大家好，我是宝刀君，是一名将军，也许你不了解我，但你只要知道我是像令狐冲大侠那样潇洒自由的将军就足够了，很高兴，我们又在知乎上见面了。

是不是有点看不清晰？

算了，重新上传个高清的吧，诺，就是这样：

在攻打完上一仗：洛必达法则失效的情况有哪些？ - 知乎之后，我和我的小伙伴们经过短暂的调理休息，我们又重新出发了。

本来我们大部队是按计划继续往前走的，但谁知走到五霸岗这个地儿，我们就收了同伴发来的的大雕传书。

雕哥平时很威猛的，不知为啥，这次一见到我们，显得很疲惫，我们走进去一看，才发现大雕哥的脚丫子那儿充满了血迹，带来的传书也被鲜血浸泡的成为了黑红色。

“辣眼睛啊，好怕好怕”！助理惊叫了一声。

此情此景，我马上吩咐助理：“让队伍停止前进，就地安营，等候前进命令”，我自己走到雕哥面前，伸手打开了传书，看看伙伴到底是遭遇了什么事？

信纸打开，上面的第一行“第二型曲线积分的计算”赫然在目，紧跟其后的第二行字是“含奇点的格林公式怎么破？”！

刹那间，我突然明白为什么伙伴们会发出求助信号了，我突然明白为什么雕哥会疲惫不堪的躺在那儿了。

又是那魔头考研数学派的小弟！

真没想到这厮这次竟然大下黑手，派出对大部分人来讲都挺难的家伙（格林公式）来坑害我的同伴！真是可恶至极！

不行，我不能坐视不理，我的同伴既然能像我发出求救信号，这说明他信得过我，毕竟人在危难时刻发出求救时的对象，都是他自己觉得最能帮他的人。

原来这就是信任的力量！我瞬间觉得自己有一种使命感！

“助理，去叫一下咱们的智囊团，我们接下来研究研究对策，记住，一定要把格林前辈请来”。

“是的，将军”

不一会儿，我的营帐里坐满了所有的智囊团，所有数学系的顶尖大牛聚集在一起，场面异常壮观！

很快，我就发表了自己针对此事的观点：

“各位数学系的大牛老师们，咱们这次遇到了了同行伙伴的求助，这次敌人“考研数学”派出了2大悍将，一个是“第二型曲线积分的计算，另一个是含奇点的格林公式怎么破？相信诸位已经看到了，同伴已被敌方打的伤痕累累，既然咱们都是同道中人，那就应该同仇敌忾，互相帮助，本将军打算先就地解决完这个问题再走，不知各位前辈意下如何？诸位给出点意见!”

“第二型曲线积分的计算，根据我的研究，它在真题中历年只考2个点”。格林前辈坚定的说道。

“哦，2个点，哪2个点呢？”

“一个是考利用格林公式来计算曲线积分的问题，另一个是考做功与路径无关的问题，敌人虽然抛出来的是第二型曲线积分的计算，但是但凡真正遇到敌人（真正考试）那一天，要考这个点，那肯定是考格林公式的相关应用”

“格林老师，您的意思是：其实最终还是在围绕着格林公式在考？”

“对的，是这样的呢”。

格林前辈说完后，我马上陷入了沉思，我在回忆当初格林老师教我那套他自己自创的“格林公式”的刀法套路。

我还记得格林老师当时教完我之后，顺便给我说了他这套刀法的使用条件：

条件1是封闭且正向，条件2是保证函数及其偏导数在域内连续有定义，这些我都还能记得。

“格林前辈，我记得您上次讲过你创造的这套刀法，我课后亲自用过，确实很方便呢，要不我现在就拿你这套刀法上阵杀敌？”

“将军，万万不可啊！实不相瞒，我跟敌人（考研数学）也打交道了多年，对方每年怎么给我使绊子，我是一清二楚啊”

“哦，使绊子？这个怎么讲？”

“哎，将军有所不知啊！早年我在磨坊工作时，白天工作，晚上自学从布朗利(Bromley)图书馆借来的数学书籍，经过自己的潜心研究，终于自成体系！研究出专门针对第二型曲线积分的计算办法—格林公式法，这套刀法，对第二型曲线积分的计算时带来了大大的方便！”

“恩恩，格林前辈勤勉的工作，大家有目共睹，我一直很钦佩！”

“可是渐渐的，我发现，我的这套刀法使用起来有条件限制，不能随随便便乱用，如果乱用，只会导致练武之人自己走火入魔！况且近一二十年来，敌方考研数学也发现了我这个刀法的使用限制，因此经常给我使绊子”。

“奥，原来是这样啊，那老贼给你使啥绊子呢”？

“将军请看，他们经常这样限制我”

我仔细看了下，原来对方是以牙还牙啊。格林公式是用来计算第二类曲线积分的，由于它的使用有两个条件，因此敌人经常去破坏这两个条件，

“格林前辈，那您有办法破解这个吗？”

“有是有，只不过我需要支持”

“需要什么你随便讲，无论是人力、资金，我都可以尽全力去支持你”

“资金上倒是不需要，我只需要个援手，援手先给我打头阵，先帮我扫清了前方的障碍之后，我就可以施展拳脚，展现我的刀法了！”

“哦，原来是这样，那就由我来打这个头阵吧，不管怎么说，最后一次和敌人（考研数学）应战时，都是我一个人去解决的，该来的躲不去，未来这场未来3小时的厮杀，在所难免，倒不如现在就开始和他过过招！”

“将军说的在理，不过将军不要担心，只要你接下来按我说的做，咱们两联手，就可以顺利解决这类问题的呢”

“好的，没问题”

接下来，营帐里一片安静，都在听格林前辈讲话。

“老夫创造的这套刀法，凡练武之人在使用时，一定要摸着胸口问自己三个问题：

一封闭吗？

二正向吗？

三连续吗？

如果不封闭，那就加线减线，如果不正向，那就添个负号就可以，这两个都不会给我造成什么困难，真正会给我造成威胁的，其实是第三个条件的破坏—不连续！”

助理，你将大雕兄弟传来的题目拿过来，我给将军解释什么是第三个条件的破坏”。

助理呈上了敌人给的这道题：

“诸位请看，敌人这套题，积分函数是一个分式，这个函数在积分区域D内不连续，甚至无定义，这个原点就是大家平时听到的“奇点”（qi dian），我把它称为内奸。

这个内奸的存在啊，极大地限制了我这套刀法的使用，于是身边有同僚建议，把这个内奸给我挖去，把这个内奸给扣掉，把这个内奸给我阉割了！

同僚们怎么做的呢？

老夫是个有菩萨心肠的人呐，同僚们阉割奇点阉割内奸的做法让我下不了手啊，虽然同僚们是想让我出出风头，去解决这个二型曲线积分的问题，但是手刃二型曲线积分的原始办法是转化成定积分，犯不着因为要重用我一个人而造成不必要的伤亡啊！

后来，我在夜晚油灯下，仔细研究同僚的招数，惊人的发现，原来他们所谓的“挖去、扣掉、阉割” 并不是真正意义上的“挖去、扣掉、阉割”啊，这只是虚晃一枪，这里面有个循序渐进的过程，给大家造成了错觉。

诸位不妨回想一下第二型曲线积分产生的物理背景：变力沿曲线做功！

功等于什么？力乘以位移。

对于上面这个题，假设力沿着曲线做功，从起点A出发开始走，走到B点时，它其实是沿着向下的那条线往下走，绕着咱们构造的这个曲线C一圈，然后回到B点，再继续沿着原来的方向走！因为力沿着曲线向下，转一圈后又沿着曲线向上，力的大小相等，方向相反，所以这两段一下一上做功刚好抵消掉。因此，这就给大家造成一种错误的感觉：“哇，这是个奇点我取不到，所以我把它给挖去了啊”！

用图表示就是这样：

因此，事实上这里根本就没有“挖掉奇点”这一说，它本质上是对做功相等的一种路径的恒等变形！

因为对于同样一个力，沿着曲线L和沿着曲线L+C做功，数值是相等的！即：

“格林前辈，我有个问题：你里面的这个椭圆，沿着沿着图中标的逆时针方向，这是正向还是负向啊？”

一旁的助理答道：“逆时针为正向，顺时针为负向”

“这种回答是错误的”，格林前辈振振有词的说道，“正负向的判别不是以顺时针逆时针来看的，而是根据你这条曲线围成的区域，你沿着曲线走时，你的左手是不是一直在区域D内！如果是，那就是正向，如果不是，那就是负向！与顺逆时针没有一点关系！”

用图表示，就是这样：

听到这里，我明白自己该怎么做了，“前辈，我去打头阵，我在L内补这样一个曲线C，就按你的同僚的打法做”

于是乎，我和格林前辈联手在众人面前打出了如下的刀法：

“不错不错，真是精彩！大将军和格林前辈并肩作战，真是勇猛！分分钟灭敌人！”助理连连拍手称赞道。

“格林前辈，小女子跟随将军多年，对您的这套刀法也有所耳闻，也曾学过一段时间，不知小女子可否和您合作，就这道题发表下我的看法？”

“完全可以啊！都知道大将军勤学好问，没想到就连身边的助理也都熏陶养成了如此好的习惯，这对于提升部队的整体实力，有很大的鼓舞啊！”

“谢谢前辈，小女子献丑了！”

话说完，只见助理腾空一跃，用手中的剑勾勒出如下的破解法：

我仔细查看助理的剑法，发现和我的非常像啊，只不过他这里使用的是特殊值，取得椭圆方程很特殊，就用一个常数就可以了，看着更简单一些，最终答案也和我一样，哎，我要是早知道这个题还可以这样做，我想我会选助理的方法，它的太简单了.

“对了，好奇怪啊，为什么曲线方程要这样添加呢？为啥要添加一个椭圆？我添加正方形、长方形、三角形或者任意的曲线不行吗？”我的心里突然顿生出这样的疑问。

格林前辈好像看出了我在思考什么，这个老头，不得不服，每次我想啥，他好像都知道，尤其是他熟悉的东西。

“将军，你是不是在思考辅助曲线方程添加的原则是什么？”

“恩恩，是的呢”

“哈哈，被我猜中了，其实呢，理论上说，我们在曲线L里面可以添加任意的曲线C，只要你这个曲线方程C是在这个L内就行，但是我们不能忘记添加曲线C的目的：简化计算！

像之前给将军讲授的曲线积分、曲面积分，它们和二重积分、三重积分最大的不同就是：

“我的被积函数方程f(x,y)是可以用曲线方程y=y(x)代替的！”

因为这个被积函数f(x,y)是定义在某段曲线、某个平面上的，既然是定义在这里，那么当然可以带进去计算！而且是必须得代入，否则你没法算。

因此，出于简化计算的考虑，我们添加什么样的曲线C，就取决于这个曲线L的分母长什么样！

换句话说，在曲线L里面

添加曲线C的核心目的是：去掉被积函数中的分母！

辅助曲线方程添加的原则是：分母长啥样，我就添加啥样的曲线C！

“格林前辈，您今天讲的内容比较多，像您创的这套刀法，为什么让别人帮你打个头阵（内部取同方向的曲线C）就可以了呢？您可以从理论上给证明下吗？”

“完全可以”，格林前辈说完，快步走向前方，用大刀挥洒自如的给出证明：

挥舞完大刀，格林前辈对着大伙说道：如何选取这个辅助曲线C0（L1）呢？

选取的标准就是你可以把那个被积函数的分母给去掉！

说完后，继续表演，给出了结论：

看着格林前辈精彩的表演，我突然意识到：原来这就是所谓的转化啊！

一条路走不通了，我试着换一条路，两条路走的“功效”是一模一样的！

“感谢格林前辈精彩的讲解！您讲的这套刀法的使用条件、如何除掉内奸、转化的思想我已完全弄懂，非常感谢！”

“哈哈，将军不用客气，懂了就好，现在快去解救你的同伴吧！”格林前辈哈哈大笑。

“好的”，顺着刚才的格林前辈的教导，我又重新推演了一遍，将信纸交给雕哥的爱侣—雕妹，让她寄给我的同伴。

“好了，现在同伴的危难已经解除，今天下午大家也耗费了不少精力，尤其是格林前辈，现在临近晚饭时间，不如开始准备晚饭吧！今天请大家吃羊肉！，助理，顺便再来3大坛上等的女儿红，奏上笑傲江湖！，明天继续赶路！”

好嘞！

在大家一篇欢歌笑语中，我注意到一个细节：雕兄和高斯前辈一直在交谈，从今天雕兄和我们汇合后，他好像就一直和高斯前辈探讨什么问题，而且最关键的是：格林前辈在给大家讲解那套刀法的限制使用条件时，高斯前辈在那一刻好像也露出一丝焦虑。

这一切，我都看在眼里。

哎呀，难道是那个？我头脑中迅速闪过一个想法：

格林公式是将第二类曲线积分（也叫对坐标的曲线积分）转化成二重积分来计算；

高斯公式是将第二类曲面积分（也叫对坐标的曲面积分）转化成三重积分来计算；

换句话说，现在是将这种单独的曲线、曲面积分转化成了他们所围成的某个区域的积分。

难道说，明天敌人会来骚扰高斯前辈？

算了，先让本将军在五霸岗吃了这坛酒和羊肉，保持充足的体力，再迎接明天未知的战斗吧！

备注：

1这篇文章的正经的讲法在宝刀君之前在zhi hu上发的帖子挖洞法？抠点法？阉割法？格林公式究竟怎么玩？(含奇点的第二类曲线积分，格林公式如何用？) - 知乎专栏）中，由于在准备高斯公式的讲法，为了保持连贯性，故这里又将旧文重新改版，写成了武侠范儿，纯属娱乐，考研学习中的润滑剂，希望大家能够喜欢~

2 这篇文章在微信公众号上的形式为（内附视频）：急报！雕兄传来书信：计算第二型曲线积分的格林公式怎么破？

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