3×6到4×6，需要知道18+6=24，教的时候才发现不是这个过程，更多是通过大量唱数去记住。要记住而不是算。

对比之下，加减法到需要进退位时，是一个难点。需要唱数中先过了进位的坎（“比如68,69,70”）。而学习乘法让孩子们在节奏数数中，逐渐把大数都唱明白了，几十上百的，有了数感，再做相关运算就不怕了。

为了让孩子们在记诵乘法表的过程中，逐渐变得清醒有意识，我们除开正着数、倒着数，顺着背、倒着背（抽着背还有难度），我还引入了一些倍数相关的游戏，比如轮流报数抢24（每次顺着往下报1或2个数），轮流抽稻草等等，并把这些倍数的规律在百格板上呈现出来。

因此，这个板块我们通过节奏数数、实物操作、大算盘和百格板上的操作，先后学习了5、2、3、4、1的乘法表。（数学教研时，少华老师再次提醒，身体节奏数数特别重要，需要特别充分，把全身用上。乘法口诀的律动，即使背错了也在节奏上，不能反映孩子的理解程度和准确性要求。）

钓鱼和百格计算

在乘法学习的间隙，我们用扑克牌玩钓鱼游戏，从一年级的钓10，上升为钓14，其实难度不小呢，孩子们很快掌握了规则，遗憾的是玩得不太多，在学校里孩子们更喜欢在户外疯跑或社交——后两项确实更重要啊。

接下来我借助钓鱼的图景，逐步引入了百格计算，这一方面是希望孩子们熟练掌握10以内的加法运算，另一方面也要熟悉表格的绘制和对应，为后面一起做加法表和乘法表做铺垫。

百格计算有横着一排10个数字，和竖着一列10个数字，对应相加，相当于100道口算题。我开始担心孩子们一开始就做这么多有点困难。第一次给的是1-10和1-10的连续自然数对应相加，孩子们很快发现了规律，一路挥洒下来就完成了。让我意想不到的是，第二天有好些孩子要求我再发一张百格纸，因为他们想再做一遍。

尽管我很欣喜于孩子们在讨论中表达的种种发现，也怕孩子们从此偷懒，不去认真计算，而是连蒙带猜（真是以小人之心度君子之腹啊！）于是我又出了一组随机排列的数，但也不能太难，这时我想到了电话号码，请孩子们用QF老师的电话号码，来钓我的电话号码，看能钓上来几个14，接下来又用爸爸妈妈的电话号码来钓鱼。这个过程中也有很多有趣的发现，比如0的不用算，重复的数字不用算，用爸爸钓妈妈，和用妈妈钓爸爸，本质上没有不一样（隐含着加法交换律呢！）。

当孩子们熟悉了表格的运算方式后，我们尝试用表格来整理1-5的乘法表。这时候我发现乘法算式没有加法那么直观，加法孩子们很好理解，就是把两个数加和；而乘法算式的意义，还需要反复的identification，从生活情境中的问题，到实物或图式，再到算式，让孩子们把抽象的算式，对应到一个点阵的排列或是其它图式。

二年级乘法的学习，刚刚是个开始。