高考数学解析几何大题：天津卷2011年~2021年

2011年理数天津卷题18

分值：13分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P(a,b)(a \gt b \gt 0)$ 为动点， $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的左、右焦点. 已知 $\triangle F_1PF_2$ 为等腰三角形.

（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（Ⅱ）设直线 $PF_2$ 与椭圆相交于 $A,B$ 两点， $M$ 是直线 $PF_2$ 上的点，满足 $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} =-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程.·

2012年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右顶点分别为 $A,B$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点.

（Ⅰ）若直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $|AP| = |OA|$ ，证明直线 $OP$ 的斜率 $k$ 满足 $|k| \gt \sqrt{3}$ .

2013年理数天津卷题18

分值：13分

设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ .

（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 $A、B$ 分别为椭圆的左、右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C,D$ 两点. 若 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} =8$ ，求 $k$ 的值.

2014年理数天津卷题18

分值：13分
椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ; 右顶点为 $A$ , 上顶点为 $B$ . 已知 $|AB| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}|F_1F_2|$ .
（I）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 $PB$ 为直径的圆经过点 $F_1$ , 经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切. 求直线 $l$ 的斜率.

2015年理数天津卷题19

分值：14分

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F(-c,0)$ , 离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . 点 $M$ 在圆上且位于第一象限，直线 $FM$ 被圆 $x^2+y^2=\dfrac{b^2}{4}$ 截得的线段的长为 $c$ , $|FM|=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ .
（I）求直线 $FM$ 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 $P$ 在椭圆上, 若直线 $FP$ 的斜率大于 $\sqrt{2}$ , 求直线 $OP$ ( $O$ 为原点) 的斜率的取值范围.

2016年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3} =1(a\gt \sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ .

已知 $\dfrac{1}{|OF|} + \dfrac{1}{|OA|} =\dfrac{3e}{|FA|}$ ，其中 $O$ 为原点， $e$ 为椭圆的离心率.

（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $B$ （ $B$ 不在 $x$ 轴上），垂直于 $l$ 的直线与 $l$ 交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $H$ . $BF\perp HF$ ，且 $\angle MOA \leqslant \angle MAO$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

2017年天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a\gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，离心率为 $\dfrac{1}{2}$ . 已知 $A$ 是抛物线 $y^2=2px(p \gt 0)$ 的焦点， $F$ 到抛物线的准线 $l$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设 $l$ 上两点 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AP$ 与椭圆相交于点 $B$ （ $B$ 异于点 $A$ ），直线 $BQ$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$ . 若 $\triangle APD$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $AP$ 的方程.

2018年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ . 已知椭圆的离心率为 $\dfrac{5}{3}$ ，点 $A$ 的坐标为 $(b,0)$ , 且 $|FB|\cdot|AB|=6\sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 $l:y=kx(k \gt 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为 $P$ ，且 $l$ 与直线 $AB$ 交于点 $Q$ . 若 $\dfrac{|AQ|}{|PQ|}=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\sin\angle AOQ$ （ $O$ 为原点），求 $k$ 的值.

2019年理数天津卷题18

分值：13分

设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ , 上顶点为 $B$ . 已知椭圆的短轴长为 $4$ , 离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ .
（I）求椭圆的方程:
（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上, 且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与轴的交点. 点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上. 若 $|ON|=|OF|$ ( $O$ 为原点), 且 $OP\perp MN$ , 求直线 $PB$ 的斜率.

2020年理数天津卷题18

分值：15分

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的一个顶点为 $A(0,-1)$ , 右焦点为 $F$ , 且 $|OA|=|OF|$ , 其中 $O$ 为原点.

（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 $C$ 满足 $3 \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OF}$ , 点 $B$ 在椭圆上( $B$ 异于椭圆的顶点) 直线 $AB$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ , 且 $P$ 为线段 $AB$ 的中点,求直线 $AB$ 的方程.

2021年理数天津卷题18

分值：15分

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的右焦点为 $F$ , 上顶点为 $B$ , 离心率为 $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ , 且 $|BF|=\sqrt{5}$ .
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$ , 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ . 过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$ . 若 $MP//BF$ ,求直线 $l$ 的方程.

最后编辑于：2023.01.07 18:14:18

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