1. 实数的组成
实数()由有理数(
)和无理数组成,
其中 ,
无理数= \
2. 无理数的历史
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
3. 实数的定义
3.1 集合分化
,则称集合
和集合
为集合
的一个分化
3.2 戴德金分化
分化为集合
和集合
两个集合,
,对于任意
,均有a<b;
上述分化称为戴德金分化.
完成一次戴德金分化会可能会出现如下三种情况:
a. 集合中有最大值,集合
中无最小值;
b. 集合中无最小值,集合
中有最大值;
c. 集合中无最小值,集合
中无最大值;
对于a和b两种情况,由于分化点分别落在集合和集合
中，所以分化点为有理数，所以称本次分化操作为有理分化,
对于情况c,由于分化点不属于A也不属于集合B,又因为,所以分化点不属于
,因此称本次分化操作为无理分化.
综上所述,每次分化均会产生一个分化点,无理分化会产生一个无理数,有理分化会产生一个有理数.
穷举上述分化,即可得到全部实数.
4. 实数的性质
4.1 稠密性(完备性)
4.2 有序性
5. 元素数量的比较
5.1 集合的势
集合中元素的个数称为势,如果集合能够和集合
建立一一对应关系,则称集合
和集合
等势.
集合间的等势具有传递性.即集合和集合
等势,则集合
和集合
等式则集合
和集合
等式.
5.2 自然数个数 与整数个数 一样多
对于自然数和整数可以建立如下对应关系:
: -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 -5 5……
: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……
所以 自然数与整数 等势，即自然数个数 与 整数个数一样多
