向量空间的和与集合的并

《线性代数应该这样学》习题2.C 17.

上面的题目很容易就能找到一个反例，如 $U_1=<(1,0,0)>, U_2=<(0,1,0)>, U_3=<(1,1,0)>$ 。

在此，我想记录一点小想法：关于为什么公式不成立。

我们知道对于集合有容斥原理，
$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$
从上述两个集合的公式加上集合的运算定律也可以推得三个集合的公式，
$\begin{align*} \text{card}(A \cup B \cup C) &= \text{card}(A \cup B)+ \text{card}(C) - \text{card}((A \cup B) \cap C) \\ &= \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) + \text{card}(C) - \text{card}((A \cap C)\cup (B \cap C)) \\ &= \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap C) -\text{card}(B \cap C) + \text{card}((A \cap C) \cap (B \cap C) ) \\ &= \text{card}(A) + \text{card}(B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap B)- \text{card}(A \cap C) -\text{card}(B \cap C) + \text{card}(A \cap B \cap C ) \end{align*}$
如果我们草率的模仿上述过程推导三个向量空间的和的维数公式是不合适的。

这是因为上面用到了集合的运算定律： $(A\cup B)\cap C=(A \cap C)\cup (B \cap C)$ 等。但这些运算定律是争对交并补运算的，在子集/子空间的和运算中是没有这样的运算定律的。如，令 $A=U_1,B=U_2,C=U_3$ ，衍生出的“运算定律” $(A+B)\cap C=(A\cap C)+(B \cap C)$ 显然是错误的。

归根结底，和运算与并运算仅仅是看起来相像。两个向量空间的和可以使得一个原本不在他们里面的某个元素，变得在他们的和空间里面；但是集合的并不能做到这样的事情。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 199,711评论 5赞 468
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 83,932评论 2赞 376
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 146,770评论 0赞 330
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 53,799评论 1赞 271
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 62,697评论 5赞 359
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,069评论 1赞 276
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,535评论 3赞 390
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,200评论 0赞 254
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,353评论 1赞 294
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,290评论 2赞 317
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,331评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,020评论 3赞 315
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,610评论 3赞 303
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,694评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 30,927评论 1赞 255
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,330评论 2赞 346
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 41,904评论 2赞 341

向量空间的和与集合的并

推荐阅读更多精彩内容