计算机控制系统

学习思路

信号变换——系统模型的描述（数学描述、性能分析）——控制器的设计（基于传递函数的间接、直接设计，基于状态空间模型的设计）——控制器的验证（仿真和实际控制实验）

++什么是计算机控制系统？

由计算机参与并作为核心环节的自动控制系统

++计算机控制系统的优势？

易于实现复杂控制规律，速度快
性价比高（一台计算机初期投资较大，但增加一个控制回路的费用却较少）
适应性强，灵活性高（通过修改软件或执行不同的软件即可具有不同的性能），属于柔性系统
数字信号的优势（数据利于传输不像模拟信号需要电缆，用总线即可；提高信号传输的准确度，不易衰减；传输的信息更丰富，多信息）
系统的可靠性和容错能力高

DDC (Direct Digital Control)

直接数字控制系统 DDC
- DDC是计算机控制的基础
- 盒式安装
- 台式安装
- 柜式安装
现场总线控制系统 FCS (Field bus Control System)
- FCS是在DCS基础上发展起来的，它和DCS的主要区别是现场的传感器和执行器是数字化的
集散控制系统 DCS (Distributed Control System)
- DCS是目前应用广泛的
可编程控制器系统 PCS (Programmable Controller System) 或 PLC (Programmable Logic Controller)
- PCS诞生之初是逻辑运算，后来发展为带连续控制的

应用领域

连续过程工业（选DCS、FCS）
- 具有物质流动、热量传递的连续生产过程（发电、炼油、化工）
- 测量和控制信号：模拟信号为主，开关信号为辅
- 控制算法
  - 连续控制为主，逻辑控制为辅
  - PID：单回路、串级、前馈、比值、选择、...
离散制造工业（选PCS）
- 具有物质转动、移动的机械设备（汽车、飞机、机床）
- 测量和控制信号：开关信号为主，模拟信号为辅
- 控制算法
  - 逻辑控制为主，连续控制为辅
  - 逻辑：与、或、非、异或、... 触发器、计数器、计时器、...
工控机（两个都可以选用，但不适用于大型系统）

计算机控制系统的组成

控制器、输入、输出、被控对象、组态、数据库、人机接口、网络通信

硬件组成
1. 主机（系统的核心）
  - CPU、存储器和接口
  - I/O数据处理、控制、运算
2. ++输入输出设备（系统的基础）
  - 模拟量输入（AI，Analog Input）
  - 开关量输入（DI，Digital Input）
  - 模拟量输出（AO，Analog Output）
  - 开关量输出（DO，Digital Output）
3. 人机接口设备（系统的窗口）
4. 通信设备（系统的层次结构和信息集成的条件）
软件组成
1. 系统软件
  
  Windows、UNIX；组态软件
2. 应用软件
  
  输入输出软件（基础）、控制运算软件（核心）、人机接口软件（耳目手脚）、打印制表软件（档案）
3. 管理软件

组态的含义

输入信号抽象

输入功能块（AI功能块、DI功能块）

控制算法抽象

控制功能块（PID功能块）

输出信号抽象

输出功能块（AO功能块、DO功能块）

选用输入功能块、控制功能块、输出功能块，连接相应的功能块输出输入端，设置功能块参数，构成控制回路

DDC 系统的算法

++分析线性离散控制系统的数学工具

时域的差分方程
复数域的 $Z$ 变换和脉冲传递函数
频域的频率特性
离散状态空间模型

++数字控制器的两种经典设计方法

模拟化设计方法（间接设计法）

在一定条件下，将计算机控制系统近似成连续系统进行设计，然后用离散化方法将连续控制器变换成数字控制器
直接离散化设计方法（直接解析设计法）

首先建立被控对象的离散模型，把整个系统变成离散系统，然后在离散域直接设计控制器

基于系统的状态空间模型设计数字控制器，是现代控制理论的基础。采用状态空间模型设计时，由于可以充分利用系统的状态信息，从而可以使系统获得更好的性能，并且可以直接根据给定的系统性能要求实现综合设计。

控制器的验证

计算机仿真实验
系统实际控制实验

控制系统中信号分类

时间上区分

连续时间信号

在任何时刻都可取值的信号
离散时间信号

仅在离散断续时刻出现的信号

幅值上区分

连续信号

信号幅值可取任意值的信号
离散信号

信号幅值具有最小分层单位的模拟量
数字信号

信号幅值用一定位数的二进制编码形式表示的信号

A/D 变换

++采样（最本质的变换）

采样/保持器（S/H）对连续的模拟输入信号，按一定时间间隔T（称为采样周期）进行采样，变成时间离散（断续）、幅值等于采样时刻输入信号值的序列信号
量化

将采样时刻的信号幅值按最小量化单位取整的过程
编码

将整量化的分层信号变换为二进制数码形式，用数字量表示

D/A 变换

D/A 变换器将数字编码信号转换为相应的时间连续模拟信号

解码

将数字量转换为幅值等于该数字量的模拟脉冲信号
++信号恢复器

将解码后的模拟脉冲信号变为随时间连续变化的信号，在一个周期内将信号保持为常值，称为零阶保持器

采样定理

用 $\delta$ 函数来描述理想采样开关，得到
$\delta_T=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)$
++香农定理

如果一个连续信号不包括高于频率 $\omega_{max}$ 的频率分量（连续信号中所含频率分量的最高频率为 $\omega_{max}$ ），那么就完全可以用周期 $T<\frac{\pi}{\omega_{max}}$ 的均匀采样值来描述。

或者说，如果采样频率 $\omega_s>2\omega_{max}$ ，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号

前置滤波器

串在采样开关前的模拟低通滤波器，主要作用是防止采样信号产生频谱混叠，又称为抗混叠滤波器
作用：滤除高频干扰

信号的整量化

将一个模拟量变成二进制数字量时，二进制的位数设为 $n$ ，则 $n$ 位二进制数只能表示 $2^n$ 个不同状态，最低位所代表的量，称为量化单位 $q$

量化误差

模拟量和有限字长二进制数之间不是一一对应的，用数字量表示模拟量是有误差的，这种误差称为量化误差

信号的恢复与重构

理想不失真的恢复需要具备3个条件

原连续信号的频谱必须是有限带宽的频谱
采样必须满足采样定理，即 $\omega_s>2\omega_{max}$
具有理想低通滤波器，对采样信号进行滤波

常用于重构信号的形式

零阶保持器 ZOH (Zero Order Hold)，亦称“零阶外推插值”
一阶保持器，亦称“一阶外推插值”

后置滤波器

为降低或消除高频噪声的不良影响，可在保持器后串联一个低通滤波器——后置滤波器

++[图片上传失败...(image-6021c-1577451219711)]

计算机系统的数学描述

常用数学分析工具

线性连续控制系统	线性离散控制系统
微分方程	差分方程
拉普拉斯变换	$Z$ 变换
传递函数	脉冲传递函数
频率特性	频率特性
状态方程	离散状态方程

差分方程

[图片上传失败...(image-aae381-1577451219711)]

[图片上传失败...(image-9da447-1577451219711)]

[图片上传失败...(image-6095cf-1577451219711)]

[图片上传失败...(image-62d643-1577451219711)]

Z 变换

$Z$ 变换只是对采样信号做拉氏变换后再置换变量的结果

[图片上传失败...(image-9507cc-1577451219711)]
求拉氏变换式 $F(S)$ 的 $Z$ 变换的含义是，将拉氏变化式所代表的连续函数进行采样，然后再求它的z变换

[图片上传失败...(image-35209d-1577451219711)]
查表法

[图片上传失败...(image-1ac166-1577451219711)]

$F(s)$ $f(t)$ 或 $f(k)$ $F(z)$

$1$ $\delta(t)$ $1$

$e^{-kTs}$ $\delta(t-kT)$ $z^{-k}$

$\frac{1}{s}$ $1(t)$ $\frac{z}{z-1}$

$\frac{1}{s^2}$ $t$ $\frac{Tz}{(z-1)^2}$

$\frac{1}{s+a}$ $e^{-at}$ $\frac{z}{z-e^{-aT}}$

$\frac{1}{(s+a)^2}$ $te^{-at}$ $\frac{Tze^{-aT}}{(z-e^{-aT})}$

$a^k$ $\frac{z}{z-a}$
$Z$ 反变换对应的是采样序列，而不是原来的连续函数，一个 $Z$ 变换式可能对应多个连续函数，因此 $Z$ 变换只能反映采样点的信息，不能反映采样点之间的行为，即无法还原原来的连续函数

[图片上传失败...(image-26f202-1577451219711)]
用 $Z$ 变换求解差分方程

利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程转换为代数方程

[图片上传失败...(image-6949bc-1577451219711)]

$F(s)$	$f(t)$ 或 $f(k)$	$F(z)$
$1$	$\delta(t)$	$1$
$e^{-kTs}$	$\delta(t-kT)$	$z^{-k}$
$\frac{1}{s}$	$1(t)$	$\frac{z}{z-1}$
$\frac{1}{s^2}$	$t$	$\frac{Tz}{(z-1)^2}$
$\frac{1}{s+a}$	$e^{-at}$	$\frac{z}{z-e^{-aT}}$
$\frac{1}{(s+a)^2}$	$te^{-at}$	$\frac{Tze^{-aT}}{(z-e^{-aT})}$
	$a^k$	$\frac{z}{z-a}$

脉冲传递函数

++定义：零初始条件下，单位脉冲响应的拉氏变换。

*离散系统脉冲传递函数：可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的z变换，又称为 $z$ 传递函数

$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}$

输出的采样信号：
$c^*(t)=Z^{-1}[C(z)]=Z^{-1}[G(z)R(z)]$

如果是针对采样系统则需要在输出端添加虚拟开关，以使系统变成离散系统

[图片上传失败...(image-e8ee9c-1577451219711)]

已知 $G(s)$ 求取 $G(z)$ 的步骤和前面已知 $F(s)$ 求 $F(z)$ 是一样的，也是三步，因为 $G(z)$ 本身就可以看做是单位脉冲输入时的系统输出响应

[图片上传失败...(image-172a49-1577451219711)]

由差分方程求脉冲传递函数
- 离散系统既可以用差分方程描述，又可用脉冲传递函数描述，因此两者之间必须可以相互转换，其变换手段是z变换
- 脉冲传递函数实质上是差分方程在初始条件为零条件下对系统进行一种变换后的运算
[图片上传失败...(image-1d60cd-1577451219711)]

<img src="img/14.png" alt="img14" style="zoom:80%;" />
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
只有当输入及输出均有采样开关时（离散信号），
才能写出它们之间的脉冲传递函数

[图片上传失败...(image-fd0c79-1577451219711)]

[图片上传失败...(image-c4db9a-1577451219711)]

典型的计算机控制系统

计算机输出的控制指令 $u(k)$ 是经过零阶保持器加到系统的被控对象上的，零阶保持器和被控对象一起
通常被控对象的输出 $c(t)$ 是连续变化的，但为了研究方便，将其转化成纯离散系统，在系统输出端加入一虚拟采样开关

[图片上传失败...(image-1beaff-1577451219711)]

计算机控制系统的经典设计方法

间接设计法

在连续域设计控制律 $D(s)$ ，将 $D(s)$ 离散化
- 便于计算机编程实现
直接解析设计法

将被控对象离散化，直接在离散域设计控制律

++离散化公式

一阶向后差分法

$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$ 或 $z=\frac{1}{1-sT}$

系统离散： $D(z)=D(s)\bigg|_{s=\frac{1-z^{-1}}{T}}$

[图片上传失败...(image-20d1fb-1577451219711)]
- 应用：由于这种变换的映射关系有畸变，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。欧拉积分， $T\to 0$ 时失真小。
一阶向前差分法

$s=\frac{z-1}{T}=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}$ 或 $z=1+Ts$

系统离散： $D(z)=D(s)\bigg|_{s=\frac{z-1}{T}}$

[图片上传失败...(image-4723a2-1577451219711)]
- 应用：由于这种变换不能保证 $D(z)$ 一定稳定，所以应用较少
--双线性变换法 (Tustin 变换法)

$s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$ 或 $z=\frac{1+\frac{T}{2}s}{1-\frac{T}{2}s}$
- 应用：使用方便，有较高的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍，选好离散化的采样周期

各种方法按设计结果的优劣排序：双线性变换>零极点配置法和向后差分>阶跃响应不变和脉冲响应不变

各设计方法特点：

阶跃响应不变和脉冲响应法不变保证离散系统的响应和连续系统相同
零极点匹配法保证变换前后稳态增益相同
双线性变换法保证变换前后特征频率不变

数字PID控制算法

PID控制算式

$\frac{U(s)}{E(s)}=K_p(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s)$

++位置型算式

由PID控制算式取拉普拉斯反变换

$u(t)=K_p\bigg(e(t)+\frac{1}{T_i}\displaystyle\int e(t){\rm d}t+T_d\frac{{\rm d}e(t)}{{\rm d}t} \bigg)$

令 $t=kT$ ， $k=0,1,2,\cdots$ 可得
$e(t)\approx e(kT) \\ \int e(t){\rm d}t\approx \sum_{j=0}^k e(jT)T=T\sum_{j=0}^k e(jT) \\ \frac{{\rm d}e(t)}{{\rm d}t}\approx \frac{e(kT)-e[(k-1)T]}{T}$
为书写方便，凡采样时间序列 $kT$ 均用 $k$ 简化，则离散化的算式为：

$u(n)=K_p\{e(n)+\frac{T}{T_i}{\displaystyle\sum_{j=0}^n e(j)+\frac{T_d}{T}[e(n)-e(n-1)]} \}\quad ...(I)$

要累加偏差 $\sum e(j)$ ，不仅要占用较多的存储单元，而且不便于编程序

++增量型算式

$u(n-1)=K_p\{e(n-1)+\frac{T}{T_i}{\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} e(j)+\frac{T_d}{T}[e(n-1)-e(n-2)]} \}\quad ...(II)$

$(I)$ 式减 $(II)$ 式得 $n$ 时刻控制量的增量 $\Delta u(n)$ 为
$\Delta u(n)=K_p[e(n)-e(n-1)]+K_i e(n)+K_d[e(n)-2e(n-1)+e(n-2)]$
比例系数 $K_p=\frac{1}{\delta}$ ，积分系数 $K_i=K_p\frac{T}{T_i}$ ，微分系数 $K_d=K_p\frac{T_d}{T}$

++积分项的改进

积分分离

从PID差分方程式中分离出积分项
抗积分饱和

对 $u(n)$ 限幅
- ++积分饱和：如果执行机构已到极限位置，仍然不能消除偏差时，由于积分作用，尽管 $u(n)$ 继续增大或减小，而执行机构已无相应的动作，这就称为积分饱和
梯形积分

将矩形积分改为梯形积分
消除积分不灵敏区

增加A/D转换位数，当 $\Delta u_i(n)$ 小于输出精度 $\varepsilon$ 时，则累加 $\Delta u_i(n)$ 直到累加值大于 $\varepsilon$ ，输出该值

++微分项的改进

偏差平均
测量值微分（微分先行）

避免设定值改动时对系统带来的扰动

变PID控制

给定值改变的变PID控制
负荷改变的变PID控制

计算机控制系统知识点