微分方程-高阶线性方程

高阶线性方程

$n$ 阶线性微分方程的一般形式为

$\dfrac{\text{d}^nx}{\text{d}t^n}+a_{1}(t)\dfrac{\text{d}^{n-1}x}{\text{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n}(t)x=f(t)\quad(3.22)$

这里假设系数 $a_1(t),a_2(t),\cdots,a_{n}(t)$ 都在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续. 当 $f(t)\equiv0$ 时方程（3.22）变为齐次线性微分方程

$\dfrac{\text{d}^nx}{\text{d}t^n}+a_{1}(t)\dfrac{\text{d}^{n-1}x}{\text{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n}(t)x=0\quad(3.23)$

若令

$x_1=x,\;x_2=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t},\;\cdots,\;x_{n}=\dfrac{\text{d}^{n-1}x}{\text{d}t^{n-1}},\quad(3.25)$

则方程（3.22）可以转换成一阶线性微分方程组

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}(t)\quad(3.25)$

其中

$\boldsymbol{A}(t)=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\\\ -a_{n}(t)&-a_{n-1}(t)&-a_{n-2}(t)&\cdots&a_1(t) \end{pmatrix}$

$\boldsymbol{f}(t)=\begin{pmatrix} 0\\\\ 0\\ \vdots\\ 0\\\\ f(t) \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\\\ x_2\\ \vdots\\ x_{n-1}\\\\ x_n \end{pmatrix}.$

当 $f(t)\equiv0$ 时，方程组（3.25）变为齐次线性微分方程组

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}.\quad(3.26)$

显然，由方程（3.22）的任一解 $x=\phi(t)$ 可得到方程组（3.25）的一个解

$\begin{pmatrix} \phi(t)\\\\ \phi'(t)\\ \vdots\\ \phi^{(n-1)}(t) \end{pmatrix}\quad(3.27)$

反之，方程组（3.25）的任一解的第一个分量就是方程（3.22）的解. 特别地，方程（3.22）满足初值条件

$x(t_0)=x_0,\;x'(t_0)=x_0^1,\;\cdots,\;x_{(n-1)}=x_{0}^{n-1}$

的解在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上存在并且唯一.

例

考虑方程

$\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+x=f(t)\quad(3.28)$

它等价于方程组

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\begin{pmatrix} 0&1\\\\ -1&0 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{pmatrix} 0\\\\ f(t) \end{pmatrix},\quad(3.29)$

这里 $\boldsymbol{x}=\left(x,\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^T.$ 可以验证

$\boldsymbol{X}(t)=\begin{pmatrix} \cos t&\sin t\\\\ -\sin t&\cos t \end{pmatrix}$

为方程组（3.29）对应的齐次线性方程组的基解矩阵. 并且

$\boldsymbol{X}^{-1}(t)=\begin{pmatrix} \cos t&-\sin t\\\\ \sin t&\cos t\\ \end{pmatrix}.$

利用常数变易公式可得方程组（3.29）的通解为

$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{x}(t)=&\begin{pmatrix} x(t)\\\\ x'(t) \end{pmatrix}=\boldsymbol{X}(t)\left[\begin{pmatrix}c_1\\\\c_2\end{pmatrix}+\int_{t_0}^t\boldsymbol{X}^{-1}(\tau)\begin{pmatrix}0\\\\f(\tau)\end{pmatrix}\right]\text{d}\tau\\ =&\begin{pmatrix} \displaystyle c_1\cos(t)+c_2\sin(t)+\int_{t_0}^t\sin(t-\tau)f(\tau)\text{d}\tau\\ \displaystyle -c_1\sin(t)+c_2\cos(t)+\int_{t_0}^t\cos(t-\tau)f(\tau)\text{d}\tau \end{pmatrix} \end{aligned},$

因此方程（3.28）的通解为

$\displaystyle x(t)=c_1\cos(t)+c_2\sin(t)+\int_{t_0}^t\sin(t-\tau)f(\tau)\text{d}\tau,$

其中 $c_1,\,c_2$ 为任意常数.

由于 $n$ 阶线性微分方程（3.22）利用上述转化方式可变换为与之等价的一阶线性微分方程组（3.25），因此我们可以把前几节的主要结果平行地推广到方程（3.22）. 与方程组（3.25）相对应的，假设函数 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 是齐次线性微分方程（3.23）的 $n$ 个解，我们称

$W(t)=\begin{vmatrix} x_1(t)&\cdots&x_n(t)\\\\ x_1'(t)&\cdots&x_{n}'(t)\\ \vdots&&\vdots\\ x_1^{(n-1)}(t)&\cdots&x_{n}^{(n-1)}(t)\\ \end{vmatrix}\quad(3.30)$

为解组 $\{x_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 的 Wronski 行列式. 齐次线性微分方程（3.23）的 $n$ 个线性无关的解的全体称为该方程的一个基本解组. 利用关系式（3.24），我们可以把关于方程组（3.26）的定理自然转述到高次方程（3.23）上.

定理 3.7

$n$ 阶齐次线性微分方程（3.23）的解组 $\{x_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 线性无关的充要条件是它的 Wronski 行列式 $W(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上恒不为零，而这等价于 $W(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 的某点 $t_0$ 处不为零，并且方程（3.23）的任一解组 $\{x_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 的 Wronski 行列式满足 Liouville 公式

$\displaystyle W(t)=W(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^ta_1(\tau)\text{d}\tau\right)\quad(3.32)$

这里由于与方程（3.23）等价的方程组（3.26）中矩阵函数 $\boldsymbol{A}(t)$ 的迹 $\text{tr}\boldsymbol{A}(t)=-a_1(t)$ ，因此由于关于方程组的 Liouville 公式（3.32），就可以求出方程（3.23）的通解.

例

设 $x_1(t)$ 是二阶齐次线性方程的

$\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+a_1(t)\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}+a_2(t)x=0.\quad(3.33)$

的一个非零解，其中 $a_1(t)$ 和 $a_2(t)$ 是 $[\alpha,\,\beta]$ 上的连续函数，则方程（3.33）的通解为

$\displaystyle x(t)=x_1(t)\left(C_2+C_1\int\dfrac{1}{x_1^2(t)}e^{-\int a_{1}(t)\text{d}t}\text{d}t\right)\quad(3.34)$

证明

为简便起见，假设 $x_1(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上恒不为零. 设 $x(t)$ 为方程（3.33）的任一解，则由 Liouville 公式（3.32）可得

$W(t)=\begin{vmatrix} x_1(t)&x(t)\\\\ x_{1}'(t)&x'(t)\\ \end{vmatrix}=C_1e^{-\int a_1(t)\text{d}t}$

亦即

$x'(t)x_1(t)-x(t)x_1'(t)=C_1e^{-\int a_1(t)\text{d}t}$

上式两端同乘以积分因子 $\dfrac{1}{x_1^2(t)}$ ，可得

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\dfrac{x(t)}{x_1(t)}\right)=\dfrac{C_1}{x_1^2(t)}e^{-\int a_1(t)\text{d}t}.$

积分上式，就可得公式（3.34）.

这个例子告诉我们一个利用 Liouville 公式降阶的方法. 一般地，如果事先能够知道齐次高阶方程（3.23）的一个非平凡解 $x=\phi(t)$ ，即 $\phi(t)\not\equiv0$ ，我们还可以用变量替换 $x=\phi(t)y$ 把方程化成关于函数 $v:=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}$ 的低一阶的齐次线性微分方程. 事实上，对这个变量替换求导并带入（3.23），可得到形如

$\phi(t)\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}t^n}+b_1(t)\dfrac{\text{d}^{n-1}y}{\text{d}t^{n-1}}+\cdots+b_{n-1}(t)\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}+b_{n}(t)y=0$

的方程，它一定有解 $y(t)\equiv1$ ，因此 $x=\phi(t)$ 是方程（3.23）的解. 由此推出， $b_{n}(t)\equiv0$ ，因此远方还曾可化为如下的 $n-1$ 阶线性微分方程

$\phi(t)\dfrac{\text{d}^{n-1}v}{\text{d}t^{n-1}}+b_1(t)\dfrac{\text{d}^{n-2}v}{\text{d}t^{n-2}}+\cdots+b_{n-1}(t)v=0.$

根据非齐次线性方程组（3.25）与非齐次线性高阶微分方程（3.22）的关系，我们把非齐次线性微分方程的常数变易公式应用到方程（3.22）上，容易得到下面的结果.

定理 3.8

设 $\{x_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 是 $n$ 阶齐次线性微分方程（3.23）在 $[\alpha,\,\beta]$ 上的一个基本解组，则非齐次线性微分方程（3.22）在 $[\alpha,\,\beta]$ 上的通解为

$\displaystyle x(t)=\sum_{k=1}^nC_kx_k(t)+x^{*}(t)\quad(3.35)$

其中 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 为任意常数，而

$\displaystyle x^{*}(t)=\sum_{k=1}^{n}\int_{t_0}^t\dfrac{x_k(t)W_k(\tau)}{W(\tau)}f(\tau)\text{d}\tau\quad(3.36)$

是方程（3.22）的一个特解， $W(t)$ 是解组 $\{x_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 的 Wronski 行列式， $W_k(t)$ 是 $W(t)$ 中第 $n$ 行第 $k$ 列元素的代数余子式.

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微分方程-高阶线性方程

高阶线性方程

例

定理 3.7

例

定理 3.8

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