作者：王国波

上一篇：数学思想方法揭秘-14(原创)。

  首先学习下知识的分类，对知识的分类，一种是分为陈述性知识、程序性知识（包括策略性知识）。

  陈述性知识也称描述性知识，是能够直接陈述的知识，通常包括有关某一具体事件、事实、概念、经验性的概括的断言以及反应真理本质的较深刻的原理等，主要用以说明事物是什么、为什么、怎么样(what、why)，从而区别和辨别事物。陈述性知识是描述性的，其认知单位是命题。程序性知识主要反映活动的具体过程和操作步骤，说明做什么、怎么做、怎么想(how)，是一种实践性知识，主要用于实践操作，因此也称操作性知识、策略性知识和方法性知识。只能借助某种活动形式间接推测出来的知识，通常包括启发式、各种方法、策划、实践、程序、常规、方略、策略、技术和窍门等，用以说明做什么和怎么做。程序性知识主要是说明性的，其基本的认知单位通常采用具有一般形式的规则：目标，情景→行动。程序性知识又分为两类,即智慧技能和认知策略。

  数学中的陈述性知识，例如三角形的知识，我们学了之后就知道什么是三角形，能识别出三角形，再比如各种数学公式、定理也是陈述性知识。怎么解数学题，是有一套解题的过程方法论指导解题过程，如何思考问题，是有一套思维方法论的，这些就属于程序性知识。

  学校教育每门学科都是偏重输贯陈述性知识，缺少程序性知识和策略性知识，特别是缺少思维学和思想方法的问题一直存在，导致学生虽然掌握了很多陈述性知识，但思维能力并没有同步协调生长。例如语文教材中没有写作思想方法论，只有作文范文，学生不知道写作方法论，不知道好的作文是如何构思如何写出来的；数学教材只有数学知识，没有数学思想方法，没有思维方法论，学生不知道怎么思考，不知道思考什么，不知道解题方法是如何想出来的，不知道自己为何想不出来，不知道知识的发现过程。教材中没有思想方法，在课堂教学中其实也缺少真正的思想方法论教学和思维熏陶，对思想方法的教学处于一种名不正言不顺的状况，靠老师们自由发挥，可有可无。

  通常陈述性知识是比较简单的，但题目可以很难，难题的解题方法几乎用的都是简单知识，听老师讲解解题方法或自己看都能明白。难在如何想出难题的解题方法，这才是大多数难点所在，很少难在知识。

  要消除这个难点需要悟道数学解题思维之道，但很少有人在这方面透彻悟道开窍，所以认为数学简单的要么是无知，无知者无畏，无自知之明；要么是欺骗吹牛，就像一些数学培训机构为了经济效益为了招生，未悟言悟，没悟说自己悟，未得言得，讲题时偏重讲解题方法(结果)，但很少涉及到探索出这个解题方法的思维过程，其实探索的过程比结果重要，只有把思维过程讲清楚才能真正熏陶学生的数学思维。

  这个难点也说明疑难问题和解题方法之间存在鸿沟，这个鸿沟要靠掌握的知识、经验和领悟的思想方法论来填充。陈述性知识比较容易学会，经验可以多用些时间来积累，都不是问题，但对思想方法论的领悟就不那么容易了。陈述性知识好比物质基础，偏逻辑，而思想方法是心法，好比灵魂，偏智慧，偏灵性，要用心来悟，需要在初高中加强数学思维能力的熏陶锻炼。但目前的思维锻炼是一句空话，几乎很少有做到位的，所以容易出现掌握了一堆知识，但思维能力低下的人，好比四肢发达，头脑简单。初高中教材中知识太多，却没有数学思想和思维学的内容，靠老师在其课堂上讲题渗透一些零星的内容对大多数学生是难以有好的效果的，必须由隐到显名正言顺地增加到教材中，这样才可能悟道数学思维之道，思想方法思维之道是解题方法之母，不知母焉知子，有母才能较顺利地找到正确的解题思路，探索出解题方法(子)，快速跨过鸿沟，到达解决方案的彼岸，否则就陷在鸿沟中不能自拔，这就是很多有自知之明的人觉得数学难的所在。

  未领悟数学思维之道和领悟的差别如下图，一个未领悟数学思想，看不到思路，难以找到解题思路，思路对他是虚无缥缈的，远在天边，不知路在何方；另一个就可以较快找到思路，正确可行的思路对他通常是触手可及，近在眼前，实实在在。

  知识体系有广度和深度，初高中学过多的知识，很多增加的是知识的广度(横向)，很多情况下在高度(纵向深度)上相对增加较少，高度方面的提升主要靠思维学和数学思想方法包括解题策略来填充。所以即便学过多的知识，并不意味着思维能力就有相应提升。遑论有些题并不是考高深的知识点而是靠思想方法和思维模式。

  学数学主要锻炼思维能力，知识可以自学，众多的数学知识在工作生活中能用到多少？能记得多少？但思维能力却是终生都不可或缺，终身都要用。君子务本，本立而道生，数学的灵魂数学的根本是数学思想，领悟了数学思想方法论，自然就悟道数学思维。

  缺乏思想方法的教育，难以培养学生的思维能力，很多学生在思维方法上没入门，奇怪的是在教材、教学、考试时挂羊头卖狗肉，玩的是潜规则：口口声声要培养学生数学思维能力，但奇怪的是小初高教材中却没有思维学和数学思想方法的内容，都是数学知识；课堂教学上也鲜有真正到位的数学思维熏陶。但在考试中一些压轴题却需要具有较强的思维能力。

  2019年11月29日教育部：减少机械记忆试题和客观性试题比例，提高探究性、开放性、综合性试题比例，积极探索跨学科命题。

  ”我们每个人一生都花了很多时间学数学，但我们其实只是学会了计算，而不是数学”  --陈省身，数学大师

  姑且强猜陈先生的意思：很多人学了很多数学知识，但数学知识最多只是鱼，它不是数学思维能力(渔)。一辈子学数学，学的大多是数学知识，很少学习思维学，很少接受真正的、系统的数学思维熏陶锻炼，所以很多人没有掌握如何思考如何想问题的思维艺术和思维方法论。数学思维才是数学的精髓，众人即便有丰富的数学知识，从数学思维能力层面来看，本质上其实等同只掌握了小学算术，数学思维门都没有。

  念念不忘，必有回响。对思维学和数学思维，不去真正重视它，不在实践中到位地锻炼它们，不学习它(思维学)，不去化时间领悟数学思维的玄妙，不去经常琢磨它们，不去回味理解它，不从心理和潜意识上认同它接受它，想锻炼数学思维能力是痴人说梦。但我们初高中，乃至大学，有多少思维学，主要还是学数学知识，这就是反心理学、反认识论的反智教育。

    当年高考填志愿曾想去陈省身先生回国所在的南开大学数学系，差点成为丘成桐先生的师弟，这个也是小小的遗憾，去了当年工科第二的西交大。

    整个数学教育，无论是学校还是培训班，所谓的锻炼数学思维，感觉就是”皇帝的新装”，其实没有真正的数学思维锻炼，更没有领悟数学思维之道。山中无老虎，一帮人自娱自乐，感觉良好，忽悠众多不明真相的学生和家长。

  数学大师的话可谓一语道破真相：我们的数学课里其实没有数学思维！数学的学习应该包括知识和思维能力两个方面，好比人体的任督二脉，都很重要并且要相互贯通。但在现实中，数学教材和课堂教学绝大多数偏重输灌知识，机械刷题，缺少真正的数学思维训练教学。这样的教学是被阉割的数学教学，是伪数学教学，是误人子弟的数学教学。这样培养出来的学生，即便读到理工科博士，只不过掌握的知识多一些，思想境界和思维能力方面并不比一些高中生强多少，甚至还不一定强。数学是思维的体操，主要是锻炼人的思维能力的，这种缺失数学思维的教学是有名无实，买椟还珠，釜底抽薪，是跛行式的阉割式的教学。

耶鲁大学校长理查德.莱文：“真正的教育不传授任何知识和技能，却能令人胜任任何学科和职业，这才是真正的教育。如果一个学生从耶鲁大学毕业后，居然拥有了某种很专业的知识和技能，这是耶鲁教育最大的失败。”

这位大学校长想表达的真实意思是教育的目的，在智育方面主要是锻炼思维能力而不是学一堆知识，思维能力比知识重要。

英国数学家、哲学家和教育家怀特海的智慧教育理论非常值得学习。他尖锐地抨击了那种只注重传授书本知识，忽视知识在生活中的运用的传统教育，主张必须把教育从“死”的知识和“无活力”的概念中解放出来，强调学校教育应该适应儿童心理发展的规律，把理性思维能力，想象力和审美力的培养放在优先的位置来考虑。他提出的一些教育理论：

1）“教育的全部目的就是使人具有活跃的智慧”

教育的目的归根结底是培养人。培养什么样的人？不同历史时期、不同国家和民族有不同的衡量标准。但在教育的目的中，仍存在着人类共同追求的东西。怀特海所揭示的正是这种共同追求的目标。他认为教育要培养的是有创造精神、有智慧、“既能很好地掌握某些知识，又能出色地做某些事情”，具有人文精神和审美能力的人。这是一个比传授知识更加伟大也更有重要意义的目的。让人充满智慧是教育的全部目的。

2）阐明了知识和智慧的关系

知识不等于智慧，知识不等于能力,“在某种意义上说,随着智慧增长,知识将减少。”、“当我们摆脱了教科书，烧掉了笔记本，忘记了为了考试而背得滚瓜滥熟的细节知识的时候，换言之，当我们不是成为知识的奴隶，而学会了积极地创造知识和运用知识的时候，我们才最终拥有了智慧”、“智慧是掌握知识的方式，知识是智慧的基础，但知识不等于智慧。不掌握某些知识就不可能有智慧，但人们也可能很容易地获得知识却仍没有智慧”。何谓智慧，在怀特海看来，智慧就是对知识的掌握或掌握知识的方式。现代教育把知识和智慧对立起来，只注重知识灌输，忽视智慧的启迪，必然会导致大量的书呆子和空泛无益、微不足道、缺乏创新的死板知识，甚至根本无知识可言。

3）自由和纪律的节奏

从知识通达智慧有一个前提，这一前提就是自由。在知识面前享有自由,是通往智慧的惟一道路,但自由不是随心所欲的,必须遵守相关的纪律。怀特海认为,在获取知识时,必须遵守相关的法则和方法,必须有条理又有纪律，这是知识的精确性的必然要求;但智慧只能在自由的氛围中产生,在教育过程中过分地强调纪律必然使人的大脑变得麻木不仁。现代教育按照固定的模式和程序,把自由和纪律对立起来,把分析和精确性当作惟一的方法,把大量充满活力的青年人培养成了头脑迟钝、缺乏智慧即想像力和创造力的“书呆子”，乃是“人类的悲剧”。

4) 教育要使知识充满活力。

怀特海反对统一的、刻板的、把各门科学割裂的教育体制和教学方法。他认为教育需要解决的问题是使学生通过树木看见森林，而不能“见木不见林”。教育只有一个主题，那就是五彩缤纷的生活。各门学科的知识是相互贯通的、相互联系甚至相互融合的。各门科学的方法具有通用性，要通过教育使学生掌握一般的思维方法、思维艺术，并能把这种方法的通用性、创造性运用于特定学科。怀特海主张取消各种科目之间致命的分离状况，因为它扼杀了现代课程的生命力。

怀特海认为，受教育者是充满活力的有机体，教育者是在与人的大脑而不是与僵死的物质打交道。“教育绝不是往行李箱里装物品的过程”，与教育过程最相似的是生物有机体吸收食物的过程。教育要使知识充满活力，不能使知识僵化，更不能向学生传授内容陈腐而缺乏新意的知识。他说：“成功的教育所传授的知识必有某种创新。这种知识要么本身必须是新知识，要么必须是在新时代新世界里的某种创新的运用。”

有篇短文"英国教育家怀特海告诉你教育的本真是什么?",讲的很有见地，教育不只是知识教育，过度的知识教育，即便培养出知识渊博的学生，他们也很可能是有知识没文化、有知识没道德、有知识没智慧，有知识没能力。

我们知道劳力(体力劳动)和劳心(脑力劳动)的联系和区别，劳心者治人，劳力者治于人。我们掌握的知识相对思维而言，知识是劳力的，是工具和手段，它相对被动，缺少活力 ，缺少智能，缺少灵性，它们平时在大脑中处于休眠或沉睡状态；而思维是劳心的，它具有智能和主动性，它是唤醒知识起来做事的主人，是将知识转化为能力的转化器。碰到难以解决的问题时，单靠做劳力工作的没有智能的知识显然是不够的，还需要劳心职责的思维做统帅做指挥，负责调查研究，出谋划策(拟订思路、制定方案)，穿针引线，牵线搭桥，激活和调动大脑中沉睡的知识，灵活合理高效地指挥安排、组织调遣知识来解决问题，也就是灵活运用知识。

但要具有严谨灵活系统辩证的思维能力，比掌握知识的难度要大得多，虽然难度大，但不能不去锻炼思维能力。

如何锻炼思维能力，必须要学习思维学，领悟思想方法，必须要有一套正确的思想方法论来指导(引导)和启发我们的思维，形成正确的思维方式。

由于数学教育具有典型性，这里就用数学学习中的问题来讲。

几十年了，有关部门终于醒悟了一些，数学知识和数学思想是不同的，在初高中应该有合适的比例。教材太差，教学内容不合理，初高中，特别是高中学的知识太多了，都是授人以鱼，严重缺少授人以渔的思想方法的教学，结构不合理：教材上几乎没有传授如何探索发现、如何创新、如何辩证思维、质疑批判思维，如何思维思考，以及思想方法的内容。

思想方法是解题方法之母，由母产子，思想方法用来指导我们产生出解决问题的方法。不知母，焉知子，属于跛行式的教学，导致难产(碰到问题，难以找出解决方法)或产出歪瓜裂枣。

教材内容和课堂上几乎全是死的陈述性知识，很少有能高屋建瓴把思路讲透彻把解题思维过程讲清楚的，缺乏鲜活的、灵活灵动的、辩证的、质疑批判的数学思想方法的内容和数学思维过程教学和解题方法论教学，课堂上真正高质量的数学解题思维过程和解题心理活动的教学是缺失的，教材和课本上没有思维学和思维心理学的内容，没有系统地教导学生如何观察、审题、联想、类比、抽象、转化、数形结合等解题方法论和数学思想方法论的内容，只是从偶尔从牙缝里渗透一点点。高中生学了辩证法，却不教他们如何在数学中运用辩证法和辩证思维来解题和指导数学学习，那辩证法的运动观、发展观、联系观、系统观、矛盾对立统一、否定之否定等就沦为纸上谈兵的空洞理论，不会实践运用，思想上并没有真正深刻理解这些理论。但有些考试题却偏偏要靠这些缺失的部分才能找出解题思路、解题突破口和解题方法，所以说教材课堂和考试内容是脱节的，思想政治课的辩证法教学和辩证法在数学中的具体运用是脱节的和缺失的。这样只能把学生推向课外培训去补充这方面的内容，但由于整体的人员素质，培训老师大多一知半解或也只是机械刷题，课外培训大多也是挂羊头卖狗肉，学的几乎还是知识，糊弄学生和家长，绝大多数性价比不高，追求短期效益，不能真正从思想层面启迪学生的思维。

这种教学上的脱节，正是怀海特抨击的把各门科学割裂的教育体制和教学方法，如果我们能稍微系统化地制定教学内容，整体上协调考虑，在思想政治课学完辩证法之后，在数学和物理课中就应该安排辩证法辩证思维在数学和物理学习中以及解题思维过程中的具体运用，通过这样的实践让学生真正掌握辩证法。

到大学阶段，非数学专业仍不学这些思想方法和辩证法的实际运用。

师范数学专业在这方面也只是蜻蜓点水，学的一知半解，半生不熟，主要还是学呆板的死的数学知识，“学无用的大学数学知识，老师应付，学生不愿学”，这是和数学老师交流的原话，这句话有些商榷的地方，但大体反映了师范数学专业的现状。

这就导致从小到大，始终没有得到真正的数学思维锻炼，思想层次不高。他们长大后，不管是家长还是老师，自己都是半吊子。想给学生一滴水，自己要有一桶水，但以其昏昏，使人昭昭，有多大可能性？所以这样的整体现状很难教育好下一代的数学，一代代就这样恶性循环，在泥潭中挣扎打转，只能是拼命刷题，用题海战术来补救来补拙，题海战术追求的是短期效益和升学率，长远看来得不偿失，思想层次上难有提升。

数学思想方法和思维学不神秘，对初高中学生特别是高中生，学习理解这些不难，不要再搞渗透式的教育了，从老师牙缝里露出一点点，而是应该捅破这层窗户纸，把它们编入初高中的正规教材中，名正言顺地进行正式的学习。小初高正是思维习惯和方法论养成的关键阶段，缺少思想方法和思维学的教学熏陶出的大多是循规蹈矩、缺乏思考问题方法论、只有知识缺乏思维能力的学生。

应该跳出来有所作为，改变现状，少教死的知识，烂大街的知识可以自学，要改革教材和课堂教学内容，多些灵性的思想和思维方法，启发学生领悟学习之道创新之道，也就是从偏重灌输知识，以知识为中心切实转变为以思维为中心，传授思维之道。

初高中应该增加思维学、创新学、数学思想方法的内容以及知识探索发现过程的内容。早如此，社会上各行各业就会减少逻辑思维混乱，考虑问题不严谨不系统不辩证的人，高学历低能力的人。

虽然数学相比其他学科普遍难学，有其客观上的本质复杂性，但我们的教材、课堂教学存在的问题，又平添了人为的主观复杂性，难上加难，如果消除这些人为的主观复杂性，改革数学教材和课堂教学，对数学思想方法，老师传授结合孩子自学有关数学思想方法的书籍和数学悟道人士的博文，多实践多领悟总结，相信绝大多数对数学有兴趣的普通智力的学生，数学思维可以真正上一个台阶。

在教材和教学方式没有改变的情况下，不要盲从和迷信，初高中阶段可以找好的数学参考书，花一部分时间看好书自学。在学校和线上线下培训班碰到数学思维方面悟道的老师的可能性是非常小的，但找到好书的可能性大得多。现在的快递、网络信息、出版业这么发达，虽然垃圾书不少，但找到几本好书和几篇好文章不难，用好书自学也可在很大程度上克服所谓的教育发展不均衡和没有好学校的问题，用好书自学比上所谓好学校可能还要靠谱。

通过学习这系列文章和今日头条'数学之道'中的思想方法和解题思维过程，要能体会到“数学是锻炼思维的体操”这句话的含义。通过学习数学来锻炼思维能力，几乎各种有助于解决问题(不限于数学问题，可以是生活中的问题或其他学科中的问题)的思维方式和思想方法包括哲学思想特别是辩证法都能在实践中得到良好的体验和锻炼，这就是思维悟道，没有比这种锻炼方式更绝妙更合适的了。

但真正能锻炼数学思维的数学学习和数学课堂一直是稀缺的，此外市面上虽有众多数学思想或数学思维的书籍，但绝大多数书中体现的思想层次境界有多高有多深刻，值得存疑。虽然不是数学专业也不从事数学教育，但感觉在这方面有责任做一点贡献，这就是不自量力写本系列文章的目的，试图阐述真正的系统的本质的数学思想和数学思维过程是怎样的。

总结：学习的内容包括两个方面，一方面是掌握基本的陈述性知识，另一方面是思维锻炼，开慧增智，领悟思想方法，锻炼思维能力。能力比知识重要的多。在高中阶段，宁可少学些陈述性知识也要多领悟各个学科的思想方法。要改变目前偏重输灌陈述性知识，缺乏或不重视思想方法论的知识型教学，要改变这种跛行式的教育方式，进行全面的教育，既有知识体系，也有真正的数学思维训练的思维型甚至智慧型教学，要有一些思维学的学习内容，力求领悟数学思想方法论体系，悟道数学思维，均衡发展，打通数学的任督二脉。思想方法思维能力和陈述性知识就像太极阴阳鱼一样，一阴一阳，相互联系，缺一不可，双轮驱动，相互配合才能和谐发展，才能走得远，才能上层次，才是完整的系统的。

下篇：数学思想方法揭秘-16后记。