一：等差数列
相邻两数的差值为常数：1，3，5，7，9，11（差值为固定2）
相邻两数的差值为等差数列：1，2，5，10，17，26（差值为：1，3，5，7，9）
相邻两数分子、分母分别为等差数列：2/3，3/4，4/5，5/6，6/7
相邻奇数和偶数分别为等差数列：1，3，3，5，7，9，13，15（可看成：1，3，7，13；3，5，9，15）
二：等比数列
相邻两数的比值为常数：12，4，4/3，4/9
相邻两数的差值为等比数列：4，6，10，18，34（2，4，8，16）
相邻两数的比值为特殊排列数字：8，12，24，60（2/3，2/4，2/5）
间隔两数的差值或者比值相等：26，11，31，6，36，1，41（5）
等差数列与等比数列混合排列：5，3，10，6，15，12（等差5，等比2）
三：加减法规律
前两数或者三个数相加等于下一个数，相加的项数固定：2，4，6，10，16
前一个数减去后面一位或者两位数等于下一个数，相减的项数固定：25，16，9，7，2，5
四：乘除法规律
相邻两数成绩等于下一位数：2，4，8，32，256
前一位数乘以当前位下标等于当前数值：2，4，12，48，240
相邻两数的比值成等差数列：3，3，6，18，72
五：平方规律
各位数+n，-n之后形成n^2+n的规律：0，3，8，15，24
自身的平方减去前一项等于下一项：1，2，3，7，46
六：立方规律
各位数的开立方后的数成等差数列：343，216，125，64
各位数+n，-n之后形成n^3+n的规律：0，6，24，60，120，210
前一位的立方加上固定常数等于下一位：0，1，2，9，730
七：常见数的平方与立方
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,5^2=25,6^2=36,7^2=49,8^2=64,9^2=81
1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729
八：奇偶特性
任意两数的和或者差为偶数，则同为奇偶数；若为奇数，则奇偶相反；
任意两数的和为奇数，则差为奇数；若为偶数，则差为偶数；
九：比例特性
当题目较难计算时，又出现了比例数、百分数等条件时，可以考虑倍数特性
如a:b=m:n(m,n互质)，则a是m的倍数，b是n的倍数
如a:b=m:n(m,n互质)，a_+b是m_+n的倍数
十：整除特性
当题目涉及到求和问题较难计算时，可以考虑3，9的整除性；一个数能被3整除，当且仅当各位数之和能被3整除；一个数能被9整除当且仅当各位数之和能被9整除；
十一：代入排除法
常用题型:多位数问题、年龄问题、和差倍比问题及较复杂类型问题。
可用题型:不定方程问题、费用问题、同余问题、周期问题、复杂行程问题等
当题目涉及数位、小数点的移动，数的大小类等问题时，直接考虑代入排除法;
当题目涉及年龄差时，注意无论多少年后，年龄差不变，为定值;
当题目涉及年龄倍数时，随着年龄的增长，年龄倍数会越来越小;
当题目涉及两个人年龄的对话时，即将此年龄段平均分成三等份，利用等差数列解决；
当问题比较抽象，无任何思路时，可以考虑代入排除法；
十二：赋值法
赋值法常用题型:工程问题、费用问题、行程问题、多元不定方程等。
十三：工程问题
工程总量=工程时间*工作效率
十四：多边关系
三角形三边关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
多边形各边关系
任意一边长度小于剩余各边长之和
多边形内角和：(n-2)*180
十五：时间问题
对于某些星期日期问题中会问“N 年后的今天是星期几”,我们可以牢记口诀“过 N 年加 N 天,闰日再加 1”。也就是 说如果 N 年中有 M 个闰日(2 月 29 日),那么,题目相当于在问过 N+M 天后是星期几，闰年4年一闰，百年不闰，四百年在闰
十六：钟表问题
钟表一圈分成了 12 格,每格 30°。
每小时,时针转 1 格 30°,分针转 12 格 360°(1 圈);
每分钟,时针转 0.5°,分针转 6°
钟表追及问题本质上讲与行程问题中的追及问题一样:
分针追上时针的度数=追及时间×5.5°;
追及时间=分针与时针的度数差÷5.5°
十七：溶液问题
溶质=溶液*浓度，加水后溶质不变
溶液=溶质+溶剂
两种溶液相混合，则有:
混合溶液浓度=(溶液 A 的溶质+溶液 B 的溶质)÷(溶液 A+溶液 B)
两种溶液混合，混合溶液的浓度一定介于溶液 A 和溶液
十八：经济利润问题
基础公式
总售价(总收入)=单价×销售量;
总利润=单件利润×销售量
利润=售价-成本
利润率=利润/成本=售价-成本/成本=售价/成本-1
售价=成本×(1+利润率)
成本=售价/1+利润率
部分打折
实际总收入(利润)=未打折部分收入(利润)+打折部分收入(利润)
十九：排列组合问题
加法原理:分类用加法，适用于分不同情况讨论的情形。
乘法原理:分步用乘法，适用于分步骤进行的情形。
捆绑法
特征:“相邻”“在一起”
方法:先将相邻的主体捆绑在一起，再将它们视为一个整体与其他主体进行全排列。
插空法
特征:“不相邻”“不在一起”
方法:先将其他主体排好，再将不相邻的主体进行插空
六个人中随意挑选两个有6*5/2=15种选法，一定选到某一元素的有5种选法，所以概率为5/15=1/3
结论：将m个相同的物品，分给n个人，每个人至少得1个，则共有Cn-1 m-1种分配方法。
错位排列问题
结论:有 N 个信封 N 封信，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法种数记为 Dn，则 D1=0，D2=1，D3=2，D4=9， D5=44......
Dn+1=n*(Dn-1+Dn)
圆型排列问题
结论:n个人排成一圈，则有An n/n=An-1 n-1种排法。A55=5*4*3*2*1
圆型排列，五个人排列方法共有A4 4=4×3×2×1=24(种)。
概率问题
概率=满足条件的个数/总个数
二十：最值问题
最不利构造：
特征：至少...保证...
方法：最不利情形+1
多集合反向构造:
特征：都...至少...
方法：反向、求和、做差
数列构造
特征:“排名第......最(至)......”“最......最(至)......”
方法:排序———定位———构造———加和
二十一：速度问题
距离=速度*时间
火车通过整座大桥，从车头上桥至车尾离桥，行进路程 S=桥长+车长=速度×时间; 火车在整座大桥上，从车尾上桥至车头离桥，行进路程 S=桥长-车长=速度×时间。
等距离平均速度核心公式:- V=2v1v2/v1+v2
相遇问题：相遇路程=（大速度+小速度）* 时间
追赶问题：追赶路程=（大速度-小速度）* 时间
环形相遇型：
同向环形问题:追上 N 圈时，N 圈跑道长度=(甲速度-乙速度)×追及时间
反向/背向环形问题:相遇 N 圈时，N 圈跑道长度=(甲速度+乙速度)×相遇时间
直线往返相遇型：
如果两人分别从两端出发:
那么两人第 N 次迎面相遇，路程和=全程×(2N-1);
第 N 次追上相遇，路程差=全程×(2N-1)。
如果两人从同一点出发:
那么两人第 N 次迎面相遇，路程和=全程×2N;
第 N 次追上相遇，路程差=全程×2N。
流水问题
顺流路程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间=(船速-水速)×逆流时间
路程相同，速度和时间成反比;
时间相同，速度和路程成正比。
二十二：牛吃草问题
方法:套公式，列方程。
公式:y=(N-x)×T
y:原有的总量(比如“原有的草量”)
T:完全消耗所需的时间
N:促使原有总量减少的变量(比如“牛数”) x:单位时间内的增长量(比如“草的生长速度”)。 题目特征:给出两组对应的 T、N;本质:两个变量影响原有总量的变化。 理论要点
1 基本公式型
y=(N-x)×T
二十三：容斥原理
两集合容斥问题
总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB
三集合容斥问题
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-aa-2×bb
(其中aa表示满足两种的个数;bb表示三者都满足的个数)
