一、如何表示一个词语的意思
在计算机中如何表示一个词的意思
过去几个世纪里一直用的是分类词典。计算语言学中常见的方式是WordNet那样的词库。比如NLTK中可以通过WordNet查询熊猫的上位词就可以得到“食肉动物”“动物”之类的上位词。也可以查询“good”的同义词——“just”(品格好)、“ripe”（熟了）。
语义词典存在的问题
这种discrete representation虽然是种语言学资源，但丢失了韵味。比如这些同义词的意思实际上还是有微妙的差别：adept、expert、good、practiced、proficient、skillful
会错过一些新词，几乎不可能做到及时更新: wicked, badass, nifty, crack, ace, wizard, genius, ninjia
有一定的主观倾向
需要大量的人力物力
很难用来计算两个词语的相似度
One-hot Representation
无论是规则学派，还是统计学派，绝大多数NLP学家都将词语作为最小单位。事实上，词语只是词表长度的one-hot向量，这是一种localist representation（大概是借用localist“局部”的意项）。
使用One-hot 表示，就会导致在不同的语料中，词表大小不同。例如Google的1TB语料词汇量是1300万，做One-hot后的向量就太长了。
而且使用One-hot 表示会导致任意两个词之间都是孤立的，光从这两个向量中看不出两个词是否有关系，比如king和queen。而one-hot向量是正交的，无法通过任何运算得到相似度。
Distributional similarity based representations
语言学家J. R. Firth提出，通过一个单词的上下文可以得到它的意思。J. R. Firth甚至建议，如果你能把单词放到正确的上下文中去，才说明你掌握了它的意义。
使用共现矩阵(Co-occurrence matrix)使用上下文来表示单词。
基于窗口的共现矩阵的一个简单例子：
- 窗口长度是1（一般是5-10）
- 对称（左右内容无关）
语料样例
- I like deep learning.
- I like NLP.
- I enjoy flying
现在，我们可以用矩阵的行向量来计算word之间的相似度了。
然而， 这种定义方式得到的词向量的维度等于词典的大小。这意味着，我们需要大量的空间来存储这些高维的词向量。同时，伴随着高维向量出现的数据稀疏性问题，也使得基于这些词向量的机器学习模型的训练变得异常困难。
简单来说，co-occurrence矩阵定义的词向量在一定程度上缓解了one-hot向量相似度为0的问题，但没有解决数据稀疏性和维度灾难的问题。
解决方案：
1、SVD分解：低维词向量的间接学习
既然基于co-occurrence矩阵得到的离散词向量存在着高维和稀疏性的问题，一个自然而然的解决思路是对原始词向量进行降维，从而得到一个稠密的连续词向量。然而，高昂的计算复杂度（O(mn2)）是SVD算法的性能瓶颈。这对于现在动辄上百万甚至上亿数据量的语料库而言，是一笔巨大的计算开销。更不用说每一个新词的加入都需要在一个新的矩阵上重新运行一遍SVD分解。此外，后面我们会看到，SVD算法和其他Deep Learning模型本质上是属于两类不同的学习算法。
2、word2vec：低维词向量的直接学习
word2vec模型背后的基本思想是对出现在上下文环境里的词进行预测。对于每一条输入文本，我们选取一个上下文窗口和一个中心词，并基于这个中心词去预测窗口里其他词出现的概率。因此，word2vec模型可以方便地从新增语料中学习到新增词的向量表达，是一种高效的在线学习算法（online learning）。
二、word2vec
word2vec的主要思路：通过单词和上下文彼此预测
两个算法：
- Skip-grams (SG)：预测上下文
- Continuous Bag of Words (CBOW)：预测目标单词
两种稍微高效一些的训练方法：
- Hierarchical softmax
- Negative sampling
1. Skip-grams原理和网络结构
Word2Vec模型中，主要有Skip-Gram和CBOW两种模型，从直观上理解，Skip-Gram是给定input word来预测上下文。而CBOW是给定上下文，来预测input word。
Word2Vec模型实际上分为了两个部分，第一部分为建立模型，第二部分是通过模型获取嵌入词向量。
Word2Vec的整个建模过程实际上与自编码器（auto-encoder）的思想很相似，即先基于训练数据构建一个神经网络，当这个模型训练好以后，我们并不会用这个训练好的模型处理新的任务，我们真正需要的是这个模型通过训练数据所学得的参数，例如隐层的权重矩阵——后面我们将会看到这些权重在Word2Vec中实际上就是我们试图去学习的“word vectors”。
Skip-grams过程
假如我们有一个句子“The dog barked at the mailman”。
首先我们选句子中间的一个词作为我们的输入词，例如我们选取“dog”作为input word；
有了input word以后，我们再定义一个叫做skip_window的参数，它代表着我们从当前input word的一侧（左边或右边）选取词的数量。如果我们设置skip_window=2，那么我们最终获得窗口中的词（包括input word在内）就是['The', 'dog'，'barked', 'at']。skip_window=2代表着选取左input word左侧2个词和右侧2个词进入我们的窗口，所以整个窗口大小span=2x2=4。另一个参数叫num_skips，它代表着我们从整个窗口中选取多少个不同的词作为我们的output word，当skip_window=2，num_skips=2时，我们将会得到两组 (input word, output word) 形式的训练数据，即 ('dog', 'barked')，('dog', 'the')。
神经网络基于这些训练数据将会输出一个概率分布，这个概率代表着我们的词典中的每个词作为input word的output word的可能性。这句话有点绕，我们来看个例子。第二步中我们在设置skip_window和num_skips=2的情况下获得了两组训练数据。假如我们先拿一组数据 ('dog', 'barked') 来训练神经网络，那么模型通过学习这个训练样本，会告诉我们词汇表中每个单词当'dog'作为input word时，其作为output word的可能性。
也就是说模型的输出概率代表着到我们词典中每个词有多大可能性跟input word同时出现。例如：如果我们向神经网络模型中输入一个单词“Soviet“，那么最终模型的输出概率中，像“Union”， ”Russia“这种相关词的概率将远高于像”watermelon“，”kangaroo“非相关词的概率。因为”Union“，”Russia“在文本中更大可能在”Soviet“的窗口中出现。
我们将通过给神经网络输入文本中成对的单词来训练它完成上面所说的概率计算。下面的图中给出了一些我们训练样本的例子。我们选定句子“The quick brown fox jumps over lazy dog”，设定我们的窗口大小为2（window_size=2），也就是说我们仅选输入词前后各两个词和输入词进行组合。下图中，蓝色代表input word，方框内代表位于窗口内的单词。
我们的模型将会从每对单词出现的次数中习得统计结果。例如，我们的神经网络可能会得到更多类似（“Soviet“，”Union“）这样的训练样本对，而对于（”Soviet“，”Sasquatch“）这样的组合却看到的很少。因此，当我们的模型完成训练后，给定一个单词”Soviet“作为输入，输出的结果中”Union“或者”Russia“要比”Sasquatch“被赋予更高的概率。
PS：input word和output word都会被我们进行one-hot编码。仔细想一下，我们的输入被one-hot编码以后大多数维度上都是0（实际上仅有一个位置为1），所以这个向量相当稀疏，那么会造成什么结果呢。如果我们将一个1 x 10000的向量和10000 x 300的矩阵相乘，它会消耗相当大的计算资源，为了高效计算，它仅仅会选择矩阵中对应的向量中维度值为1的索引行：
2. Skip-grams训练和negative sampling
由上部分可知，Word2Vec模型是一个超级大的神经网络（权重矩阵规模非常大）。例如：我们拥有10000个单词的词汇表，我们如果想嵌入300维的词向量，那么我们的输入-隐层权重矩阵和隐层-输出层的权重矩阵都会有 10000 x 300 = 300万个权重，在如此庞大的神经网络中进行梯度下降是相当慢的。更糟糕的是，你需要大量的训练数据来调整这些权重并且避免过拟合。百万数量级的权重矩阵和亿万数量级的训练样本意味着训练这个模型将会是个灾难
解决方案：
- 将常见的单词组合（word pairs）或者词组作为单个“words”来处理
- 对高频次单词进行抽样来减少训练样本的个数
- 对优化目标采用“negative sampling”方法，这样每个训练样本的训练只会更新一小部分的模型权重，从而降低计算负担
Word pairs and "phases"
一些单词组合（或者词组）的含义和拆开以后具有完全不同的意义。比如“Boston Globe”是一种报刊的名字，而单独的“Boston”和“Globe”这样单个的单词却表达不出这样的含义。因此，在文章中只要出现“Boston Globe”，我们就应该把它作为一个单独的词来生成其词向量，而不是将其拆开。同样的例子还有“New York”，“United Stated”等。
在Google发布的模型中，它本身的训练样本中有来自Google News数据集中的1000亿的单词，但是除了单个单词以外，单词组合（或词组）又有3百万之多。
对高频词抽样
在上一部分中，对于原始文本为“The quick brown fox jumps over the laze dog”，如果使用大小为2的窗口，那么我们可以得到图中展示的那些训练样本。
但是对于“the”这种常用高频单词，这样的处理方式会存在下面两个问题：
当我们得到成对的单词训练样本时，("fox", "the") 这样的训练样本并不会给我们提供关于“fox”更多的语义信息，因为“the”在每个单词的上下文中几乎都会出现
由于在文本中“the”这样的常用词出现概率很大，因此我们将会有大量的（”the“，...）这样的训练样本，而这些样本数量远远超过了我们学习“the”这个词向量所需的训练样本数
Word2Vec通过“抽样”模式来解决这种高频词问题。它的基本思想如下：对于我们在训练原始文本中遇到的每一个单词，它们都有一定概率被我们从文本中删掉，而这个被删除的概率与单词的频率有关。
ωi 是一个单词，Z(ωi) 是 ωi 这个单词在所有语料中出现的频次，例如：如果单词“peanut”在10亿规模大小的语料中出现了1000次，那么 Z(peanut) = 1000/1000000000 = 1e - 6。
P(ωi) 代表着保留某个单词的概率：
negative sampling
训练一个神经网络意味着要输入训练样本并且不断调整神经元的权重，从而不断提高对目标的准确预测。每当神经网络经过一个训练样本的训练，它的权重就会进行一次调整。
所以，词典的大小决定了我们的Skip-Gram神经网络将会拥有大规模的权重矩阵，所有的这些权重需要通过数以亿计的训练样本来进行调整，这是非常消耗计算资源的，并且实际中训练起来会非常慢。
负采样（negative sampling）解决了这个问题，它是用来提高训练速度并且改善所得到词向量的质量的一种方法。不同于原本每个训练样本更新所有的权重，负采样每次让一个训练样本仅仅更新一小部分的权重，这样就会降低梯度下降过程中的计算量。
当我们用训练样本 ( input word: "fox"，output word: "quick") 来训练我们的神经网络时，“ fox”和“quick”都是经过one-hot编码的。如果我们的词典大小为10000时，在输出层，我们期望对应“quick”单词的那个神经元结点输出1，其余9999个都应该输出0。在这里，这9999个我们期望输出为0的神经元结点所对应的单词我们称为“negative” word。
当使用负采样时，我们将随机选择一小部分的negative words（比如选5个negative words）来更新对应的权重。我们也会对我们的“positive” word进行权重更新（在我们上面的例子中，这个单词指的是”quick“）。
PS: 在论文中，作者指出指出对于小规模数据集，选择5-20个negative words会比较好，对于大规模数据集可以仅选择2-5个negative words。
我们使用“一元模型分布（unigram distribution）”来选择“negative words”。个单词被选作negative sample的概率跟它出现的频次有关，出现频次越高的单词越容易被选作negative words。
每个单词被选为“negative words”的概率计算公式：
其中 f(ωi)代表着单词出现的频次，而公式中开3/4的根号完全是基于经验的。
在代码负采样的代码实现中，unigram table有一个包含了一亿个元素的数组，这个数组是由词汇表中每个单词的索引号填充的，并且这个数组中有重复，也就是说有些单词会出现多次。那么每个单词的索引在这个数组中出现的次数该如何决定呢，有公式，也就是说计算出的负采样概率*1亿=单词在表中出现的次数。
有了这张表以后，每次去我们进行负采样时，只需要在0-1亿范围内生成一个随机数，然后选择表中索引号为这个随机数的那个单词作为我们的negative word即可。一个单词的负采样概率越大，那么它在这个表中出现的次数就越多，它被选中的概率就越大。
3. Hierarchical Softmax
霍夫曼树
输入：权值为(w1,w2,...wn)的n个节点
输出：对应的霍夫曼树
将(w1,w2,...wn)看做是有n棵树的森林，每个树仅有一个节点
在森林中选择根节点权值最小的两棵树进行合并，得到一个新的树，这两颗树分布作为新树的左右子树。新树的根节点权重为左右子树的根节点权重之和
将之前的根节点权值最小的两棵树从森林删除，并把新树加入森林
重复步骤 2 和 3 直到森林里只有一棵树为止
下面我们用一个具体的例子来说明霍夫曼树建立的过程，我们有(a，b，c，d，e，f)共6个节点，节点的权值分布是(16，4，8，6，20，3)。
首先是最小的b和f合并，得到的新树根节点权重是7.此时森林里5棵树，根节点权重分别是16，8，6，20，7。此时根节点权重最小的6，7合并，得到新子树，依次类推，最终得到下面的霍夫曼树。
那么霍夫曼树有什么好处呢？一般得到霍夫曼树后我们会对叶子节点进行霍夫曼编码，由于权重高的叶子节点越靠近根节点，而权重低的叶子节点会远离根节点，这样我们的高权重节点编码值较短，而低权重值编码值较长。这保证的树的带权路径最短，也符合我们的信息论，即我们希望越常用的词拥有更短的编码。如何编码呢？一般对于一个霍夫曼树的节点（根节点除外），可以约定左子树编码为0，右子树编码为1。如上图，则可以得到c的编码是00。
在word2vec中，约定编码方式和上面的例子相反，即约定左子树编码为1，右子树编码为0，同时约定左子树的权重不小于右子树的权重。
更多原理可参考：霍夫曼树原理
Hierarchical Softmax过程
为了避免要计算所有词的softmax概率，word2vec采样了霍夫曼树来代替从隐藏层到输出softmax层的映射。
霍夫曼树的建立：
- 根据标签（label）和频率建立霍夫曼树（label出现的频率越高，Huffman树的路径越短）
- Huffman树中每一叶子结点代表一个label
如上图所示：
注意：此时的theta是一个待定系数，它是由推导最大似然之后求解得到迭代式子。
三、word2vec数学推导
word2vec的主要思路:
- 预测一个窗口长度为c的窗口内每个单词的周边单词概率
- 目标函数：对于一个中心词，最大化周边任意单词的log概率
一个词出现在另一个词的上下文语境里的条件概率可以表示为：
其中：v_wO 和v_wI 是分别是 wO 和 wI 的词向量表示
这两个矩阵都含有V个词向量，也就是说同一个词有两个词向量，哪个作为最终的、提供给其他应用使用的embeddings呢？有两种策略，要么加起来，要么拼接起来。W中的向量叫input vector，W'中的向量叫output vector。
接下去就是推导梯度下降的过程：
使用Hierarchical Softmax和Negative Sampling的推导参考
