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一、小学数学核心素养基本要点
数学素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力。必备品格是指具有必要的数学知识，具有数学应用意识、数据意识和计算意识，具有科学态度和正确的数学价值观。关键能力包括空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、数据能力，包括数学抽象和概括能力、数学表达和交流能力等。
感受数学式生长，经历数学家研究、尝试数学味儿表达。让学生经历数学过程，找到学数学方法，悟得数学思想、内化成一种数学智慧。
“三会”:会用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养；会用数学的思维分析(思考)世界，发展逻辑推理、数学运算素养；会用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。需要指出的是，数学核心素养虽然被划分为三个方面，但是实则是一个整体。用数学的眼光观察世界，即人从外界输入信息；用数学的思维分析世界，即人自身处理信息；用数学的语言表达世界，即人向外界输出信息。
数学核心概念:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析(六个关键词)。
四基:基本思想、基本活动经验基知知识、基本技能。
小学数学核心内容归纳为8个方面，即数与符号的认识、数的运算、数量关系、图形的认识与测量、图形的运动与位置、数据收集、整理与表达、随机事件与可能性、综合与实践等。
小学数学关键能力应包括从数学角度提出问题、数学表征与变换、数学推理与论证、数学地解决问题、数学交流五个方面。
从数学角度提出问题：基于某情境、问题或在问题解决过程会产生自己新的数学问题，并用数学语言表述这些生成的、创造的、独立的新数学问题.
数学表征与变换：用某种形式［如符号、图形（表）、情境、操作性模型、文字等］表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题.为了能够简化或成功解决问题，会使用改变信息形态的某种数学转化策略.
数学推理与论证：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑性思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而得出推论，再进一步寻求证据、给出证明或举出反例，说明所推论的合理性的综合能力.
数学地解决问题：采用各种恰当的数学知识、方法与策略，解决在数学或其他情境中出现的问题，能检验与反思数学问题解决的过程.
数学交流：能以阅读、倾听等方式识别、理解、领会数学思想和数学事实，并能以写作、讲解等方式解释自己的解决方法、过程和结果，针对他人的数学思想和数学事实做出分析和评价。。
从“学会数学地思维”逐步走向“通过数学学会思维”，促进学生深度学习，真正成为学习的主人。
数学关键能力既体现在知识获取的过程中，也体现在知识应用的过程中。
所谓数学理解，是指：对数学概念与命题的内涵、外延有清晰的认识；对概念与概念、命题与命题之间的逻辑关系有深入的把握；对数学知识蕴含的思想方法有深刻的体悟；对数学知识的现实背景有所了解；知道所学知识何时、何地可以应用，可以解决什么类型的问题。
数学教学不应停留于具体数学知识和技能的教学，而应帮助学生“通过数学学会思维”，即应当努力提升学生的思维品质，并能由理性思维逐步走向理性精神。所谓“提升学生的思维品质”，主要指让学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，并能努力提升思维的整体综合)性和灵活性、自觉性和创造性等。
二、小学数学课堂新常规
1、提倡候课。提前三分钟候课，打开电子白板；提示学生预习新课、复习概念或上节内容；检查学生课前准备；维持秩序，确保全体学生进入状态。
2、注意提问的两个等待期。提出问题后，让学生思考3-5秒，不要让孩子直接举手；回答问题后，不要急于评价，让学生说完、看有没有补充。
3、课堂上学生卡壳时的三个引导:重复问题；解释关键字词语的意思；提示答语，给学生提供相关答案供选择。提示方式有六种:方法1:提示答案的位置，比如“谁能告诉他在哪里可以找到答案”。方法2:下一步该做什么？比如谁能告诉他出下来该做什么？方法3:教他所缺旧知识、方法，搭桥或分解问题。方法4:某一术语的另一个名字或意思。方法5:识别错误，比如谁能告诉他错在哪里。方法6:让学生自己说出不清楚不明白地方。
4、课堂上学生做练习时，教师要巡回走动，关注薄弱小组及学困生；关注答案的多样性及存在问题；确定下个环节发言(展示)人选；及时用红笔批改、反馈、评价。
5、对于重点题、易错题、混淆题进行三讲三纠(三说三练)。三讲即重点讲三遍，老师讲 、中等生讲、 对子互讲，最后潜能生再复述；三纠(试卷讲评课),即一老师讲时学生不能写，老师讲完学生再做一遍；二同类题进行纠错；三这道题进行变式（留在课下）。
6、多用题型训练法(题组法):四例：范例、同例、变例、仿例四维：正、逆、特、综。
7、掌声不要太多，超出预期的再鼓掌。
8、注意课堂学习黄金学习期一一上课5分钟后至25分钟，复习时间不宜过长，刚上课不要处理班事务，不要上学生带情绪学新课。
9、使用白板不能代替板书，要规范作图，课堂小结不能少。
10、注重引导学生对课本内容阅读、对例题阅读及解题思路探寻。
三、提升数学教学质量策略清单(15条)
1、关注上课四个细节(1)黄金学习期讲新课:上课5分钟后到20分钟，这段时间是一节课的黄金学习期，在黄金学习期，必须确保处理本节课的重难点，切忌导入时间过长，处理昨天作业问题过长；(2)提问关注两个等待期:第一个黄金等待期是提出问题后，要留3～5秒等待时间(候答距)，让学生深度思考，不提倡急于举手，这样会造成学生答案是浅层次的或是不全面的，更忌先叫学生，再说要回答的问题；第二个黄金等待期指的是点名学生回答问题后，要留3～5秒反思期，让回答问题学生修改、补充自己答案，让其余学生先概括前者发言要点，思考自己答案与回答问题学生答案有什么关联，还要思考如何有理有据质疑补充。(3)注意引导这三个角度提问卡壳学生:一是因问题中某个词语不理解导致不明问的是什么；二是条件与结论或旧知与新知建构时逻辑推理处现障碍；三是知道答案，但语言表达困难；(4) 讲到重难点时要有引起学生注意提示语，同时借助升调变换、放慢语速突破重难点。
2、一道题快速讲多遍，不如一步一步讲清楚，慢慢讲一遍；用一种方法讲多遍，不如用不同方法讲一遍；步步清才能题题清；点点清才能堂堂清。
3、对重点题、思路新颖题、综合题可釆取三讲三纠模式:学生先思考后教师讲、同桌互说思维过程，抽学生复述的三讲及本题纠错、当堂同类巩固纠错、课后变式纠错。
4、选题要统筹考虑四例四维:四例指的是范例(例题的代表性、示范性)、同例(与例题同类型题)、变例(变式训练题)、仿例(让学生自己出题)；四维指的是正向思维(直接代公式、顺着想的题)、逆向思维(公式需变换、需逆向思考的题)、特殊思维(给生活经验有关、有隐藏条件的题)、综合思维(一个题用到多个知识点、公式或放到综合范围内看是否混淆的题)；对同一知识点新授课选题以正向思维为主，兼顾逆向思维，习题课以逆向思维为主，兼顾特殊思维，复习课以综合思维为主。
5、新授课讲题时先讲明白公式推导、概念怎样理解，才讲怎么做(应用)；习题课不再讲公式推导，只讲记和用；单元复习课只讲公式各种推论变式用；大复习课把小规律提升归纳到大规律(多题归一)，课型不同，就是同一类型讲课侧重点不同。比如不能用上新课套路去上复习课。
6、养成做数学作业规范流程:先把课本内容例题看一看，记记概念公式，再独立规范做作业，做题时不翻书，实在不会的可问同学，理念后用红笔写，红笔写的题第二天再巩固消化，做完后要检查，同时做作业要限时。即复习一一规范做答一一检查一一限时。
7、对学生进行创编应用题训练:(1)问法训练:比如18一5=？18与5的差是多少，18减5等于多少，18比5多多少，5比18少多少，18去掉多少5一样多，5再添多少就和18一样多，从18这个整体中去掉一部5个，剩余部分是多少？等同时还可以问，依据这个算式还能写出几个算式？(2)依据18一5这个算式，创编一个真实生活情景中的一个应用题？(3)把创编应用题改变成二步、三步应用题？(4)开展让学生读文字例题、练习题明题意单项训练；或读一段信息，提炼抓关键信息(说白把它变成传统应用题训练。
8、注意归纳题型及解题通用思路:小学要进行什么情况下用加减乘除法总结，比如用乘法列式有几种情况；用算术法解应用题步骤是什么？比如中学，如求二次函数解析式有几类题型？求各种函数解析式基本步骤是什么？
9、复习课、试卷讲评课可采取下列组织方式解决陪学难题。选择几道不会题分别写在不同黑板上，让本题会的学生当小老师，剩余学生哪道题不会去听哪一道。从原来三道不会题，一道一道讲，会的也得陪听，变成同时讲，只听你不会的题。
10、用对子互学法让学生去学习概念定理公式。（1）组成两人组。（2）阅读。独立阅读数学课本相关内容（3）回忆。两个人都读完后，一个人不看材料，向同伴回忆材料中概念定理公式。（4）检查。当同伴在回忆时，检查者指出概述中的错误和遗漏。（5）理解。两个成员举出一些课本外例子。（6）建构。完成上述任务后，两个人都要对材料二次学习。
11、关注优等生不陪学不陪练，关注差生学习题量、时间与优等生同样多。自习要注意差生做题时间与优生相同，只不过优等生做不同类型的题，差生基本类型题做多道。要求上优等生独立钻研，中等生可以合作讨论，差生教师可讲解。
12、纠错要求:小学一二年级错题不准用橡皮擦掉，在旁边订证；判断题、选择题小题当成大题订一一写出计算步骤；尤其是提醒学生懵对题也要订证；对重点题启动五步纠错法:找出错题的原因，如题目抄错、式子列错、中间数字算错、运算顺序错误、题意不清、混淆概念等；保留错题，用红笔在旁边规范订正；要求学生再做一至两道同一类型的习题进行巩固；梳理、归纳该题所涉及的知识点，进行系统复习。想一想这个题还可以怎么变换考；把有代表性错题整理到纠错本上，在当天、第三天、一星期、一个月进行四次消化。对错题本、好题本上的有代表性重点题、压轴步骤多题、思路独特题反复看。
13、强化对作业试卷检查:比如小学常有方法有:一二年级遮住答案再算一遍；演草纸分区书写，借助演草纸检查；逆运算检查(验算)；代入法检查，做题时对拿捏不准标上记号，重点检查；生活常识检查法等。小学生要检查漏题、漏问了没有？题目要求看清了没有？单位统一吗，结果代单位了吗？应用题重点检查式子列正确了吗？设、答了没有等。
14、渗透数学思维与方法。比如对与几何有关的要在图上标注数据，数形结合法；画线段图法；列表法；假设法；方程法；分类法；举反例法；排除法；找规律规纳法等。
15、把思维导图、鱼骨头图这些思维可视化工具用到找解题思路上去；课堂结束提倡学生用康奈尔笔记(5R笔记法)进行知识自我梳理。
四、备课方法建议(6条)
1、传、取经备课
经验是一笔宝贵财富，经验也是一种重要课程资源。本着“不让同事摸着石头过河“、“不让同事犯与我类似性错误”理念、初期可邀请有经验教师指导单元备课。拿五年级数学来说，单元授课前，我们会邀请去年教五年级数学、本学期正教初五年级的有经验教师，对今年教五年级数学全体教师进行单元教材、作业设计专题引领，因这些教师去年刚教过五年级，对教材非常熟悉，对本单元重难点、易混点、易错点、常见考点了如指掌，同时他们对往届学生学习本单元共性问题叙述也有借鉴意义。这样新教师就可以不犯重复性错误，就可以站在同事肩膀上把课备的、上的更好。
后期，以教研组为单位每学一单元后，及时进行团队整理“新学年同事，我为你教学导航”的单元教学反思卡:经过我组集体阅读课标、教材、教参，结合本届学生教学实践，我们认为本单元重点是什么?学生最难掌握知识点有哪些?学生易错、易混点有哪些?如何预防?如何突破?若这些工作做到位，明年调出来参考即可。
2、研究试卷备课
以考定(教、学、练)，问题前置的单元备课。一开学就将最近三年市县(区)期中卷调出来，以年级学科组为单位研讨:涉及到知识点，考到什么程度，怎么呈现，尤其是让教过该年级、用过该试卷老师谈上届学生考试遇到共性问题、典型问题，对本届教师教学建议。试想，这种问题前置，提前预防，同时围绕考什么，就讲什么、学什么、练什么，这样教学评相匹配，教学效果定会大大提升。
3、多维单元备课
强化、规范多维单元备课。践行、落实华师教育研究院(房涛团队)提出的三研备课新模板。
研单元教材:编排体例、特点及目的(链接教材的相关页面说明)；内容结构及分解(知识树或思维导图形式)；立体整合及不同版本教材单元比较；课程目标层级分解，(学科核心素养提炼)。
研单元目标:学情分析:基础、方法、习得；单元过合目标:具体、可测、分层；考点分析及近年考题分析
研单元实施；单元整体教学设计思路，说明之间逻辑关系；单元整体课时安排及调整；1每一课时学习目标及设计思路含评价及课程资源开发。
4、选、做练习备课
原则上不用市场上练习册及试卷，利用寒暑假组织教师精选、编制含金量高的练习册、试卷。做法是:将试场上与本学科有关的练习册、试卷一网打进(全部购买)，同年级学科教师分工(若学校规模小，可联合几所学校)，从所给资料中精选出一节、一单元练习题，要求是这些题一做，这几十本练习册、试卷题都会做，起到"一以顶十"作用。即教师下题海，学生荡轻舟"。
5、平常教师备课多关注有效问题设计、活动流程、目标达成，道格.莱莫夫建议把备错误答案预设与应对纳入深度备课范畴。建议个人或团队研究或思考，学生对设计的问题回答、解决可能出现哪些错误及相应应对提示、引导策略，还要备这个问题追问、拓展策略。即预设学生可能思路及应对策。
课堂上经常会遇到这种情况:因学生掌握不好需要补充例题、练习或课堂推进比较顺利，可以增加有难度例题、练习，但课前无准备，于是不得不仓促、匆忙应对，怎样才能避免这种低效发生？
最好的办法是备份同性质题、备用较高难度的题，以备一时之需。一是是精选择有同等难度的备份例题、练习题，二是科学设置有梯度的例题与练习题备用。
当学生对知识点掌握较好时，备份题就可跳过去；若发现学生对所讲知识掌握不好时，立马启用备份题，去再次讲解、消化、巩固。若进展顺利，课堂还有剩余时间，就可推出提高难度的备用题。
总之，依据学生课堂真实学情，启动动态题组，题量、题型要充足，若学生出现错误，就启动备用题训练甚至二次强化；若掌握较好，就可跳过去，启动新的题型。选什么题，同类题做几道，讲题进度完全有学情决定。
6、釆用下列备课方法:
(1)、学一退三法：
案例1：课题：异分母分数加法
例题是2/3+1/5=?这节课就可以这样设计:
自学:找最小公倍数:2与3的最小公倍数是__;3与6的最小公倍数是__;2、3、5的最小公倍数是__。
对学通分:1/2+1/4=? 2/3+1/5=? 1/2+2/3+1/5=?
同分母计算:1/4+3/4二? 10/15+2/15=? 1/6+2/6+3/6=?
再此基础上再群学例题2/3+1/5=?
教师点拨:一变(同分母)，二算(按同分母计算)，三化简(得数化成最简分数)。
小结:学异分母加法，先要会同分母加法;还要会通分、分数性质:会通分必须会找最小公倍数，即学一退三到找最小公倍数学起。
(2)举三反一法
案例课题：长方形周长
范例——同例——变例——仿例(学生出题)
正向思维：已知a、b，求C
逆向思维：已知a、C，求b
特殊思维：一边靠墙，求围成图形需要长度；或已知长和宽的和求周长
综合思维：已知a、C，求S
( 3)核心环节强化训练法
找到核心环节，强化训练。重点环节突破法，比如学习去分母解一元一次方程，就把各种去分母题型全部呈现，只重点讲去分母这一步，而不是在去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1等步骤平均用力。又比如学习解一元一次不等式组，只重点突破如何求不等式组这一核心环节。
(4)、题组训练法
题组训练:用平方差公式分解因式
用公式a2－b2=(a+b)(a－b)
形象记忆：首尾和，首尾差，中间放个大x
题组设计：①m2－n2=
②(2x)2－(3y)2=
③4a2―9b2=
③8a2―18b2
④8a2b―18b3=
⑤(m+2n)2―(2m―n)2=
⑥[2(m+2n)]2―[3(2m―n)]2=
⑦4(x+y)2―9(2x―y)2=
⑧8m(m+2n)2―18m(2m―n)2
(5)表征+猜想全息建构法
讲例题时，不是把例题全盘托出，而是依次给出条件，引导学生表征与猜想。
例1:刘老师准备用微信红包中仅有的87.5元买一些文具作为运动会的奖品，他先花45.5元买5本相册，准备用剩下的钱买一些钢笔，每支钢笔2.5元，刘老师还可以买几支钢笔?
条件1:刘老师准备用微信红包仅有的87.5元钱买一些文具作为运动会的奖品，
表征:1)87.5元买了一些文具(关键信息缩句)；
2)买文具花了87.5元(同义语转换)；
3)关键词“一些"表示只少买了两类文具(解释)；
4)第一种文具花的钱+第二种文具花的钱=87.5元；(推理)，还有可能钱没花完。
5)单价x数量=总价(隐藏等量关系)
6)买第一种文具过程存在单价数量、总价关系，同样买第二种也存在这种关系
猜想:1)买了哪些种类文具？
2)各类文具买了多少？
3)每类文具单价是多少？
4)买第一次后还剩多少钱？
5)买完后还剩钱吗？
条件2:他先花45.5元买5本相册…
结合条件1、2表征:1)有先花必定有后花，买了多次；(推理)
2)买5本相册用去了45.5元(同义语)；
3)在买相册消费中，5本是数量、45.5元是总价(解释)；
4):相册单价=45.5÷5(推理)
5)剩下的钱=87.5-45.5(推理)；
猜想:1)还剩下多少钱？
2)剩下的钱买的是什么文具？买了多少？
3)这种文具单价是多少？
4)若还买同样物品最多还能买多少件？剩下多少钱？
条件3:用剩下的钱买一些钢笔，每支钢笔2.5元…
表征:1)用买相册剩下的钱买了钢笔；
2)钢笔的单价是2.5元；
3)买钢笔钱可求出；
4)钱可能用完也可能没有用完
猜想:1)还可以买几支钢笔?
2)最终还剩多少元？
3)买钢笔比买相册少用多少元？
4)共买了几件文具？
5)若先买14支钢笔，剩下的钱去买相册，还可以最多能买多少相册？最终还剩多少钱？
附:表征指的是对例题中的条件进行下列重点解读:
1)复杂句子缩句:例:a、b的和与a、b的差的积的平方，即和与差的积的平方。
2)同义句转换:例:甲比乙大3，可以转换为下列三句话:甲=乙+3；乙=甲-3；甲-乙=3。
3)推理:例:己知两个三角形全等，立马推出对应边、对应角相等。
4)解释:比如对悬浮、浸没在液体里进行专业解读；对在温度一定时，在水中加入一定量溶质，溶液浓度的变比进行分析。
5)隐藏等量关系:比如数学题己提工程，就要想到工作时间、工作效率、工作量的关系式。
6)隐藏条件:比如求实际问题一次函数图像实际上就是直线上有限制条件的一段线段。
7)联想:比如一说一次函数y=kx+3，立马就要想到一次函数标准解析式，图像、性质及在坐标轴中经过像象和围成三角形面积推论公式等。
可见，表征就是筛选、提取、重组信息，并对信息进行关联、加工、建构。
猜想:猜想不是瞎猜，围绕所给条件猜想下面会问哪些问题或后面会给什么条件。所提问题与表征的等量关系、推理一定要有关联。
可见，猜想就是根据现有信息推测出题人后面会再提供什么信息或会问什么问题。
五、作业与练习册的处理(9条)
1、让学生养成科学流程做作业习惯、做作业基本流程:复习一一规范做答一一检查一一限时。
做作业前要把笔记、例题、公式一遍，确保一开始做作业就不要翻书、看笔记，即裸做；做完后一定要选择合适方法检查，把检查当成做作业必备环节，不检查不上交。
2、审题留痕（重点词圈出来）
3、判断题、选择题、填空题必须注理由；应用题学生要审题留痕，文字信息符号化，尺规作图、规范使用演草纸。
4、双笔双质检一考试。核心要点:首先要独立完成作业，能做多少算多少，不会的先空着。实在不会的，允许通过翻书、查看笔记参考研究他人作业的方式把不会题补做出来，但是必须用红笔在号前打上符号，以提醒自已，这个题需要区别对待。红笔标注题要多复习，第二天红笔标注题要接受小组作业质检员检查验收。
具体来说，为每个小组配备了作业质检员这个角色。
做作业练习册新要求。双笔:做作业练习册时，第一阶段，首先独立完成作业，不能翻书、看笔记，独立会做的题用蓝笔写；第二阶段，实在不会做的，可以翻书、问别人、翻看别人作业，必须搞懂后用红笔写，并标上醒目符号。红笔书写`标注的题下去要多复习。
双质检:每个小组设一个作业质量检查员，第二天对本组组员用红笔写的题进行人人抽查，确保人人过关，这称之为第一次质检；每周星期五质检员要对本周五次作业进行随机抽检，抽检结果上墙，纳入考核，这称之为人第二次质检。
一考试指的是二大周要用作业、练习册上原题去考学生。
好处:这对翻看做过作业、消化错题，学生不犯重复性错误非常有帮助。
注意事项:以4至6人为一个小组，每个小组设作业质检员，为减轻质检员负担，小组各小学科质检员尽量有不同优生担任。
小结:学生独立做（用蓝笔） 不会的题问别人（用红笔）建立作业检查小组（4～6个人）去组长处过关错题（一质检）组长抽查红笔题（二质检)。
5、增加作业附加部分。本次作业用时——分钟；我采用了——------检查方法；我敢确定——一定对，——不敢确定。
说明:用时包括作答及检查时间。双周要让学生通过对自己上二周做题数据反思，确定在速度、准确度方面保持或努力方向。对自认为一定对反而出错题，让学生一定重视，要写出原因。对检查方法要分项、综合、巧选三段训练。
6、釆用三维作业批改法。
第一维度——对基础知识和基本技能掌握情况的评价。在中高年级尝试用画“正”字的方法，变等级符号为统计符号，对学生知识技能掌握情况进行统计评价。也就是说，全对的作业记“正”；有错的作业根据情况少记笔画，当学生把错题订正完毕后，可以把“正”字中缺少笔画补充完整。
第二维度——对学生作业的思考过程、解题策略的评价。根据学生的习题解答的过程，对学生的解题策略、思维能力进行评价，在“正”字的右下角，用“”、“”来反映学生解题思维的灵活性、创新性。“”表示思维有创意，但没有完全做对，或方法正确但不简便；“”表示思维方法独特，有创意。
第三维度——对学生作业态度的评价。小学数学中常见较差作业态度有：字迹潦草，作业不规范；贪玩，作业拖拉；偷懒，应付了事，少写作业步骤等等。因此，在作业评价时，还要从书写情况、所用时间以及专心的程度等方面衡量学生作业态度的认真与否。在“正”字的左上用“↑”、“↓”表示作业书写工整，格式符合要求，作业认真。
7、实行累积式作业评价。
在学生作业首页，设计一个日周月期的连环累积式作业评价表。。
具体操作方法是：对学生作业，每天优秀的可以加盖一朵小红花印章，称之为日评价，如教师可以依据班级实际，规定每周获得若干次小红花可以加盖一颗小五角星，称之为周评价，每周获得几颗小星可以加盖一面小红旗印章，称之为月评价，每月获得几面小红旗可以加盖一枚小奖杯印章称之为期评价。更为可喜的是，有的教师还对学生周、月作业进行比较，加盖保持奖、进步奖，有的还对日、周、月作业有创新的，分别加盖创新奖。
另外，有的教师在学生作业首页粘贴小学生十分喜爱的系列卡通人物画，来代替上述办法也深受学生欢迎。
8、对平常作业、考试重点题启动六步纠错法。
第一步：找出错题的原因，如题目抄错、数字看错、式子列错、中间数字算错、运算顺序错误、题意不清、混淆概念等。
第二步：保留错题，规范订正。这里规范订证有三层含义:在错题旁边用双色笔订证；填空、选择、判断题要写出具体步骤，小题当成大题订；作业试卷中蒙对题也要订证。
第三步：要求学生再做一至两道同一类型的习题进行巩固；
第四步：梳理、归纳该题所涉及的知识点，进行系统复习。
第五步：想一想这个题还可以怎么变换考？(改题训练)
五种方式进行改题训练：
一是变化数字，就是改变题目已知信息的数字；
二是因果对调，就是把某个已知条件变成未知条件，把某个未知条件变成已知条件；
三是增减条件，就是增加或减少已知条件的数量；
四是数图变换，就是把数字变成图表，或者把图表变成数字；
五是数变字母，就是把特殊问题变成一般问题。
第六步:把有代表性错题整理到纠错本上，在当天、第三天、一星期、一个月进行四次消化，即1371四次复习强化。
这样学生对错题，不但知其然而且知其所以然，再加上学生对同一类型题的巩固、强化，学生在今后考试中就可以少犯或不犯重复的类似错误。
9、从作业布置走向作业设计
多数教师不是以课堂反馈表现出问题进行针对性命题设计，而是不论掌握好坏就是做统一练习册，重复低效，针对性不强，导致会的重复练，不会的少练或没有练。依错命题强化，方为上策。推出作业纸(答题卡)，减少抄题无效时间
小学生做练习时抄题时间远远大于作题时间，抄题多属于无效学习时间，建议推出作业纸(答题卡)，减少抄题无效时间，尽而增加练习有效时间，提高练习效率。
六、数学作业和考试常用10种检查方法(10法)
1、遮挡法检查。不要顺着原来思路走，要重新审题和答题，先用草稿纸把答案挡住，然后把题目在草稿纸上再做一遍，如果两次列式或计算的结果一致，便可跳过。如果结果不一致，那就要重新思考。
2、利用演草纸检查。它是一种快速、省时、方便易操作方法。学会使用演草纸是前提。草稿纸要好好利用，不要东一笔，西一笔，分区、分题科用规划，做题打草稿时按顺序来，检查时按草稿来，方便又能节省时间。
3、标记题目检查法。作答时就标记检查重点。遇到拿不准或不会做的题目，用铅笔在试卷处做一个自己能看懂的标记，回头检查时，若时间不够用，可启动重点检查。
4、利用交换律或逆运算检查。遇到加、乘可交换位置再加乘一遍；加减乘除可利用逆运算来检查。
5、代入法检查。各类方程、方程组、不等式(组)，可将解集代入原方程、方程组、不等式(组)去检验。
6、再审题目要求检查。很多考试会要求把答案统一写在后面的答题纸上，而并非试卷上。如果孩子没有看清要求，直接写在了试卷上，即便题目都答对，也得不到分的。另外有时选择填空让填序号，而学生填的是数字。还有，有的让选择错误的，看成选择正确的:有的是多选看成单选，有的要求计算并验算，错看成只计算，有的要用简便方法而疏忽没简便，有的规定用方程法而误用算术法等。所以检查时，题目要求也是要重点检查的。
7、避免常犯小错误检查法。小学生要检查漏题、漏问了没有？题目要求看清了没有？单位统一吗，结果代单位了吗？设、答了没有等。
8、关键数据、式子检查法。比如求函数表达式时，若求顶点坐标出错，则步步出错！同样中招压轴题，前面关键数据出错会导致后面各问皆出错。又比如应用题就要重点检查式子、方程列正确了吗？不要仅只检查得数算对了没有。
9、生活常识检查法。对求人数、身高、车速、价格等与生活情景有关问题时，可利用科学常识去判断答案正误。
10、熟题防惯性思维检查法。看着眼熟的题要更加仔细，防止出现惯性思维。考试时绝不能被似曾相识的题目所迷惑，想当然地认为自己做过，就产生轻视心理。困此更要仔细检查，看数字、条件、要求是否改变，避免误看、疏漏导致低级错误的出现。
当然，还要学会三时态试卷检查法。它指的是试卷检查依据时间充足与否分为三种情况:应急检查法，比如考试结束钟声己响立马要收时，可将判断选择填一个答案；快速检查法。当最后15分钟提示铃声响后，若自己又做了一段时间，就表明检查时间不充分，就要启动快速检查法预案，一看有无漏题，二要对格式如设答是否完整，三要对不会的选择题、判断题做出决断，四是对分步给分综合题把公式、方程式写上等；时间充足采用常态检查法。可借助演草纸对计算复查，可采用代入法检验等。重点题、有疑惑题要重新读题，重新思考，不要受原思维影响，更不要顺着去检查。比如应用题首先要放在式子是否列正确，而不是仅仅去看是否算正确。
另外，还要告诉学生，遇到求角度数、线段长短填空题时，实在不会做的题，可用度量法填答案。
七、数学课六大课型存在共性问题
(一)、复习课存在问题
1、功能错位，把复习课当练习课上。表现在“双一味”:学生一味地做练习题，教师一味地讲解练习题。围绕练习题就题论题，欲通过练习使学生达到熟能生巧的目的，缺忽视了复习课要沟通知识内在联系、温故知新和融会贯通的本质定位。
2、包办替代，教师直接呈现自已对知识精致整理的结果，替代了学生对知识复习梳理的过程，忽视了通过复习实现学生对知识网络形成个性、创造性结构化认识。
3、综合能力提升、拔高不到位，选题缺少梯度，仅关注教案的执行和标准答案的揭示，忽视了复习课旨在“让学生的综合能力、思维水平进一步提升”之目标。
4、分课型体现不充分，重点不突出，看不出课堂侧重点是知识拓展深化、知识梳理，还是专题技能提升?
5、“抄冷饭”，教师快速把自认为重点知识重讲一遍，学生不感兴趣。
(二)、练习课存在问题
1、重练习题拼奏的数量，轻练习题精选的质量。练习课成了“习题开会”，课堂练习没有一点品质。
2、重习题答案的呈现，轻解题方法的提炼。习题是孤立零散的，缺少题组训练、一题多解、多变、多题归一意识，没有达到概括、提炼方法的高阶设计。
3、合作讨论流于形式，合作仅局限于对对答案、抄抄答案、凑凑答案”，组长发展了，全体组员没提升。
4、简单题、复杂题学习，详略、主次不分，平均用力。导致“会的仍然会，不会的仍然不会”无效、低效现实。
5、熟能生厌、生烦。为练而练，练课习成了机械模仿能力训练营，学生成了被动做题机器。
(三)、试卷讲评课存在问题
1、成了发泄个人情绪、差生批判会。越办差生丢人，差生越对学科不感兴趣，越不学，成绩越差，导致恶性循环。
2、成了逐题对答案的课。若对答案，不如把答案发给学生更快捷。
3、缺少分类意识，教学线索没有依照”要么依据学生错题原因、要么依据学生知识点漏洞“设计，课堂就像散落珍珠缺少项线串成项链。
4、缺少概括、拓展、提升意识，就题论题，不能从一道题概括出这一类题解题思路、方法。
5、缺少追踪纠错、反思意识，没有让学生对错题进行同类巩固强化或讲给别人听;没有让学生对本次考试得失进行考后专题反思一一考后小结。
(四)、数学规律课教学存在的问题
1、重学生对教材结论本身的证明和结论的掌握运用，轻学生发现意识和合理猜想的能力培养。
2、重学生对猜想进行推理证明的方法掌握，轻分类枚举归纳结论的证明过程。
3、重学生书面表达的规范与操练，轻学生的语言表达和交流。
(五)、运算教学课存在的问题
1、重运算规则运用轻运算规则推导过程。用相对较少的时间得出运算法则，然后用相对较多的时间让学生练习巩固掌握法则，通过大量操练以提升学生正确快捷的运算能力，忽视了法则的形成过程对于学生成长发展的价值。重知识、轻能力，忽视启迪智慧、积淀素养。
2、缺少整体、系统建构意识，重单一方法局部认识与掌握轻“整体中综合认识方法、判断选择方法、灵活运用方法”的能力培养。看来，平常一节节都会，一综合、一考试就瞪眼不是偶然的。
3、重“情境创设、小组合作、多媒体运用"等外在形式，轻“运算教学中个例引人过程的化大为小、化繁为简的思想，法则归纳提炼过程的从特殊到一般的思想、数形结合的思想，降次消元的化归思想等”内在的数学思想。学科思想、方法是学科核心素养有效载体，这是典型本末倒置!
(六)、概念教学课存在的问题:
1、缺少创新，表现在老三步:抽象出概念，辨析记忆概念，运用概念。
2、在概念形成过程中，是教师自己对概念表述进行提练和抽象表达，自己对概念本质属性进行揭示，导致学生对概念形成过程缺乏参与体验，影响了学生对概念本质的清晰性认识。
3、所举事例单一，学生缺少多元表征建构材料，导致学生对概念内涵形成有偏差认识，影响了学生对概念命名来龙去脉的解释性认知，影响了学生对概念内涵的丰富性认知。
八、小学数学课常见课型(6大课型)
(一)新授课一一五维课堂初级版
1)思维的激发:精导
思维激发是组织教学的开端包括入静(脑保健操)，教学组织形式、导入课堂、出示学习目标。入静:深呼吸三次，入定入静，静能生慧。(激情课堂之后:诸如音乐、体育等)
常规导入:旧知导入；提问检测导入；悬念导入(矛盾导入)；结构导入(破题导入)；创设情境导入等。
2)、思维的导引:精学+精点
思维的导引相当于学生自学，教师点拨。导引是以问题为主导告诉学生解决间题的方法，通过对解决问题方法的训练，达到锻炼、培养学生思维(归纳思维、演绎思维、发散思维、聚焦思维、灵感思维)的目的。
精点通过对结构、方法、路径、知识点的点拨帮组学生理解通过自学解决不了的问题。
结构导引:介绍本节课的知识模块(讲知识点的结构)
路径:通过分类法、观察法、比较法、转换、动手操作等手段探索解决问题的方案导引的知识点:重难点、易错点、易混点、考点、盲点。尽量用列表法、比较法、思维导图法、知识树法对知识点呈现，少用罗列法。
思维导引在教师讲授上的形式:先讲后学;先学后讲;只讲不学；只学不讲；先精进后展示、先精学后展示。
3)、思维的表征：精练(15分钟）
本环节主要是对上一环节所讲内容方法能否运用到习题中的反馈、检测。思维碰撞训练的是知识点相关联的练习题，学生可以通过自学、合学、展示等形式，按照习题自由组合学习。
思维的表征环节的细节:
一相当:相当于合学加展示。
两步骤:1.记忆，对导引部分记忆的东西运用独背、对背、组长提问等形式记忆。
2.习题练习，选择的题目要有代表性、不要同一类型的题目、题量要大、设计题目要凸显正向思维、逆向思维、变式思维、综合思维、创新思维；题目设计要有范例、同例、变例、仿例。
两不准:不准学生做完题老师逐题讲解；不准学生做题老师提问，学生回答后，老师再重复。
三必须:必须有学生展板演示；必须有小组长讲；必须进行大展示(对难度较大的试题）
4)思维的迁移:精测
独立进行达标检测。方法一:学生独立完成，老师改组长的，组长改组员的。方法二:学生独立完成，老师出示答案，学生对照答案。
5)思维的内化：小结
方法一：冥想+思维导图。
冥想:自然放松前脚掌抓地三下，像过电影一样，学生自行回忆本节课内容，理清思路后画出思维导图。(禁忌师提问学生回答)
方法二:我问你写考考你的理解，老师提问所学习的知识点，学生默写。
(二)新授课:思维生长素养课堂的基本结构(升级版)
基本流程
1、思维激发（导入）：提倡真实情景导入;
2、思维导引：搭建脚手架；关注结论更要关注过程；
3、思维的表征：让学生选择适合自己的学习方式，不一刀切。学生选择适合自己的学习方法（可以独立做，可以两人讨论，可可以多人讨论，可以问教师，可以问学生等）进行四维探究（概括思维、发散思维、批判思维、创新思维）（精练）′
4、思维的迁移：是什么的习题少些，变式训练、理解、应用习题多些；
5、思维的内化：构建知识树；在教师的引导下让学生自己总结。让学生掌握总结：冥想、思维导图。
(三)、复习课基本流程
方法1:习学双循环模式
该模式分五个基本环节:
1、教师出示精选有代表性试题(题组)，让学生先独立做，教师巡视批改，发现易错或有创新解法。(习)
2、不是每题都讲(研究)，己经会的根本不讲，只研究从第一个环节易出错或有创新解法的题，教师或选学生系统讲解(展示)，若时间不够，可只述解题思路。(讲+听=学)
3、上述研究的习题，中下等生平常没听懂或学会，凭现在一复习，多数学生仍然不精楚明白，因此对重点题要釆取先让同桌对说思路方法，再让中等生上板复述，最后再订证。(习)
4、教师务必对所学(讲)题，提前做一遍，对学生易错的题心中有个判断，准备好备练巩固习题，让学生进行同类巩固。 (习)
5、教师在对这一组题所涉及知识点、思路、方法进行拓展提升。
方法2:专题复习模式
专题复习课的基本流程:
1、让学生选择不同方法对单元知识进行疏理、归纳、总结，把碎片化知识构建成系统知识网络。总结方法有:罗列法、比较法、列表法、知识树法、魚骨头图法、思维导图法。步骤为:自我初步总结一一观看、学习优秀学生总结一一修订、完善自己总结一一理解消化记忆总结中涉猎知识点。(精学)
2、师生、生生合作对本单元题型、解题方法、思维类型进行规律加典型例题式总结。(精析)
3、生生合作对典型例题(特指逆向思维、变式思维、综合思维的题)进行剖析。让学生分享易错点、易混点及积累好题。(精练)
4、独立完成检测(精测)
5、习后反思(精结)。
该复习课内容较多，可釆取一课二上。一课时完成1，二课时完成2345。
(四)、习题课基本流程
（1）个人对错题本上的错题进行二次慎思；
（2）小组围绕“知识点梳理、易错点、易混点辨析”进行合作学习；
（3）教师可围绕“题型盘点、思维方法小结”进行适当的点拨、拓展、提升；
4)对子、师徒可围绕速度训练、准确度训练、题组能级训练互相出题检测。
(五)、试卷讲评课基本流程
1)运用图表对本次考试结果进行激励性的正能量评价，忌对考的不太好学生讽刺挖苦。比如语文就可这样通报:总分前5名，男生前5名，女生前5名，进步最大(男女)前五名，作文前5名、阅读前5名，积累前5名等;
2)学生个人自我订证，寻问別人讨论订证;
3)师生合作重点订证。可按错因、知识点、一题多变等程序组织，可釆取让若干个优等生对错题同步展示，其余学生哪个题不会去听哪个题，即同步展示、流动分组。
4)让学生对错题进行五步纠错。找出错题原因;规范订证;找一至2道同类题变式巩固;疏理本题涉及知识点;思考此题还会怎么考。
5)考后分析:成绩评价，影响成绩主要因素、采取的措施。
(五)数学应用题单元整理课
以六年数学分数乘除法单元应用题整理为主题。
模型一:母题裂变法
环节一:出示母题:选择一个典型分数应用题，让学生用不同方法解答(比如天元小学图书室有故事书200本，故事书比科技书多¼，科技书有多少本？)；
环节二:分析母题:概括出算术法借助画线段图分析题意，依据单位1己知或未知列算式；方程法是先找到等量关系，把未知当成己知参与运算。
环节三:母题裂变一:所求问题不变，保留一个数量，让学生补充分数条件，只列式不计算。
学生补充条件过程，就是将分数应用题分为"是"几分之几"与多或少几分之"两大类，每类因单位一不同又分两小类。
意图:旨在实现一题多变。
环节四:母题裂变二:母题两个条件不变，让学生提出所求不同问题。
可能提出一步算式，多步算式，学生可分步解答，可列综合算式解答。
意图:旨在实现一题多问。
环节五:母题裂变三:给出一个分数算式，让学生创编符合这个式子应用题
意图:旨在实现多题归一。
环节六:方法整合，寻找共法。
模型二:题型归类法
环节一:课前让学生归纳梳理分数乘除法应用题题型及解题思路。
环节二:教师呈现分数乘除法一个类型，学生解答展示。
环节三:寻找与教师所举类型不一样的题型，让学生在展板呈现出来。
若学生所选题确实与例题不一样，让学生解答，并比较异同；若学生所选题与例题表现不一样，但本质算理相同，引导学生悟出来为什么相同。
环节四:归纳题型及解题思路。
模型三:举三返一法
环节一:举一个顺着想的正向思维题，让学生解答展示。
环节二:举一个"倒着想的逆向思维题，让学生解答展示。
环节三:举一个"比如甲比乙多二分之一米"与“甲比乙多二分之一"易混思维题，让学生解答展示。
环节四:举一个涉及到列综合算式多步应用题，让学生解答展示。
环节五:从思维角度让学生归纳题型及解题思路。
模型四:三讲三纠法
环节一:选择涉及各类题型一组题，先让学生独立思考解答。
环节二:选择出错率比较高、有点难度题，教师讲解，讲时不准写，讲后独立纠错。
环节三:挑中等生上去再讲，教师追问；讲后出同类题消化。
环节四:挑学困生上去复述或对子之间互说解题思路；课后出变式题巩固拓展。
模型五:猜想表征法
环节一:选一个分数乘除法应用题，不是把例题全盘托出，而是依次给出一个条件，引导学生表征。
解读:表征指的是对例题中的条件进行下列重点解读:1)复杂句子缩句；2)同义句转换；3)推理；4)解释；5)隐藏等量关系；6)隐藏条件；7)联想。表征就是筛选、提取、重组信息，并对信息进行关联、加工、建构。
环节二围绕所给条件猜想下面会问哪些问题或后面会给什么条件。
解读:猜想就是根据现有信息推测出题人后面会再提供什么信息或会问什么问题。所提问题与表征的等量关系、推理一定要有关联。
环节三:选择其中一个问题解答。
意图:这样借助表征+猜想实现了每个条件及整题多思，多问，多变，归一等。
模型六:流动分组法
环节一:选择涉及各类题型有点难度三四道题，分别写在不同黑板上，先让学生独立思考解答。
环节二:每道题选择2个小讲师分别站在所讲题黑板前面。
环节三:其余学生流动起来，哪道题不会去听哪道题，一遍不会听二遍，讲题人一个人讲，另一个去别组听，然后互换。
