数据结构---二叉树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。

二叉树的性质(特性)

性质1:在二叉树的第i层上至多有2**(i-1)个结点(i>0)

性质2:深度为k的二叉树至多有2**k - 1个结点(k>0)

性质3:对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;

性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)

性质5:对完全二叉树,若从上至下、从左至右编号,则编号为i 的结点,其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1;其双亲的编号必为i/2(i=1 时为根,除外)

完全二叉树
满二叉树

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点信息的访问,即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历广度优先遍历,深度优先一般用递归,广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

深度优先遍历对于一棵二叉树,深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。深度遍历有重要的三种方法,这三种方式常被用于访问树的节点,它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历(preorder),中序遍历(inorder)和后序遍历(postorder)。

先序遍历:先访问根节点,然后递归使用先序遍历访问左子树,再递归使用先序遍历访问右子树

即:根节点->左子树->右子树

中序遍历:递归使用中序遍历访问左子树,然后访问根节点,最后再递归使用中序遍历访问右子树

即:左子树->根节点->右子树

后序遍历:先递归使用后序遍历访问左子树和右子树,最后访问根节点

即:左子树->右子树->根节点

广度优先遍历(层次遍历)从树的root开始,从上到下从从左到右遍历整个树的节点

二叉树的创建和遍历

通过使用Node类中定义三个属性,分别为elem本身的值,还有lchild左孩子和rchild右孩子,来创建节点,定义一个Tree的类用来创建二叉树,并为其添加增加节点和进行遍历的方法。

注意:在深度优先遍历中,两种遍历方式结合可以唯一确定一棵二叉树,其中必须有中序遍历,要学会如何根据中序遍历和其他任意一种遍历方式写出第三种遍历。

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