问题描述

在推荐系统中，最重要的原始数据就是User和Item组成的二维矩阵，每一项的值就代表着某个User对某个Item打分项。这个矩阵会非常大，我们估算一下，假如某个网站有100万人和10万个商品，那么这个矩阵的大小就是：
10^6 * 10^5 = 10^11,1000亿个，是不是非常大，所以在真实的项目中是不存在这样一个矩阵的。但是为了机器学习，我们必须把这个矩阵组建起来，所以就有了Matrix Factorization这项技术。

Factor是什么？

这个在数学中叫做乘积因子，比如：
6 = 2 x 3
9 = 3 x 3
12 = 2 x 6 或者 12 = 3 x 4
就是把一个数，转化成另外两个因子的乘积。

Matrix Factorization技术也是类似的，我们相表示原始矩阵比较大，但是我们可以转化成两个比较小的矩阵，然后让他们进行点乘，最后相当于原始的大矩阵。

为什么一个大矩阵可以转化为两个小的矩阵乘积？

最根本的原因是推荐系统的User和Item的矩阵是Sparse矩阵，就是里边大部分都是不含有信息的，都是缺省的0，是因为一个User进行投票的Item是非常少的，和Item的总量10万相比。

数学推导

R^ = W * U(T)
这个就是矩阵分解的公司，我们希望找到这样一个W和U，让W和U的点积可以大约等于R，R^多做R hat，就是R的近似值。

我们希望W和U都尽量小。
W 的shape是(NxK), U的shape是(UxK)
N 代表的是用户数，U代表的是商品数，K代表的是特征数（大概10～50个）

分解的好处

假如 K=10, N=130K, M=26K如是W和U的大小分别为
NK + UK = 1.3million + 0.26Million = 1.56Million
而如果使用原始的矩阵，大小为
0.13million x 0.026million = 3.38billion
数据的压缩率是多少呢？
1.56million / 3.38billion = 0.0005
数小了非常多。这个就是进行数据分解的最主要的意义。

W和U能直接点乘吗？

我们获取W和U的目的是为了 进行W*U(T)的吗？
当然不是，因为这样一乘的结果又变成了原始的R(NxM)，还是很大，不是吗？所以千万不要以为我们会用W点乘U，那么W和U到底是做什么的呢？

只获取矩阵中的值，但是不需要拥有这个矩阵

我们上一段中，我们知道W和U不能直接相乘，因为如果直接点乘我们就会获得原始矩阵R了。虽然我们没有必要倒推回R，但是我们可以获得其中的一个值。因为在我们的实际项目中，我们没必要推出R，但是我们可以随意的获取矩阵R中的任意值，不是也非常好了吗？

形象一点理解就是我不需要知道总体的矩阵R，但是我可以随意获取其中的值，不是很好吗？那么W和U就相当于一个庞大矩阵的一个接口，随意都是可以通过这个接口来得到里边的值，而没必要去拥有这个完整的矩阵。

如何获取矩阵中一个点的值

r^(i,j) = W(i)T * U(j)
r^(i,j) 代表大矩阵R中User i和Item j相交的值，就是User i对Item j的投票率rate。
W(i)T 就是用户i的K个特征值，shape为(1,K)
U(j) 就是Item i的K个特征值， shape为(1,K)
这里好像有错误，应该是：
r^(i,j) = W(i) * U(j)T，这样结果才是shape(1,1)，就是代表其中的一个值。

矩阵分解和SVD的区别

在前面的章节中，我们学习过SVD(Singular value decomposition)
SVD是把一个矩阵分解为 三个矩阵的乘积。
X = USV(T)
X 分解为U S V，然后他们的乘积就相当于原始矩阵X。

其实SVD和这里说的矩阵分解，意思是一样的，只是一个分解为两个因子，一个分解为三个因子。

矩阵分解的现实意义是什么？

W里有N个K，其实就是每个用户对电影K个特征值的相关性。
U里有M个K，其实也是每个电影对K个特征值相关性。
把这两个都与K个特征相关的数组进行点积，那么得到的结果就是这两个数组的相关性。

为什么数组相乘就能表达相关性

这是一个非常好的问题？在机器学习中，经常会碰到。
打个比方，两个人见面聊天，一个人了喜欢聊汽车，另外一个人喜欢聊电脑，那么让他们在一块，吸引力自然就小。如果一个人喜欢聊美食，另外一个人也喜欢聊美食，那么两个人聊的就会很嗨。

在本案例中，W代表每个用户对K个特征的喜欢程度，U代表每个商品所能代表的K个特征。所以他们相乘的和就代表了U和W的相关性。

简单的数学表示就是：
+1 * +1 = +1
-1 * -1 = +1
+1 * -1 = -1
-1 * +1 = -1

推荐到底推荐的是什么？

知识点学习到这里，下面我们可以思考一个根本性的问题，就是推荐系统到底推荐的是什么？
我们在前面的系统当中我们已经知道了，推荐有两种：
一种基于用户的
找到相似的用户，那么他们就应该购买相似的商品，
一种基于商品的
找到相似的物品，如果用户购买了这个商品，那么我们就应该推荐像是的商品。

那么在matrix factorization里，到底是怎么推荐的呢？
我们具有的数据是一个用户对商品的rating矩阵，这个矩阵知道用户对某些商品的喜好，那么我们能不能根据用户对已经投票的商品，来推测用户对未知商品的投票率(喜好)。

那么这个有点类似前面的基于相似用户的推荐。但是这个和那个不同点是，这里不需要我们认为的去构建人的特征向量，然后找到相似的用户。也不用构建商品的特征向量，然后去寻找像是的商品。

也就是说matrix factorization不需要你自己去构建用户和商品的特征变量，它是自己内部运算出隐藏的K特征变量。

另外一个根本性的问题：机器学习什么？

学习到这里我们应该大致知道了Matrix Factorization是什么内容，以及用来干什么的了？那么这里需要理解一个根本性的问题，就是我们Matrix Factorization到底学习的是什么呢？
输入的数据就是用户对商品的喜好表R，当然我们不需要创建这么大的一个表，我们其实保留的是一个Diction，里边记录了每个用户对商品的rating值Dict((n,m) -> r)。
我们根据这些数据要学习出来的W和U，这样我们就可以根据W和U来推断出用户对任意商品的rating值了。

因此我们回到了这个问题，Matrix Factorization学习的是K个隐藏特征值。并由此特征值组成的两个因子矩阵W(NxK)和U(MxK)。

代码实现我们会在下一篇文章里去关注。