作者：tracholar链接：https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/26047106来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。2017年更新：将这个答案整理了一下，写了篇博客，加了一些理解和图示，可以参考 深入理解傅里叶变换**
曾经和同学上课时深入探讨过此问题，占坑，有空再来回答！！
我来说些不一样的东西吧。
我假定楼主对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。
一个信号，通常用一个时间的函数
x(t)
x(t)=\Sigma_\omega X(\omega ) e^{i \omega t}
H(w)=Y(w)/X(w)
e^{2t} sin(t)
x(t)=\Sigma _s X(s) e^{st}
H(s)=Y(s)/X(s)
来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。
如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。
首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用
{\delta(t-\tau )|\tau \in R}
x(t)
{e^{i w t}|w\in R}
X(w)
。线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。
如果我们将拉普拉斯的
s=\sigma+j w
X(s)
j w
X(jw)
X(jw)
-B<w<B
）不为0。
根据采样定理，可以对时域采样，只要采样的频率足够高，就可以无失真地将信号还原出来。那么采样对信号的影响是什么呢？从s平面来看，时域的采样将
X(s)
沿虚轴方向作周期延拓！这个性质从数学上可以很容易验证。
z变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换
z=e^{sT}
\sigma
2k\pi\le\theta \le 2(k+1)\pi
X(z)
是相同的。换句话说，如果没有采样，直接进行z变换，将会得到一个多值的复变函数！所以一般只对采样完了后的信号做z变换！
这里讲了时域的采样，时域采样后，信号只有
-f_s/2\rightarrow f_s/2
间的频谱，即最高频率只有采样频率一半，但是要记录这样一个信号，仍然需要无限大的存储空间，可以进一步对频域进行采样。如果时间有限（这与频率受限互相矛盾）的信号，那么通过频域采样（时域做周期扩展）可以不失真地从采样的信号中恢复原始信号。并且信号长度是有限的，这就是离散傅里叶变换(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里叶变换(FFT)。为什么我要说DFT呢，因为计算机要有效地对一般的信号做傅里叶变换，都是用DFT来实现的。除非信号具有简单的解析表达式！
总结起来说，就是对于一个线性系统，输入输出是线性关系的，不论是线性电路还是光路，只要可以用一个线性方程或线性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）来描述的系统，都可以通过傅里叶分析从频域来分析这个系统的特性，比单纯从时域分析要强大得多！两个著名的应用例子就是线性电路和傅里叶光学（信息光学）。甚至非线性系统，也在很多情况里面使用线性系统的东西！所以傅里叶变换才这么重要！你看最早傅里叶最早也是为了求解热传导方程（那里其实也可以看做一个线性系统）！
傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处理中的小波变换，它也是采用一组基函数来表达信号，只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。
最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么。还记得线性代数中的代数方程
Ax=b
{v_i,i=1..n}
\lambda_i,i=1..n
x=\Sigma_i x_i v_i, b=\Sigma_i b_i v_i
\lambda_i x_i = b_i
y'+ay=z(x)
y=e^{sx}
\Lambda y = z
\Lambda y = \lambda y
编辑于2017-03-12
