给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
1. 暴力法：合并两个正序数组，生成新的有序数组，取中位 **时间复杂度不合题目要求**
时间复杂度：O( (m+n)(1+log(m+n) ))
<1 将长度为m,n的两个数组添加到list，复杂度分别为常数级的m和n
<2 list.Sort()的复杂度根据官方文档可得为 (m+n)log(m+n)
所以该方法时间复杂度为 O( m+n+(m+n)log(m+n) ) = O( (m+n)(1+log(m+n) ))
执行用时：156 ms , 内存消耗：27.8 MB
public class Solution {
public double FindMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
List<int> list = new List<int>(nums1);
list.AddRange(nums2);
list.Sort();
if (list.Count % 2 == 0)
{
return (list[list.Count / 2 - 1] + list[list.Count / 2]) / 2.0;
}
return list[list.Count / 2];
}
}
2. 二分查找法 : 出现log的时间复杂度，一般都是二分查找法 **时间复杂度合题目要求**
时间复杂度：O( log(m+n) )
执行用时：148 ms, 内存消耗：27.8 MB
<1 不等式关系+二分查找
public double FindMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
//确保A长度小于等于B
if (A.Length > B.Length)
{
int[] temp = A;
A = B;
B = temp;
}
int iStart = 0;
int iEnd = A.Length;
//正常范围内
while (iStart <= iEnd)
{
int i = (iStart + iEnd) / 2;//取中间索引 二分查找法
//在索引i位置将A切为两半,A左半部分长度为i,右半部分为A.length-i;
//在索引j位置将B切为两半,B左半部分长度为j,右半部分长度为B.length-j;
//将A左半部分与B左半部分相加,A右半部分与B右半部分相加 有i+j=A.length-i+B.length-j 或A.length-i+B.length-j+1;
//整合得到j的表达式
int j = (A.Length + B.Length + 1 - 2 * i) / 2;
//找到中位数时存在以下不等式关系
//此时i偏小 继续二分查找并增大i
if (i < iEnd && B[j - 1] > A[i])
{
iStart = i + 1;
}
//i偏大
else if (i > iStart && A[i - 1] > B[j])
{
iEnd = i - 1;
}
//满足条件
else
{
//边界值
int maxLeft = 0;
if (i == 0)
{
maxLeft = B[j - 1];
}
else if (j == 0)
{
maxLeft = A[i - 1];
}
else
{
maxLeft = Math.Max(A[i - 1], B[j - 1]);
}
//奇数情况
if ((A.Length + B.Length) % 2 == 1)
{
return maxLeft;
}
//边界值
int minRight = 0;
if (i == A.Length)
{
minRight = B[j];
}
else if (j == B.Length)
{
minRight = A[i];
}
else
{
minRight = Math.Min(B[j], A[i]);
}
//偶数情况
return (maxLeft + minRight) / 2.0;
}
}
return 0.0;
}
<2 官方解法：
回顾一下中位数的定义，如果某个有序数组长度是奇数，那么其中位数就是最中间那个，如果是偶数，那么就是最中间两个数字的平均值。这里对于两个有序数组也是一样的，假设两个有序数组的长度分别为m和n，由于两个数组长度之和 m+n 的奇偶不确定，因此需要分情况来讨论，对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。
为了简化代码，不分情况讨论，我们使用一个小trick，我们分别找第 (m+n+1) / 2 个，和 (m+n+2) / 2 个，然后求其平均值即可，这对奇偶数均适用。加入 m+n 为奇数的话，那么其实 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相当于两个相同的数字相加再除以2，还是其本身。
定义一个函数来在两个有序数组中找到第K个元素，下面重点来看如何实现找到第K个元素。首先，为了避免产生新的数组从而增加时间复杂度，我们使用两个变量i和j分别来标记数组nums1和nums2的起始位置。然后来处理一些边界问题，比如当某一个数组的起始位置大于等于其数组长度时，说明其所有数字均已经被淘汰了，相当于一个空数组了，那么实际上就变成了在另一个数组中找数字，直接就可以找出来了。还有就是如果K=1的话，那么我们只要比较nums1和nums2的起始位置i和j上的数字就可以了。
难点就在于一般的情况怎么处理？因为我们需要在两个有序数组中找到第K个元素，为了加快搜索的速度，我们要使用二分法，对K二分，意思是我们需要分别在nums1和nums2中查找第K/2个元素，注意这里由于两个数组的长度不定，所以有可能某个数组没有第K/2个数字，所以我们需要先检查一下，数组中到底存不存在第K/2个数字，如果存在就取出来，否则就赋值上一个整型最大值。如果某个数组没有第K/2个数字，那么我们就淘汰另一个数字的前K/2个数字即可。有没有可能两个数组都不存在第K/2个数字呢，这道题里是不可能的，因为我们的K不是任意给的，而是给的m+n的中间值，所以必定至少会有一个数组是存在第K/2个数字的。最后就是二分法的核心啦，比较这两个数组的第K/2小的数字midVal1和midVal2的大小，如果第一个数组的第K/2个数字小的话，那么说明我们要找的数字肯定不在nums1中的前K/2个数字，所以我们可以将其淘汰，将nums1的起始位置向后移动K/2个，并且此时的K也自减去K/2，调用递归。反之，我们淘汰nums2中的前K/2个数字，并将nums2的起始位置向后移动K/2个，并且此时的K也自减去K/2，调用递归即可。
public class Solution {
public double FindMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.Length;
int n = nums2.Length;
int left = (m + n + 1) / 2;
int right = (m + n + 2) / 2;
return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
}
//i: nums1的起始位置 j: nums2的起始位置
public int findKth(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k){
if( i >= nums1.Length) return nums2[j + k - 1];//nums1为空数组
if( j >= nums2.Length) return nums1[i + k - 1];//nums2为空数组
if(k == 1){
return Math.Min(nums1[i], nums2[j]);
}
int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.Length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : int.MaxValue;
int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.Length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : int.MaxValue;
if(midVal1 < midVal2){
return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j , k - k / 2);
}else{
return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2 , k - k / 2);
}
}
}
