写draft的时候，发现了一个之前认知上的错误，要大改了，不过最近斗志比较昂扬。
这几天真是热的不行，就想呆在办公室写东西哪里也不想去，晚上回去睡觉也是汗流不止地很久才能睡去。旁边最近有会议，每天都有咖啡蹭，不亦乐乎。
这周组会的topic是 central extension，虽然说是偏数学，但是如果略微了解一些背景知识的话，还是很有意思的，可以把一些subtlety想想清楚，算是一种内功的修行，还不能直接用到工作上。
考虑一个量子系统有对称性，这句话就比较模糊，我们先不具体他的含义，可以先想像这个量子系统对应的未被量子化的经典系统存在一些对称性，或者想像有一些算符他和系统的Hamiltonian対易。抽象成数学就是，有一个作用在量子态空间上的代数结构（比如群）。一般的来说，这个量子态空间我们是指Hilbert空间，这样的话这个代数结果在Hilbert这个线性空间就有一个线性表示。如果把所有的讨论都限制Hilbert空间，就是我们教科书上常见的情况。
但是更严格的来说，量子态并不是一个vector, 而是一个ray，或者是一个line bundle （U(1) fibre），他们构成了一个complex projective space。这样的话，量子态空间就是projectized Hilbert空间，而对称性是作用在这个 projective space上的代数结构。因为不是线性空间，对称算符不在对应线性表示了。我们常见的表示论就不适用了。一个直观的体现是如果在对称性在上面的表示我们记为O(g) \in G, 那么
O(g1)O(g2)=O(g1g2)c(g1,g2)，
c(g1,g2)是一个算符g1 g2有关的U(1) factor。把这个U（1）factor考虑进来我们可以重新把我们的表示记为O(g)f(g), f(g)U(1) factor 也是一个那么我就有 c(g1,g2)=f(g1g2)f(g1){-1}f(g2){-1}。这样的话，对称G的projective表示是可以转化为 F=G x U(1) 的线性表示。同样的我们可以把F看做一个fibrebundle，G是base，U(1)是fibre。如果bundle是trivial的，那么就存在一个对于base G全局存在的一个fibre，就是说F是一个G和U(1)的直积。那么他的表示就是G点表示乘以U(1)的表示，而U(1)的表示总是trivial的可以丢掉，这种情况就等价于之前提到的只考虑Hilbert空间的情况。但是如果fibrebundle不是trivial的，那么就不存在这样的一个直积分解，也就是说不存在一个G上的全局的U(1) fibre。这个不连续性由G的拓扑性质（cohomology group H^2(G,U(1))）来刻画。不同的 cohomology group 里面的元素对应了不同的fiberbundle也就描述了不同的对称性。这个cohomology group H^2(G,U(1))就是对应了狭义上的central extension。所以一个结论是，如果我们经典理论就有一个对称性G，但是当量子化，我们得到的量子系统的对称性不是G而是是central extended G。
